矩阵理论及应用1概要课件.ppt

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1、2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,1,矩阵理论及应用,河北大学电子信息工程学院,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,2,目录,第一章 线性空间与线性变换第二章 范数理论及其应用第三章 矩阵分析及其应用第四章 矩阵分解第五章 特征值的估计第六章 广义逆矩阵,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,3,第一章 线性空间与线性变换,线性空间线性变换两个重要的线性空间及其线性变换(欧几里德空间、酉空间；正交变换、酉变换）。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,4,第一节 预备知识：集合、映射与数域,一、集合及其运算,1、集合的定义和表示,集合：指一类特定事物的全体

2、。 构成集合的事物（或成员）称为集合的元素。,例：,一个代数方程组解的全体组成的集合,以原点为圆心的单位圆内所有的点所组成的集合,集合的表示：,通常用大写字母A、B、C表示集合，而用小写字母a、b、c表示集合的元素。,若a为集合A的元素，则称a属于A,若a不是集合A的元素，则称a不属于A,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,5,第一节 预备知识：集合、映射与数域,表示一个集合通常有两种方法,如：满足方程 的所有的点组成的集合,所有的正整数所构成的集合,若 且 则,有限集、无限集 、空集,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,6,第一节 预备知识：集合、映射与数域,2、集合间的

3、运算,并集,交集,差集,和集, 和集并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。,例：,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,7,第一节 预备知识：集合、映射与数域,二、两个集合中元素之间的对应关系映射,1、映射和一一映射,原像集合（或定义域）,像集合（或值域）,（ ）,称为元素 在映射 下的像, 的原像,映射：,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,8,单值映射（简称单射）：,第一节 预备知识：集合、映射与数域,对每一个原像点，有且只有一个像点与之对应，而且对任意 ，当 时，有 ，则称映射 为单值映射（简称单射）；,满映射（简称满射）：,如果对任意 ，都有一

4、个 使得 ，则称 为满映射（简称满射）,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,9,第一节 预备知识：集合、映射与数域,如果映射 既为单值映射，又为满映射，则称 是集合 到集合 的一一映射（或称为双映射）。,一一映射：,恒等映射（或单位映射 ）即为一一映射,例：,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,10,2、逆映射,对于集合 中的每一个元素 ，都有 中的元素 ，使得 ，这种由集合 到集合 中的映射，称为映射 的逆映射，记作,或,设 是 阶可逆的实数方阵， 和 均为 维实列向量，满足,例：,此式表示矩阵 为 的一一映射。,又有， 即 为其逆映射。,第一节 预备知识：集合、映射与数

5、域,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,11,三、数域,设 是数的非空集合，按照通常数的运算规则，对其中任何两个元素进行加、减、乘、除（分母非零）封闭，且满足乘法交换律，则称 为一个数域。,例：,实数集关于加、减、乘、除四则运算封闭，且满足乘法交换律，因此它成为一个数域，称其为实数域，记为 。,复数集也成为一个数域，称其为复数域，记为 。,同样，还有有理数域 。,第一节 预备知识：集合、映射与数域,从数域定义可以看出，数域应具有以下特征： （1）有无穷多元素（为无限集）。 （2）必须含有零元素和单位数1元素。 （3）任何两元素都可进行四则运算。,问题：无理数集、整数集是否构成数域？,

6、2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,12,例1-1,证明：,证明 构成一数域。,第一节 预备知识：集合、映射与数域,设,，令,（1）,（2）,（4）,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,13,第二节 线性空间,一、线性空间的定义,设 是非空集合，其元素用 等表示，并称之为向量； 为一数域，其元素用 等表示。在 与 中规定了以下两种运算：,定义1.2.1,（线性空间）,且加法运算和数乘运算分别满足下面八条规则：,（）,（）,（加法交换律）,（加法结合律）,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,14,第二节 线性空间,（）在 中存在零元素0，使对任何 ，有,（零元律）,

7、（）对任一 ，都存在 的负元素 ，使得,（负元律）,（）对任一 ，都有,（恒等律）,（）对任一 ， ，有,（数乘结合律）,（）对任一 ， ，有,( 数乘分配律),（）对任意 ， ，有,( 数因子分配律),则称 为数域 上的线性空间或向量空间。,中的元素称为向量， 中所定义的加法运算和数乘运算统称为 的线性运算。,注意：“向量”的概念已经不在专指 个有序的数组，而是指任何线性空间中的任意的元素。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,15,第二节 线性空间,例1.2.1,若 为数域， 是分量属于 的 元有序数组的集合，即,容易验证，集合 构成数域 上的线性空间。,当 为实数域时， 为实数

8、域上的线性空间,当 为复数域时， 为复数域上的线性空间,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,16,第二节 线性空间,例1.2.2,（矩阵空间）,（多项式空间 ）,所有元素属于数域 的 矩阵组成的集合按通常定义的矩阵加法和数与矩阵的乘法，也构成数域 上的一个线性空间，记为,当 为实数域时，记为 ， 为复数域时，记为 。,例1.2.3,次数不超过 的实系数多项式的全体所构成的集合,在通常的多项式加法和多项式乘实系数的运算下，构成实数域上的线性空间，通常记为,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,17,第二节 线性空间,（函数空间 ）,例1.2.4,定义在区间 上的一切连续的一元实

9、函数的集合，记作 ，对通常定义下函数的加法和数乘运算，构成实数域 上的线性空间。,例1.2.5,即 对所定义的加法运算“ ”与数乘运算“ ”是封闭的,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,18,第二节 线性空间,由此可证， 是实数域 上的线性空间。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,19,第二节 线性空间,证明：(1) 零元素的惟一性（采用反正法）,设存在两个零元素01和02，按零元律和加法交换律，有,010201020102,0102,（2）负元素的惟一性（采用反正法）,设元素 有两个负元素 和 ，根据负元律，有,于是由零元律和加法结合律，有,2022/12/9,河北大学

10、电子信息工程学院,20,第二节 线性空间,二、线性空间中向量的相关性,若上式只有在 时才成立，则称这组向量是线性无关的。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,21,例1.2.6,第二节 线性空间,考虑实数域 上的线性空间 中的一组向量（矩阵）,的线性相关性。,解：,设 ，即,则 ，于是 ， ， ， 线性无关。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,22,第二节 线性空间,例1.2.8,考虑 中的一组向量,的线性相关性。,设 ，即,解：,由此可得：,系数矩阵为：,由于 ， ，方程组有非平凡解,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,23,第二节 线性空间,三、线性空间的维

11、数,定义1.2.3,线性空间 中最大线性无关元素组所含元素个数称为 的维数，记为 。,维数是 的线性空间称为数域 上的 维线性空间，记为 。,例1.2.9,常系数二阶齐次线性微分方程 的解的集合 ，对于函数的加法以及函数与数的乘法运算，构成一线性空间。,由微分方程的特征方程,两个线性无关的解为 ， 。其微分方程的所有解都可以由 ， 线性表示，即,因此，此线性空间的维数为2，即,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,24,四、线性空间的基与坐标,第二节 线性空间,定义1.2.4,设 是数域 上的线性空间， 是 的一个非空子集，如果它满足,则称 为 的一个基或基底，并称 为基向量。,例1.

12、2.10,在 中，有 ， ，其中,；,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,25,第二节 线性空间,(1) 和 是两个线性无关向量组。这是因为,（2）对于 中任一向量 ，都可以分别表示为,因此， 和 是 的两个基。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,26,第二节 线性空间,设 为 的一个基， ，则 可惟一的表示成 的线性组合。,定理1.2.2,证明：（应用反正法）,设 经由 的线性表示有两个，即,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,27,第二节 线性空间,由于 为 的一个基，则 线性无关,即 可惟一的表示成 的线性组合。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学

13、院,28,第二节 线性空间,五、基变换与坐标变,1、基变换,设 和 是 中的两个基,其中矩阵,容易证明过渡矩阵是可逆的（为非奇异矩阵）。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,29,第二节 线性空间,解：由,由基 到 的过渡矩阵为,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,30,第二节 线性空间,解：为了计算简便，采用中介基的方法，引进 的第三个基,（）,由基（）到基（）的过渡矩阵为,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,31,第二节 线性空间,由基（）到基（）的过渡矩阵为,由基（）到基（）的过渡矩阵为,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,32,第二节 线性空间,

14、2、坐标变换,设 中的向量 在两个基 和 下的坐标分别为 和,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,33,第二节 线性空间,例1.2.13,在 中,有两个基,若多项式 在基 下的坐标为 ，求 在基 下的坐标。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,34,第二节 线性空间,解：,在基 下的坐标为：,由,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,35,第三节 线性子空间,一、线性子空间的概念,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,36,第三节 线性子空间,线性子空间的生成,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,37,第三节 线性子空间,显然， ，且 。,还可如下

15、生成：,？,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,38,第三节 线性子空间,的核空间的维数称为 的零度，记为 ，即,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,39,第三节 线性子空间,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,40,第三节 线性子空间,定理1.3.1,设 是数域 上的线性空间 的一个 维子空间， 是 的一个基，则这 个基向量必可扩充为 的一个基。换言之，在 中必可找到 个向量 ，使得是 的一个基。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,41,第三节 线性子空间,二、子空间的交与和,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,42,第三节 线性子空间,2

16、022/12/9,河北大学电子信息工程学院,43,第三节 线性子空间,定理1.3.4,如果 ， 是数域 上的线性空间 的两个子空间，那么有下面公式,（维数公式）,设,证明：,需要证明,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,44,第三节 线性子空间,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,45,第三节 线性子空间,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,46,第三节 线性子空间,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,47,第三节 线性子空间,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,48,第三节 线性子空间,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,49,由于 为直和,第三节 线性子空间,证明：,而 为 的 个向量，只需证明它线性无关即可。,2022/12/9,河北大学电子信息工程学院,50,例1.3.7,第三节 线性子空间,线性空间 , , 是 的三个子空间,