考研数学一常微分方程辅导课件.ppt

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1、1,第七章 常微分方程,主讲人：周志轩,一、基本概念、定理、公式二、重要题型的解题方法与技巧三、思维定势及综合题解析,2,微分方程,表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程 叫微分方程,微分方程的阶,微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数 叫微分方程的阶,一般n阶微分方程的形式为 F(x y y y(n) )0 或 y(n)f (x y y y(n1) ),一、基本概念、定理、公式,3,微分方程的解,满足微分方程的函数叫做该微分方程的解,确切地说 设函数y(x)在区间I上有n阶连续导数 如果在区间I上 Fx (x) (x) (n) (x)0 那么函数y(x)就叫做微分方程F(

2、x y y y(n) )0在区间I上的解,通解,如果 n 阶微分方程的解中含有 n 个相互独立的任意常数 则这样的解叫做微分方程的通解,特解,确定了通解中的常数以后 就得到微分方程的特解 即不含任意常数的解叫特解,4,对于一阶微分方程 通常用于确定任意常数的条件是,对于二阶微分方程 通常用于确定任意常数的条件是,初始条件,用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件,求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题,初值问题,微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分曲线,积分曲线,5,可分离变量的微分方程的解法,两端积分,方程G(y)F(x)C yy(x)或xx(y)都是方程的通解 其中G(

3、y)F(x)C称为隐式(通)解,求显式解,求方程由G(y)F(x)C所确定的隐函数,yy(x)或xx(y),如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y) 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,分离变量,将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式,6,注,分离变量得,解,这是一个可分离变量的微分方程.,两边积分得,即 ln|y|x2C1,ln|y|x2ln|C|,加常数的另一方法,例1 求微分方程 的通解。,标准形式 yP(x)yQ(x) 当Q(x)恒为零时称为齐次线性方程 Q(x)不恒为零时称为非齐次线性方程,一阶线性微分方程,齐次线

4、性方程的通解,齐次线性方程yP(x)y0是变量可分离方程 其通解为,提示,非齐次线性方程的通解,齐次线性方程的通解,非齐次线性方程yP(x)yQ(x)的通解为,注,非齐次线性方程的通解也可写为,上式表明 非齐次线性方程的通解等于对应的齐次线性方程通解与非齐次线性方程的一个特解之和,齐次通解,非齐次特解,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,对于非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,例2 解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解.,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,令,伯努利方程,标准形式 yP(x)yQ(x)yn (n0

5、1),伯努利方程yP(x)yQ(x)yn可化为:,伯努利方程的解法,解,原方程可化为,由非齐次线性方程的通解公式 得,即原方程的通解为,例3 求方程 的通解.,齐次方程的解法,变量代换,分离变量,两端积分,还原变量,齐次方程,注: 也可取变量代换,原方程可写成,解,分离变量 得,两边积分 得 uln|u|Cln|x| 或写成 ln|xu|uC,例4 解方程,二阶线性微分方程,二阶线性微分方程的一般形式为 yP(x)yQ(x)yf (x) 若方程右端f(x)0时 方程称为齐次的 否则称为非齐次的,定理1(齐次方程的解的叠加原理),如果函数y1(x)与y2(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的两个

6、解 那么yC1y1(x)C2y2(x)也是方程的解 其中C1,C2是任意常数,定理2(齐次方程的通解的结构),如果函数y1(x)与y2(x)是方程y+P(x)y+Q(x)y=0的两个线性无关的解 那么 y=C1y1(x)+C2y2(x)是方程的通解 其中C1、C2是任意常数,注: 函数y1(x)与y2(x) 线性无关, 是指,例如：已知cos x与sin x都是方程y+y=0的解 因为比值 cos x/sin x=cot x不恒为零所以cos x与sin x在( )内是线性无关的 因此cos x与sin x是方程y+y=0的线性无关解方程y+y=0的通解为 y=C1cos xC2sin x,定

7、理3(非齐次方程的通解的结构),设y*(x)是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的一个特解 Y(x)是方程yP(x)yQ(x)y0的通解 那么yY(x)y*(x) 是方程yP(x)yQ(x)yf(x)的通解,例如：已知cos x与sin x都是方程y+y=0的解 因为比值 cos x/sin x=cot x不恒为零所以cos x与sin x在( )内是线性无关的 因此cos x与sin x是方程y+y=0的线性无关解方程y+y=0的通解为 y=C1cos xC2sin x,例如： 已知Y=C1cos x+C2sin x是齐次方程y+y=0的通解 y*=x2-2是非齐次方程y+y=x2的一个特解

8、 因此 y=C1cos x+C2sin x+x2-2 是非齐次方程y+y=x2的通解,定理4(非齐次方程的解的叠加原理),设y1*(x)与y2*(x)分别是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x)与yP(x)yQ(x)yf2(x)的特解 那么y1*(x)y2*(x)是方程 yP(x)yQ(x)yf1(x) f2(x)的特解,二阶常系数齐次线性微分方程,方程ypyqy0称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数,方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程.,特征方程,第一步 写出微分方程的特征方程r2+pr+q=0第二步 求出特征方程的两个根r1、r2 第三步 根据特征方程的两个根

9、的不同情况, 写出微分方程的通解.,求y+py+qy=0的通解的步骤:,有两个不相等的实根 r1、r2,有一对共轭复根 r1, 2i,yex(C1cosxC2sinx),特征方程的根与通解的关系,有两个相等的实根 r1r2,欧拉公式:,因此微分方程的通解为yC1exC2e3x,例5 求微分方程y2y3y0的通解,解,微分方程的特征方程为,r22r30,特征方程有两个不相等的实根r11 r23,即(r1)(r3)0,特征方程有两个相等的实根r1r21,例6 求方程y2yy0的通解,解,微分方程的特征方程为,r22r10,即(r1)20,因此微分方程的通解为yC1ex C2xex,即y(C1C2x

10、)ex,r22r50 特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根 因此微分方程的通解为yex(C1cos2xC2sin2x),例7 求微分方程y2y5y 0的通解,解,微分方程的特征方程为,二阶常系数非齐次线性微分方程,方程ypyqyf(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x)y*(x),1、 f(x)Pm(x)ex 型,(3) 如果是特征方程r2prq0的重根, 则,y*x2Qm(x)ex,(2) 如果是特征方程r2prq0的单根, 则,y*xQm

11、(x)ex,(1) 如果不是特征方程r2prq0的根 则,y*Qm(x)ex,y*Q(x)ex,设方程ypyqyPm(x)ex 特解形式为,Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x) (*),则得,其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式,例8 求微分方程 y5y6yxe2x 的通解,解,齐次方程 y5y6y0 的特征方程为 r25r 60,其根为 r12 r23,可设非齐次方程的待定特解为 y*x(b0 xb1)e2x 把它代入所给方程 得,2b0 x2b0b1x,比较系数得,故,齐次方程的通解为,因此所给方程的通解为,2、f(x)=elxPl(x)coswx+Pn(x)sinwx

12、型,二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyexPl(x)cosxPn(x)sinx有形如 y*xkexR(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx的特解 其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmaxl n 而k按i(或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1,解,例9 求微分方程yyxcos2x的一个特解,因为f(x)exPl(x)cosxPn(x)sinxxcos2x i2i不是特征方程的根 所以所给方程的特解应设为,齐次方程yy0的特征方程为r210,把它代入所给方程 得,y*(axb)cos2x(cxd)sin2x,(3ax3b4c)cos2x(3cx4a

13、3d)sin2xxcos2x,练习：,1、设线性无关的函数y1(x),y2(x),y3(x)均是二阶非齐次线性方程,的解，C1,C2是任意常数，则该非齐次线性方程的通解是( ).,D,练习：,2、设y1(x), y2(x)为二阶常系数线性齐次方程,的两个特解，则由y1(x)与y2(x)能构成该方程的通解的充分条件为( ).,B,练习：,3、已知,是某二阶线性非齐次常系数微分方程的三个解，求此微分方程及其通解。,答案： 微分方程为 其通解为,28,二、重要题型的解题方法与技巧,题型一：一阶微分方程的计算,例10 求解下列微分方程：,答案：,例11 求解下列微分方程：,答案：,例12 求解下列微分

14、方程：,答案：,例13 求解下列微分方程：,答案：,例14 求解下列微分方程：,答案：,33,题型二：可降阶的高阶方程的求解,例15 求解下列方程：,答案：,34,题型三：二阶线性微分方程的求解,例16 求解下列方程：,答案：,35,题型四：微分方程的应用,例17 已知曲线过点(1,1)，如果把曲线上任一点P处的 切线与y轴的交点记作Q，则以PQ为直径所做的 圆都经过点R(1,0)，求此曲线方程。,答案：y2=2x-1,36,例18 一质量为m的船以速度v0行驶，在t=0时，动力 关闭，假设水的阻力正比于vn，其中n为一常数， v为瞬时速度，求速度与滑行距离的函数关系。,答案：,三、思维定势及

15、综合题解析,例19 下列微分方程中，以,（C1,C2,C3是任意常数）为通解的是( ).,D,例20 函数,满足的一个微分方程是( ).,D,例21 设函数 f (x) 可导，且对任何实数 x, h 满足 f (x) 0，,此外， 求 f (x) 的表达式.,答案：,结束语当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的，所以不要放弃，坚持就是正确的。When You Do Your Best, Failure Is Great, So DonT Give Up, Stick To The End,感谢聆听不足之处请大家批评指导Please Criticize And Guide The Shortcomings,演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日,