自控第三章时域分析法课件.ppt

《自控第三章时域分析法课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《自控第三章时域分析法课件.ppt（108页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、第三章时域分析法,建立起系统的数学模型之后，下一步就是对系统的控制 性能进行全面的分析和计算。 常用的方法: 时域分析法，根轨迹法，频率法。 时域分析法是最基础、最常用的方法。,第一节 典型控制过程及性能指标,系统的响应C(t)取决于：参数结构, 外作用, 初始条件。为了描述系统的内部特征，分析和比较系统性能的优劣，通常对外作用和初始条件做一些典型化处理。处理的 原则是：接近实际，简单。,第一节 典型控制过程及性能指标,一、 典型初始状态零状态。 C(0) = (0) = = 0 系统的输出及其各阶导数在初始时刻均为零。 初始时刻可以设定，所以该约束并不苛刻。,二、典型外作用,1单位阶跃 指令

2、的突然转换,开关闭合,负荷突变。2单位斜坡主拖动系统发出的位置信号, 数控机床加工斜面时的给进指令。3单位脉冲脉动电压、冲击力。 4正弦海浪、噪声、伺服震动台。 所有外作用都可以近似成典型外作用或典型外作用的集合.,三、典型时间响应,初始状态为零的系统，在典型外作用下的输出。 1单位阶跃响应 H(S)=G(S)/S h(t)= L-1H(S) 2单位斜坡响应Ct(S)=G(S)/S2 Ct(t)= L-1Ct(S) 3单位脉冲响应 K(S)= G(S) k(t)= L-1K(S) 4三种响应之间的关系 K(S)= SH(S)= S2Ct(S),第一节 典型控制过程及性能指标,四、阶跃响应的性能

3、指标 跟踪和复现阶跃作用对系统来说是较为严格的工作条件，通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义时域性能指标。,阶跃响应的性能指标,1.上升时间td h(t)从0上升到稳态值所需的 时间。2峰值时间tp h（t）超过稳态值而达到第 一个峰值所需的时间。,阶跃响应的性能指标,3超调量% h（tp）- h（）% = 100% h（） 4调节时间(过渡过程时间)tS h(t)达到并不再超出误差带的最小时间。 5稳态误差eSS eSS= 1 - h（）,阶跃响应的性能指标,上升时间td 和峰值时间tp 表征系统响应初始阶段的快慢, 调节时间ts表征系统过渡过程持续的时间， 总体上反映了系统的快速性

4、。 超调量% 反映系统的平稳性。 稳态误差eSS反映系统的最终控制精度。,第二节 一阶系统分析,一阶系统的微分方程：T dC(t)/ dt + C(t)= r(t),一阶系统的传递函数： 1 G(S)= - (TS + 1) T时间常数, 表征系统的惯性，尽管物理意义不同，但总具有“秒”的量纲。,一、 一阶系统的单位阶跃响应,H(S)= G(S)R(S) = 1/S(TS+1),h(t)= L-1H(S) = L-11/S(TS+1) = 1- e-t/T,T是表征响应特性的唯一参数。,关于时间常数T,h(t) = 1 - e -t/Tt= T，h( T)= 0.632 t=2T，h(2T)=

5、 0.865 t=3T，h(3T)= 0.950 t=4T，h(4T)= 0.982 用实验方法鉴别和确定被测系统是否为一阶系统。时间常数的倒数 = 响应曲线的初始斜率。dh(t)/dtt=0= (1/T) e -t/Tt=0 = 1/ T,一阶系统的性能指标,调节时间: tS= 3T （秒） （对应5%误差带） h(3T)= 0.950 tS= 4T （秒） （对应2%误差带） h(4T)= 0.982 T越小 tS越小 快速性越好。,稳态误差: eSS= 1 - h（）= 0 一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。,二、一阶系统的单位斜坡响应,Ct(S)= G(S)R(S) = 1/(T

6、S+1)S2Ct(t)= L-1Ct(S) = t - T + e-t/T稳态误差 : eSS= T,一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过减小时间常数T来减小，而不能最终消除。,三、一阶系统的单位脉冲响应,K（S）= G（S）R（S） = 1 /（TS+1） k（t）= L -1 K（S） = e-t/T/T,T越小 响应的持续时间越短 快速性越好。,四、三种响应之间的关系,(t) = d/dt u(t) = d2/dt2 r(t) k(t) = d/dt h(t) = d2/dt2 Ct(t),系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数。,第三节 二阶系统分析,微

7、分方程：T2dC2(t)/dt2 + 2TdC(t)/dt + C(t) = r(t),传递函数： G(S)=1/(T2S2 + 2TS + 1) = Wn2/(S2 + 2WnS + Wn2) 其中: Wn=1/T自然频率, 阻尼比。,特征方程： S2 + 2WnS + Wn2 = 0,第三节 二阶系统分析,特征根： S1,2= -Wn Wn(2 -1)1/2 1, S1,2不等负实根（过阻尼） =1, S1,2重根（临界阻尼） 01, S1,2共轭复根（欠阻尼),不同时的特征根和阶约响应,一、 二阶系统的单位阶跃响应,11（过阻尼）S1,2不等负实根, 特征方程可写成: S2 + 2WnS

8、 + Wn2 = (S+1/T1)(S+1/T2) = 0 其中: T1=1/Wn-(2-1)1/2 T2=1/Wn+(2-1)1/2 且: Wn2 = 1/T1T2 1/T1T2 1 G(S) = -= - (S+1/T1)(S+1/T2)(T1S+1)(T2S+1) 可看成是两个时间常数不等的惯性环节的串联.,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应,H(S)= G(S)R(S) 1 = - (T1S+1)(T2S+1)S,过阻尼二阶系统的单位阶跃响应 e-t/T1 e-t/T2h(t) = 1 + - + - T2/T1 -1 T1/T2 -1响应是非振荡的, 又不同于一阶系统(两个惯性环节串联).

9、,过阻尼二阶系统的性能指标,td, tp,%无意义, ess = 0ts表达式太繁, 近似式为: 当T1= T2 (= 1)时, ts 4.75T1 当T1= 4T2(= 1.25)时, ts 3.3T1 当T14T2(1.25)时, ts 3T1 系统的一个负实根(1/T2)比另一个(1/T1)大4倍以上, 等效为一个一阶系统.,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,201（欠阻尼） S1,2 = -WnjWn(1-2)1/2H(S)= G(S)R(S) = Wn2/(S+S1)(S+S2)S e Wnt h(t)= 1 - sin（wdt +）（1-2)1/2 其中：Wd= Wn(1-2)1/2

10、有阻尼的自然振荡频率 = COS-1,欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,eWnt h(t)=1- sin(wdt+) (1-2)1/2,衰减速度：e-Wnt. Wn越小，衰减速度越慢。,振荡频率：Wd= Wn(1-2)1/2. Wn越大,越小,振荡频率越高.,欠阻尼二阶系统的性能指标,1上升时间tr 由定义, h(tr) = 1, 即: e -Wntr1 - - sin（wdtr +）= 1(1-2)1/2,sin（wdtr +）= 0,wdtr += n,第一次稳态 n=1,tr =（-）/ wd,欠阻尼二阶系统的性能指标,上升时间定性分析: tr =（-）/ wd wnwd= wn(1-2)1

11、/2 tr = COS-1tr 上升时间越小, 快速性越好.,欠阻尼二阶系统的性能指标,2. 峰值时间tp 由定义, 令: dh(t)/dtt=tp= 0 解出t即为tp. (第一次峰值),欠阻尼二阶系统的性能指标,e Wnt h(t) = 1 - sin（wdt +）（1-2)1/2 对h(t)求导并令其得0: Wn (1-2)-1/2 e-Wntp sin(wdtp+) - wd (1-2)-1/2 eWntp cos(wdtp+) = 0 经整理得: tg(wd tp+) = (1-2)1/2/= tg 即: wdtp = n,欠阻尼二阶系统的性能指标,第一次峰值 : n=1所以: tp

12、=/ wd峰值时间定性分析 wnwd= wn(1-2)1/2 tp wd= wn(1-2)1/2 tp 峰值时间越小, 快速性越好.,欠阻尼二阶系统的性能指标,3. 超调量% h（tp）- h（）% = *100% h（） 由h(t)求出h(tp)和h(), 代入定义式即得.,欠阻尼二阶系统的性能指标,h(tp)=1-(1-2)-1/2eWntp sin(wdtp+) =1-(1-2)-1/2eWntp sin(+) =1+(1-2 )-1/2eWntp sin =1+(1-2 )-1/2eWntp wn(1-2)1/2/wn 2 1/2 = 1 + e -/ (1 - )h() = 1 2

13、1/2% = e -/ ( 1- ) *100%,欠阻尼二阶系统的性能指标,超调量%的定性分析 2 1/2% = e -/ ( 1- ) *100% %由唯一确定。,= 0 % = 100% 等幅振荡（无阻尼） 0 1 欠阻尼（有超调） = 0.707(最佳阻尼比) % = 4.6% = 1 （临界阻尼） % = 0 (无超调),欠阻尼二阶系统的性能指标,4调节时间tS tS 定义: h(t)- h()h（） ；ttS 其中：= 5% (或= 2%) 由此定义可推导出调节时间的计算公式.,欠阻尼二阶系统的性能指标,h( t ) = 1 - （1-2)-1/2 e Wnt sin(wdt +)

14、h() = 1 (1-2 )-1/2 e Wnt sin(wdt +) ； ttS（1-2 )-1/2 e -Wnt是h(t)衰减振荡的包络 (1-2 ) -1/2e -Wnt ； ttS e -Wnt （1-2)1/2 ； ttS -Wnt ln （1-2)1/2 ； ttS Wnt ln （1-2)1/2 -1； ttS tS = ln （1-2)1/2 -1/Wn,欠阻尼二阶系统的性能指标,若：= 2%则：tS= ln0.02（1-2)1/2 -1/Wn4/Wn,定性分析: ,Wn越大, 调节时间越小, 快速性越好。,若：= 5%则：tS= ln0.05（1-2)1/2 -1/Wn3/W

15、n,欠阻尼二阶系统的性能指标,5稳态误差eSSe（t）= r（t）- c（t）= (1-2)-1/2 eWntsin(wdt +)eSS=lim e(t) = 0 t 稳态误差与参数,Wn无关，等于0。,二. 二阶系统的单位脉冲响应,K(S) = G(S) R(S) = Wn2/(S2 + 2WnS + Wn2)欠阻尼： k(t) = Wn(1- 2 )-1/2 e- Wnt sin Wn(1- 2 )1/2 t 无阻尼： k(t) = Wn sin Wn t,二. 二阶系统的单位脉冲响应,临界阻尼： k(t) = Wn2 t e- Wnt 过阻尼： 2 -1/2 2 -1/2 k(t) =

16、Wn(1- 2)-1/2e- - (-1) Wnt- e- + (-1) Wnt,二. 二阶系统的单位脉冲响应,主要讨论欠阻尼系统1.最大值时间t: 令: dk(t)/dt | t=t= 0 tg-1(1-2)1/2/ 得: t= - wn(1-2)1/2 t,二. 二阶系统的单位脉冲响应,2.单位阶跃响应超调量: % = h(tp)- h()*100%/h() = h(tp)1 % + 1 = h(tp) 又单位阶跃响应是单位脉冲响应的积分 所以：由t=0 到 t=tp(t)间, 单位脉冲响应曲线与横轴所包围的面积等于1+% . 即: % = k(t) dt - 1,三二阶系统的单位斜坡响应

17、,只讨论欠阻尼情况 C(S) = Wn2/(S2 + 2WnS +Wn2) S2Ct(t)=t - 2/Wn+ eWnt (1-2)-1/2 sin(wdt +2)/ Wn,三二阶系统的单位斜坡响应,稳态误差: e(t)= r(t) - c(t) = 2/Wn - e-Wnt(1-2)-1/2sin(wdt+2)/Wn ess = 2/Wn 只能减小, 不能消除。,eSS，但会使%，平稳性变差。 eSS(稳态精度)与%(平稳性) 矛盾。,四、改善二阶系统响应特性的措施,1 误差信号的比例-微分控制 （PD控制） G(S)= C(S)/R(S) Wn2(1+ TdS) = S2+(2Wn+TdW

18、n2)S + Wn2,四、改善二阶系统响应特性的措施,Wn2(1+ TdS)G(S)= S2+(2Wn+TdWn2)S + Wn2 特征方程S一次项系数： 2Wn+TdWn2= 2Wn(+TdWn/2) 等效阻尼比：d=+TdWn/2 阻尼比变大，%下降，平稳性变好； 稳态时微分项不起作用， eSS不受影响。 解决了eSS（稳态精度）与%（平稳性）的矛盾。,四、改善二阶系统响应特性的措施,比例微分控制可由RC网络或运算放大器来近似实现,四、改善二阶系统响应特性的措施,2输出量的速度反馈控制 G(S) = C(S) / R(S) Wn2 = S2+(2Wn+KtWn2)S+Wn2,四、改善二阶系

19、统响应特性的措施,Wn2G(S)= S2+(2Wn+KtWn2)S+Wn2 特征方程S一次项系数：2Wn+KtWn2 等效阻尼比：t=+KtWn/2 阻尼比变大，%下降，平稳性变好 KtS同样对稳态量eSS不起作用 解决了eSS（(稳态精度）与%（平稳性）的矛盾。,第四节 高阶系统分析,一. 三阶系统的单位阶跃响应 Wn2S0 G(S) = - (S+S0)(S2+2WnS+Wn2) S0-闭环负实数极点 当1时 h(t)=1Ae-s0t- Ae-Wnt BcosWn(1-2)-1/2t + CsinWn(1-2)-1/2t,三阶系统的单位阶跃响应,其中: A= f(b), B= g(b),

20、C= h(b) S0 实数极点 b = - = - Wn 共轭极点实部,随着实数极点向虚轴方向移动(b值下降), 超调量下降, 上升时间和调节时间加长. b1, 三阶系统呈明显的过阻尼特性,b b,二高阶系统的单位阶跃响应,K (S Zi) Zi- 闭环零点 GB(S) = - (S Si) i- 闭环极点 K (S Zi) 1 H(S) = - - (S Si) ( S2 + 2kWk + Wk2 ) S 实数极点 共轭复数极点 h(t) = A0 + Aje-sjt + Bke-kWktcos(Wk (1-k2)-1/2t + DK e-kWktsin(Wk (1-k2)-1/2t,高阶系

21、统的单位阶跃响应,h(t) = A0+Aje-sjt + Bke-kWktcos(Wk (1-k2)-1/2t + DK e-kWktsin(Wk (1-k2)-1/2t由一阶系统和二阶系统的时间响应函数项组成. 如所有闭环极点(S0 和Wn)都具有负实部, 则所有指数项和阻尼正弦(余弦)项均趋于0. 闭环极点负实部的绝对值越大, 对应的响应分量衰减越快, 对动态过程的影响越小. h(t) 不仅与闭环极点有关, 也与闭环零点有关(系数A,B,D).,三. 闭环主导极点,离虚轴最近的,对系统性能起主要作用的闭环极点-闭环主导极点. 实部与闭环主导极点相差6(3)倍以上的闭环极点-闭环非主导极点.

22、 高阶系统通过主导极点近似成二阶(或一阶)系统. 应用主导极点的概念可以导出高阶系统单位阶跃响应的近似表达式.,闭环主导极点,设: 单位反馈高阶系统具有一对共轭复数闭环主导极点 S1,2 = - jWd则可得高阶系统单位阶跃响应的近似表达式为: M(s1) M(s1) h(t)= 1 + 2 - e-tcoswdt + arg - s1 (s1) s1 (s1) 其中: D(S)-特征方程 (s1)=dD(s)/ds,四.高阶系统的动态性能估算,1. 峰值时间 1 m n tp = - - arg(s1 zi ) + arg(s1 si ) wd i=1 i=3,高阶系统的动态性能估算,几点结

23、论:.闭环零点的作用是减小峰值时间, 越接近虚轴, 作 用越明显.闭环非主导极点的作用是增大峰值时间. .若闭环零点和极点彼此接近, 则它们的影响相互抵消.若系统不存在闭环零点和闭环非主导极点, 则 tp = / wd,高阶系统的动态性能估算,2. 超调量 % = P Q e-tp 100% 其中: n n P = si/ s1 - si 闭环非主导极点影响修正系数 i=3 i=3 m m Q = s1 - zi / zi 闭环零点影响修正系数 i=1 i=1,高阶系统的动态性能估算,几点结论： .闭环零点靠近虚轴,Q增大,%增大,减小阻尼. .闭环非主导极点靠近虚轴,P减小,%减小,增大阻尼

24、. .不存在闭环零点和闭环非主导极点,则有: P=Q=1, % = e-tp *100% = Wn, tp = / wd 2 -1/2 % = e -/ (1 - ) *100%,高阶系统的动态性能估算,3. 调节时间 1 2 ts = - ln ( - FQ) Wn n n 其中: F = si/ s1 - si i=2 i=2 m m Q = s1 - zi / zi i=1 i=1,高阶系统的动态性能估算,几点结论： . 闭环零点距靠近虚轴, Q增大, 调节时间长. . 闭环非主导极点靠近虚轴, F减小, 调节时间短.,第五节 应用计算机求取系统的响应,控制系统计算机输助设计: 利用计算

25、机帮助设计人员应用控制理论设计控制系统。用计算机进行数字仿真: 控制系统计算机辅助设计的一种手段。数字仿真: 根据性能相似原理构成系统的仿真模型，然后用计算 机求取系统响应（解微分方程），检验设计结果是否满足给定的性能指标。,连续系统数字仿真常用算法,1常微分方程的解析算法 虽精确，但程序繁琐，计算费时。2常微分方程的数值积分算法 主要讨论。3离散相似法（又称状态转移矩阵法） 适应于非线性系统。,数值积分法解常微分方程的基本思路,用一阶微分方程组（即状态方程）表示系统的高阶微分程，将时间离散化，使其成为一系列相等（也可以不相等）的时间间隔，在已知前一时刻的状态向量值的情况下，按照给定的步长，估

26、算下一时刻的状态向量值。,合理选择数值计算方法,1所要求的准确度它依赖于积分每一步所引起的截断 误差和舍入误差及其以后的传播。2每一步估计误差的容易程度。3完成计算的速度。4编制程序的容易程度。,欧拉法,Xn+1 = xn + h f (xn ,tn)其中: f(x,t) = dx/dt h = t1- t0 (步长)特点: 简单, 粗糙, 误差积累.截断误差: 欧拉法公式就是精确解(泰勒公式)截去第三项及其以后各项而得到的近似公式。这样引起的误差称为截断误差。 欧拉法的截断误差可以表示为O(h2)。当某一数值方法的截断误差等于(h p+1)时，即称其具有p阶精度。所以欧拉法为一阶精度。,预报

27、-校正法,Xn+1 = xn + h f (xn ,tn) + f (x(1)n+1 ,tn+1)/2 其中: x(1)n+1= xn + h f (xn ,tn) 例： X2 = x1 + h*f (x1 ,t1)/2 + h*f(x(1)2 ,t2)/2 改进了的欧拉法. 提高了准确度. 截断误差: O(h3),龙格-库塔法,Xn+1 = xn + h (k1 + 2k2 + 2k3 + k4 /6 其中: k1= f (xn ,tn) k2= f (xn+ hk1/2 , tn+ h/2) k3= f (xn+ k2/2 , tn+ h/2) k4= f (xn+ k3 , tn+ h)

28、,第四节 稳定性与代数判据,一、 稳定概念如系统受扰，偏离原来的平衡状态，而当扰动取消后，系统又能逐渐恢复到原来的状态，则称系统是稳定的，否则称系统是不稳定的。 稳定性是系统的一种固有特性（去掉扰动后自身的一种恢复能力），只取决于系统的结构参数，与初始条件及外作用无关。,二、稳定的数学条件及定义,系统的微方：a0dnC(t)/dtn +anC(t) = b0 dmr(t)/dtm + bmr(t)拉氏变换后： (a0Sn +an)C(S) = (b0Sm +bm) R(S) + M0(S)其中：M0(S)与初始条件有关的多项式 D(S) = a0Sn +an D(S)= 0 特征方程M(S)

29、= b0Sm +bm,二、稳定的数学条件及定义,C(S) = M(S) R(S)/D(S) + M0(S)/D(S)假定: D(S) = 0 有n个互异的特征根Si , 即: D(S) = a0(S-Si)假定: R(S)有L个互异的极点Srj（j=1，2，L） (如特征方程有重根，不影响结论)则： C(S) = Ai0 /(S - Si) +Bj /(S - Srj) +Ci/(S- Si) 结构参数 输入 初始条件,二、稳定的数学条件及定义,C(t) =Ai0eSit + BjeSrjt + CieSit其中：BjeSrjt取决于输入，是一稳态分量； Ai0eSit和CieSit取决特征根

30、（由系统的结构参数 确定），是瞬态分量。瞬态分量衰减为0 系统稳定。 （去掉扰动后自身的一种恢复能力） 稳定性定义：lim (Ai0+ Ci)eSit = 0 t i=0,二、稳定的数学条件及定义,稳定性的充分必要条件为系统特征方程的所有根都具有负实部 判别系统是否稳定，可归结为判别特征根实部的符号: ReSi0，（Si在左半S平面）稳定； ReSi = 0，(Si在虚轴上）临界稳定； ReSi0，（Si在右半S平面）不稳定。,三、稳定判据（Routh判据）,系统稳定的充分必要条件是Routh表中第一列系数全部大于零；否则系统不稳定，且该列中数值符号改变的次数等于系统特征方程正实根的数目。 系

31、统的特征方程：a0Sn + a1Sn-1 + an-1S + an = 0,三、稳定判据（Routh判据）,Routh表：Sn a0 a2 a4 Sn-1 a1 a3 a5 Sn-2 c13=(a1a2-a0a3)/a1 c23=(a1a4-a0a5)/a1 Sn-3 c14=(a3c13-a1c23)/c13 c24=(a5c13-a1c33)/c13 S1 c1nS0 c1(n+1) = an,三、稳定判据（Routh判据）,例：单位负反馈系统的开环传递函数为：GK(S) = K/S(0.1S+1)(0.25S+1) 1试求增益K的稳定域。 2欲使特征根全部位于垂线 S=-1 之左侧（稳定

32、度 a=1），问K的允许调整范围是多少？,三、稳定判据（Routh判据）,解：1.GB(S)= GK(S)/1+ GK(S) = K/S(0.1S+1)(0.25S+1)+K 特征方程：S(0.1S+1)(0.25S+1) + K = 0 0.025S3 + 0.35S2 + S + K = 0 Routh表： S3 0.025 1 S2 0.35 KS1 (0.35-0.025K)/0.35 0S0 K 系统稳定的条件：K0 0.35-0.025K0 即 K14 K的稳定域为： 0K14。,三、稳定判据（Routh判据）,2.取S=S1-1代入特征方程 0.025(S1-1)3 - 0.35

33、(S1-1)2 + (S1-1) + K = 0 S13 + 11S12 + 15S1 + (40K-27) = 0 Routh表: S3 1 15 S2 11 40K-27S1 11*15-(40K-27)/11 0S0 40K-27 系统稳定的条件：11*15-(40K-27)0 即K4.8 40K-270 即K0.675 当特征根全部位于垂线S=-1之左侧（稳定度a=1）时，K的允许调整范围是0.675K4.8。,对Routh表中出现的特殊情况的处理,1 Routh表的任意一行，第一个元素为0，其余元素不为0或部分为0时用一个很小的正数代替这个0。,对Routh表中出现的特殊情况的处理,

34、例：S4+3S3+S2+3S+1=0 S4 1 1 1S3 3 3 0S2 1 0S1 (3- 3)/ 0 0 S0 1 很小，3-（3/）0, 系统不稳定。且有两个特征根在右半S平面（Routh表第一列系数数值符号改变二次）。,对Routh表中出现的特殊情况的处理,2. Routh表中出现全0行时 用全0行上一行的元素构成一辅助方程，再对其求导得到新方程，用新方程的系数代替全0行。,对Routh表中出现的特殊情况的处理,例：S6 + S5 - 2S4 - 3S3 - 7S2 - 4S 4 = 0 S6 1 -2 -7 -4 S5 1 -3 -4 S4 1 -3 -4 辅助方程： S4 - 3

35、S2 4 = 0S3 0 (4) 0(-6) 0(0) 求导： 4S3 - 6S = 0S2 -3/2 -4 0S1 -16.7 0 S0 -4 系统不稳定。且具有一个正实部根。,四、结构不稳定及其改进措施,仅调整参数仍无法稳定的系统称为结构不稳定系统。例：液位控制系统 KpKmKlKa Gk(s)= S2(TmS+1)传递函数： G(S) = H(S)/HO(S) = K/(TmS3 + S2 + K),四、结构不稳定及其改进措施,特征方程：TmS3 + S2 + K = 0 S3 Tm 0 S2 1 K S1 -TmK 0 S0 K无论怎样改变参数，只要Tm0，K0，系统就不稳定。即为结构

36、不稳定系统。欲使系统稳定，必须改变结构。造成结构不稳定的原因: 特征方程缺项前向通路有两个积分环节.,消除结构不稳定的措施,改变积分性质或引入比例微分控制。1改变积分性质A用KH包围积分环节 X2(S)/X1(S)= Ka/(S+KaKH) 包围受控对象(积分环节)，使之变成惯性环节。 液位控制系统的特征方程变为： TmS3 +（1+TmKaKH）S2 + KaKHS + K = 0 没有缺项,消除结构不稳定的措施,B用反馈KH包围电动机的 传递函数 X2(S)/X1(S) = Km / (TmS+1) + KmKH破坏了原电动机传递函数中的积分性质。积分性质的破坏，改善了系统的稳定性，但会使

37、系统的稳态精度下降。,消除结构不稳定的措施,2 引入比例微分控制 G(S) = H(S) / HO(S) = K(S +1 ) / S2(TmS +1) + K(S +1) 液位控制系统的特征方程变为：TmS3 + S2 + KS + K = 0 消灭了缺项. 只要适当匹配参数, 即可使系统稳定.,第五节 稳态误差分析,控制系统的稳态误差是系统控制精度的一种度量。 系统的稳态误差与系统本身的结构参数以及外作用的形式密切相关。,一、误差及稳态误差的定义,误差 = 期望值 - 实际值 两种定义： 1e(t) = r(t) - c(t)2e(t) = r(t) - b(t) 对单位负反馈系统 H(S

38、) = 1，两种定义是统一的。稳态误差：误差的终值。 ess= lim e(t) t,二、稳态误差的计算,二、稳态误差的计算ess= lim S E(S) (拉氏变换的终值定理) s0例：系统结构如图 当输入r(t)=I(t)，干扰n(t)=I(t)时，求系统总的稳态误差。,稳态误差的计算举例,解： 1判别稳定性 特征方程： 两个传递函数，两个特征方程都是: S + K1K2 = 0特征根：S1 = - K1K20 系统稳定。,稳态误差的计算举例,2求r(t)作用下的ER(S) n(t) = 0 ER(S) = R(S)- C(S) = R(S)GR(S)R(S)= R(S)1 - K1K2/

39、S/(1+ K1K2/S) R(S) = 1/S= 1 / (S+ K1K2)3求n(t)作用下的En(S) r(t) = 0 En(S) = R(S)C(S) = 0 GN(S)N(S)= - K2/S/(1+ K1K2/S)N(S)= - K2/S(S + K1K2),稳态误差的计算举例,4求E(S) 由叠加原理 E(S)= Er(S)+ En(S) = 1/(S + K1K2) - K2/S(S+ K1K2)5求ess ess= lim S E(S) s0= lim S1/(S+ K1K2) - K2/S(S+ K1K2)s0 = - 1/K1,三、输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结

40、构的关系,系统的开环传递函数可写成典型环节串联的形式： K(1S + 1)(22S2 + 22S + 1）GK(S) = SV(T1S + 1)(T22S2 + 2T2S + 1) 式中：K开环增益, V积分环节数 E(S) = GER(S) R(S) = R(S) / 1+ GK(S) 1 SV+1 ess = lim S E(S) = lim S R(S) = lim R(S) S0 S0 1+ K/SV S0 SV+K 系统的稳态误差ess除与外作用R(S)有关外，还与系统的开环增益K 和积分环节数V有关。,输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系,1阶跃输入 r(t) = R*I

41、(t) SV+1 R RSV ess = lim = lim-S0 SV + K S S0 SV + K V = 0 ess= R /(1+K) V1 ess= 0 在阶跃输入下，系统消除稳态误差的条件是V1，即在开环传递函数中至少要有一个积分环节。,输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系,2斜坡输入 r(t) = R*t SV+1 R RSV-1 ess = lim = lim S0 SV+ K S2 S0 SV+ K V= 0 ess = V= 1 ess = R/K V2 ess = 0 在斜坡输入下，系统消除稳态误差的条件是V2。 即在开环传递函数中至少要有二个积分环节。,输入

42、信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系,3等加速度输入 r(t) = R*t2/2 SV+1 R RSV-2ess = lim = lim S0 SV + K S3 S0 SV + K V1 ess = V= 2 ess = R/K V3 ess = 0 在等加速度输入下，系统消除稳态误差的条件是V3。 即在开环传递函数中至少要有三个积分环节。,输入信号r(t)作用下稳态误差与系统结构的关系,提高系统的稳态精度（减小ess）要求增加积分环节数，但这与系统的稳定性将产生矛盾。,四、系统的型别和静态误差系数,1 系统的型别 K(1S + 1)(22S2 + 22S + 1）GK(S) = -

43、SV(T1S + 1)(T22S2 + 2T2S + 1) 式中：K开环增益, V积分环节数 V = 0 0型系统. 对阶跃输入的ess为常值, 对斜坡和等加速度输入的ess为。,系统的型别和静态误差系数,V = 1 I型系统. 对阶跃输入的ess为0, 对斜坡输入的ess为常值, 对等加速度输入的ess为。V = 2 型系统 对阶跃和斜坡输入的ess为0, 对等加速度输入的ess为常数. 依次类推。系统的型别越高，跟踪典型输入信号的无差能力越强。,系统的型别和静态误差系数,2 静态误差系数A 静态位置误差系数KP表示系统在阶跃输入下的稳态精度。 Kp = lim Gk(S)= lim (K/

44、 SV) S0 S0 0型系统（V=0）: KP= K I型及以上系统（V1）: KP= RSV ess = lim - S0 SV + K KP反映了系统跟踪阶跃信号的能力。KP越大，ess越小。,系统的型别和静态误差系数,B静态速度误差系数KV表示系统在斜坡输入下的稳态精度。KV= lim SGK(S) = lim (K/ SV-1) S0 S0 0型系统（V=0） KV= 0 I型系统（V=1） KV= K 型及以上系统（V2） KV= RSV-1 ess = lim S0 SV+ K KV反映了系统跟踪斜坡信号的能力。KV越大，ess越小。 KV虽然称为速度误差系数，但得出的ess并不

45、是速度的误差，而是系统在跟踪等速信号时出现的位置上的误差。,系统的型别和静态误差系数,C静态加速度误差系数Ka表示系统在等加速度输入下的稳态精度. Ka= lim S2GK(S) = lim (K/SV-2) S0 S0 0型，I型系统（V1） Ka= 0 型系统（V=2） Ka= K 型及以上系统（V3） Ka= Ka反映了系统跟踪等加速度输入信号的能力。Ka越大，ess越小。 Ka虽然称为加速度误差系数，但得出的ess并不是加速度的误差，而是系统在跟踪等加速信号时出现的位置上的误差。,系统的型别和静态误差系数,误差系数KP, KV, Ka与系统的型别一样，均是从系统本身的结构特征上体现了系

46、统消除稳态误差的能力，反映了系统跟踪典型输入信号的能力。,不同输入信号作用下系统类型,态误差系数和稳态误差,系统类型 静态误差系数 ess(阶跃输入) ess(斜坡输入) ess(加速度输入) V KP KV Ka R /(1+KP) R/KV R/Ka 0 K 0 0 R /(1+K) K 0 0 R/K K 0 0 R/K 0 0 0,五、 改善系统稳态精度的方法,1. 增大开环增益 增大扰动作用点以前的前向通道的增益, 以保证对参考输入的跟随能力, 降低扰动引起的稳态误差. 增大开环增益 误差系数增大 稳态误差降低. 增大开环增益 稳定困难.,五、 改善系统稳态精度的方法,2. 增加前向

47、通道中积分环节数 使系统型别提高, 以消除不同输入信号时的稳态误差. 增加积分环节 提高控制精度. 增加积分环节 对稳定性不利.,改善系统稳态精度的方法,3. 采用复合控制 (1)按干扰补偿 确定GN(S)，使干扰n(t)对输出C(t)无影响。或称C(t)对n(t)具有不变性. GCN(S) = CN(S)/N(S) = 1/G1(S)+GN(S)G1(S)G2(S)/1+G1(S)G2(S)= G2(S)+G1(S)G2(S)GN(S)/1+ G1(S)G2(S) 令：GCN(S) = 0 则：GN(S) = -1/ G1(S)是对干扰全补偿的条件。,改善系统稳态精度的方法,(2)按输入补偿 确定GR(S)，使系统在输入作用下的误差得到全补偿。 C(S) = 1+ GR(S)G2(S)/1+G2(S)R(S)E(S) = R(S) - C(S) = 1- G2(S) + GR(S)G2(S) / 1+G2(S)R(S) = 1- GR(S)G2(S)R(S) / 1+ G2(S) 令：E(S)= 0 则：GR(S)= 1/G2(S)是对输入全补偿的条件。,本章小结,1.一阶系统,二阶系统的性能指标 定义, 计算, 改进措施.2.稳定性分析 定义, 计算, 改进措施.3.稳态误差 定义, 计算, 改进措施.,