玻耳兹曼分布PPT讲稿课件.ppt

《玻耳兹曼分布PPT讲稿课件.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《玻耳兹曼分布PPT讲稿课件.ppt（102页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、玻耳兹曼分布课件,一、配分函数,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,（7.1.1）,在系统的N个粒子中，处在能级l 上的粒子出现的概率为,由归一化条件,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,（7.1.3）,代入式（7.1.1）中得：,其中，Zl称为配分函数。由式（7.1.3）和（7.1.4）可以看出，如果将（7.1.3）式右边的分子看作粒子的某一特定状态的话，则配分函数Zl可视为粒子的“有效状态和”。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,式（7.1.4）是配分函数的量子表达式，它的经典表述为,（7.1.5）,当各 取得足够小时，上式的求和可用积分表示，有

2、,引入配分函数Zl后，玻耳兹曼分布式可改写为,（7.1.6）,（7.1.7）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,二、热力学量的统计表达式,1.内能,对于近独立粒子系统，系统的内能等于各个粒子的平均能量之和，即,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,利用式（7.1.3）和式（7.1.4），有,2.广义力：,以三维自由粒子为例分析：,由上式可知：,粒子能级是外参量V的函数，即是热力学中广义坐标的函 数, .,若在外界广义力的作用下，发生广义位移（y变化）， 能级就有变化。,可见： 相当于外界施于每个粒子上的广义力。,利用（7.1.3）和（7.1.4）式，有,2022年1

3、2月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,对于近独立粒子系统而言，系统受到的作用力为,（7.1.10）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,比较：,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,3热力学第一定律的统计解释,（1）,（3）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,又,（5）,比较（1）（4）（5）式可知：系统内能的改变分为两部分：,作功改变内能： 粒子分布不变，广义力作用下，由于能级的变化引起内能变化,与外界对系统作的功对应；,传热改变内能： 粒子能级不变，由于粒子分布变化引起内能变化。与系统从外界吸收的热量相对应。可见,从微观来看功和热量是有区别的。,2

4、022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,4熵的统计表达式,前面曾经讲过，统计物理的一个基本观点是宏观量是相应微观量的统计平均值。但是，并非所有的宏观量都有相应的微观量。,例如，宏观量熵就不存在相应的微观量。对于这种情况，我们只能通过和热力学理论相比较的方法得到其统计表达式。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,因为：,用乘以上式，得,考虑到配分函数Zl是和y的函数， lnZl的全微分可写为,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,（7.1.14）,其中，K是比例常数。由于上面的讨论是普遍的，适用于任何物质系统，所以常数K是一个普适常数，称为玻耳兹曼常数。,比较式

5、（7.1.12）和式（7.1.13）可以看出，未定乘子与系统的温度T有关。我们可令,在理想气体的计算中可以得到,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,其中 是阿伏伽德罗(Avogadro)常数； 是气体普适常数。由此得K的数值为,比较式（7.1.12）和（7.1.13），并考虑到（7.1.14）得,（7.1.15）,现在来讨论熵函数的统计意义：,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,上式就是熵的统计表达式。其中，我们已将积分常数选为零。,代入式（7.7.15）得:,（7.1.17）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,由玻耳兹曼分布公式,可得,代入式（7.

6、1.17），有,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,说明：,（1）玻耳兹曼关系告诉我们，系统的熵与微观状态数的对数成正比，系统的微观状态数越多，系统的混乱程度就越高。因此，熵是系统混乱度的量度，这是熵的实质。,（2）虽然玻耳兹曼关系是系统在平衡态的条件下得到的，但也适用于非平衡态。可用它来解释热力学中的熵增加原理。,上式称为玻耳兹曼关系。其中，K是玻耳兹曼常数，是与一个分布所对应的微观状态数， 。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,若系统包含1和2两个部分，每部分各自处在平衡态，但整个系统没有达到平衡。我们用 和 分别表示两部分的微观状态数，两部分的熵分别为,整个

7、系统的微观状态数等于两部分的微观状态数的乘积，即:,系统的熵为,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,当整个系统达到平衡后，它的微观状态数为，相应的熵为,由于是在所给定的孤立系统条件下，与最概然分布相对应的微观状态数，显然有大于 和 的乘积,因此S大于S。说明在孤立系中系统的熵函数是增加的。,（3）玻耳兹曼关系所表达的熵是绝对熵,将积分常数取为零是一个自然的选择。因为，在绝对零度下，系统将处在它的最低能级，此时的微观状态数0也就是基态能级的简并度。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,若基态能级是非简并的，0=1， 则由式（7.1.19）有S=0。若基态能级是简并的，

8、由于玻耳兹曼常数K很小，熵实际上也等于零。,如果进一步考虑到量子力学的全同性原理，将微观状态数除以N!,则玻耳兹曼关系所表达的熵就是绝对熵。,5自由能F,上面给出了内能、物态方程、熵三个基本热力学函数的统计表达式，可以看到，只要求得粒子的配分函数，便可利用上述公式求得系统的基本热力学函数，从而确定该热力学系统的全部平衡性质。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,由此可见，配分函数是以和y（对于简单系统为T、V）为自变量的特性函数。,由热力学知，以T、V为自变量的特性函数是自由能F。将式（7.1.9）和（7.1.15）代入F的定义式，得：,7.2 理想气体的物态方程,2022年12

9、月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,理想气体可以作为玻耳兹曼统计的最简单的应用实例。这是因为：, 理想气体是典型的近独立粒子系统；,本节应用玻耳兹曼统计来讨论单原子分子理想气体的物态方程。,一、理想气体分子的配分函数, 理想气体满足经典极限条件 。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,设气体含有N个分子，每个分子均可视为三维自由粒子，其能量为：,(7.2.1),其中m为分子质量。利用配分函数的经典表达式（7.1.6），有,上面的积分可写成六个积分的乘积：,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,利用积分公式,式(7.2.3)是理想气体分子的配分函数。其中， 是气体的体积

10、。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,二、理想气体的物态方程,对于双原子分子气体，除了考虑分子平动能量外，还包括转动、振动等能量，我们将在7.5 中再讨论。,利用式（7.1.11） 和式(7.2.3)得：,7.3 麦克斯韦速度分布律,研究的系统及问题：N个理想气体分子组成的系统，处于体积为V，温度为T的平衡态下，由于 ，所以重力势能可以忽略。我们研究分子质心的平移运动，导出气体分子的速度分布律。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,一、麦克斯韦速度分布律,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,在无外场时，分子质心运动能量的经典表达式为,（7.3.2）,

11、在体积为V，动量在dpxdpydpz 范围内的分子质心平动的状态数为,因此，在体积V内，质心平动动量在 范围内的分子数为,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,(7.3.3),将式（7.3.4）代入式（7.3.3），得:,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,（7.3.5）,如果用速度作为变量，以vx , vy , vz 表示速度的三个分量，则,代入式（7.3.5）可求得速度在 范围内的分子数为,（7.3.6）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,以n表示单位体积内的分子数，则单位体积内速度在 范围内的分子数为:,（7.3.7）,式（7.3.7）就是我们在

12、热学中曾学到过的麦克斯韦速度分布律。这里是通过玻耳兹曼分布导出的，在第九章我们将看到，在分子间存在相互作用的情况下，根据正则分布也可以导出这一分布，说明实际气体分子的速度分布也遵从这一规律。,二、麦克斯韦速率分布律,则由(7.3.6)式，单位体积内,速率介于 内的分子数为：,研究速率介于 内的分子数的统计规律。为此，我们引入速度空间的球极坐标 ，以球极坐标的体积元代替直角坐标的体积元：,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,（7.3.10）,（7.3.9）,在单位体积内速率在dv范围内的分子数为:,上式称为气体分子的速率分布律。速率分布函数满足下式,2022年12月9日星期五,第七

13、章 玻耳兹曼统计,显然，速率分布函数式（7.3.9）有一极大值（因为同时存在与 成正比和与 指数成反比的两个因子）。使速率分布函数取极大值的速率称为最概然速率，以 表示。它的意义是：如果把速率分为相等的间隔， 所在的间隔分子数最多。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,利用速率分布函数式（7.3.9），由求统计平均值的方法还可得出分子的平均速率 和方均根速率 .,为求方均根速率 ，我们先求 。,（7.3.13）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,由式（7.3.12）、（7.3.13）和（7.3.14）知，三种速率都与成 正比，与 成反比。三种速率的大小之比为,由式

14、（7.3.15）或式（7.3.14）可以计算气体分子的方均根速率。例如，氮气分子在的 为 .,7.4 能量均分定理,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,一、能量均分定理,1.表述：,对于处在温度为T的平衡态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于KT/2 .,经典理论认为，能量是可以连续变化的。在这一前提下，本节利用经典的玻耳兹曼分布，导出一个重要的定理能量均分定理，并应用该定理研究气体系统的内能、热容量，并进行有关讨论。,麦克斯韦速度分布律为近代许多实验（例如热电子发射实验和分子射线实验）所直接证实。它有着广泛的应用，作为例子，教材260页利用麦克斯韦的速度分布律计算了分

15、子的碰壁数。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,2.证明：,现在根据经典玻耳兹曼分布来证明该定理。由经典力学知，粒子的能量是其动能 和势能 之和，即：,在一般情况下，粒子的能量可以表达为：,（7.4.1）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,上式中第一项是动能部分，其中系数 它可能是 的函数，但与 无关。,例如：分子质心平动动能 ，可见 。,其中平方项中的 也都是正数，它和 都有可能是 的函数（r r），与 无关。,第二项是势能部分，假定势能中的一部分可以表示为平方项，另一部分不能表示为平方项，即：,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,首先计算第一个

16、动能项 的平均值。利用统计平均值的计算公式，有,由分部积分，得,因为 a1 0，上式第一项为零，故有,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,（7.4.2）,这样就证明了能量中每一平方项的平均值都等于,二、能量均分定理的应用,利用能均分定理可以很便捷地计算出一些物质系统的内能，进而算出其热容量。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,1.单原子分子理想气体的内能和热容量:,上式有三个平方项，由能量均分定理知，在温度为T时，单原子分子的平均能量为,单原子分子理想气体的内能为,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,定容热容量 为,由迈耶关系 ，求得定压热容量为：,

17、表7.2（教材263页）列举实验数据表明，对于单原子分子气体，理论结果和实验结果符合得很好。（说明*）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,2.双原子分子理想气体的内能和热容量：,上式第一项是分子质心的平动动能，其中m是分子的质量，它等于两个原子的质量 和 之和。第二项是分子绕质心的转动动能. 其中 是转动惯量， 是约化质量，r是两原子的距离。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,第三项是两原子相对运动的能量，其中 是相对运动的动能，u(r)是两原子的相互作用能量。如采用刚性哑铃模型（即不考虑两原子间的相对运动），则式（7.4.6）有五个平方项，由能均分定理，在温度

18、为T时，双原子分子的平均能量为,双原子分子气体的内能和定容热容量分别为,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,由迈耶关系 CP-CV= N k ，求得定压热容量为,表7.3（教材265页）列举实验数据表明，对于双原子气体，除了在低温下的氢气以外，理论结果和实验结果都符合得比较好。而对于氢气在低温下的性质，经典理论是不能解释的，这说明经典理论存在缺陷。（说明*）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,3.固体的内能和热容量,（7.4.8）,上式中包含两个平方项，由能均分定理每个线性谐振子的能量为kT, 每个原子的运动可视为三个独立的谐振子的运动，所以每个原子的能量为：,固

19、体中的原子在其平衡位置附近作无规则的微振动。如果我们把它看作是相互独立的三个一维的简谐振动，或称为三个线性谐振子，则每个线性谐振子的能量为:,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,设固体有N个原子，其内能为U=3NkT,式（7.4.9）与杜隆、珀替在1818年从实验发现的结果（即杜隆珀替定律）相符合。对于固体来说，通常实验测量的是定压热容量CP，它与CV的关系为：,（7.4.10）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,上述理论结果和实验结果的比较表明，在室温和高温范围内，二者符合得很好。但是在低温范围，实验发现固体热容量随温度下降得很快，当温度趋近绝对零度时，热容量也

20、趋于零，这个事实经典理论不能解释；并且相同质量的不同固体，其热容量也是不相同的，说明热容量还与固体的特性有关；另外，金属中存在自由电子，如果将能量均分定理应用于电子，自由电子的热容量与离子振动的热容量将具有相同的量级。而实验结果是，在3K以上自由电子的热容量与离子振动的热容量相比，可以忽略不计，这个事实经典理论也不能解释。这时，经典理论又遇到了严重的挑战。,三个问题：1.为什么体现不出电子对热容量的贡献？2.为什么常温下振动对热容量无贡献？低温下只有平动对热容量有贡献？（气体）。3.为什么固体的热容量在低温下时，杜隆一珀替定律与实验偏离。这是经典理论自身的缺陷。经典的能量均分定理是以能量连续变

21、化为前提的，实际上，粒子的能量是量子化的。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,7.5 理想气体的内能和热容量,一、双原子分子理想气体的能量和配分函数,经典能量均分定理关于理想气体的内能和热容量，没有解决以下三个问题：电子的运动对于 为何无贡献；振动在常温范围对 为何无贡献；低温下为何只有平动对 有贡献。为此，本节研究理想气体内能和热容量的量子统计理论。本节只能解决后两个问题，第一个问题留待以后讨论，所以暂不考虑电子运动。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,二、双原子分子气体的内能和热容量,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,1平动对内能和热容量的贡

22、献:,(7.5.5),式（7.5.5）与由经典统计的能量均分定理得到的结果一致。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,2振动对内能和热容量的贡献:,若令： 则利用级数公式 可得：,（7.5.7）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,上式中第一项：与T无关，是N个振子的零点能；第二项：与T有关，T ，故是温度为T时N个振子的热激发能量。,取决于分子的振动频率，可以由分子光谱的数据定出，教材271页表7.4列出了几种气体的 值。,讨论:,由于双原子分子的振动特征温度是103的量级，在常温下有 ，因此 和 可近似为：,（7.5.10）,式（7.5.10）指出，在常温范围，

23、振动自由度对热容量的贡献接近于零。其原因可以这样理解，在常温范围双原子分子的振动能级间距 远大于 。由于能级分立，振子必须取得能量 才有可能跃迁到激发态。在 的情形下，振子取得 的热运动能量而跃迁到激发态的概率是极小的，因此平均而言，几乎全部振子都冻结在基态。当气体温度升高时，它们也几乎不吸收能量。这就是在常温下振动自由度不参与能量均分的原因。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,3转动对内能和热容量的贡献:,其中，I为转动惯量，l为转动量子数。,由于转子是具有2个自由度的力学系统，所以除了量子数l以外，还需另一个量子数m 。 计算表示， m的取值为 即l一定时， m可取2l+1

24、 个量子态。,即简并度为：,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,因此（7.5.13）的求和可用积分代替。,转动的配分函数为,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,转动内能为,上式正是能均分定理的结果，这是因为在常温下转动能级间距远小于KT，因此转动能量可看作准连续的变量，在此情形下量子和经典统计所得结果是一样的。,b.低温下时： ，则：,则低温下转动对内能热容量均无贡献。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,双原子分子气体热力学量的经典玻耳兹曼统计推导可阅读pp275276，这里不再详述。同学们可将其作为习题，分别求平动子、转子 和振子的经典配分函数。,

25、结论：1.考虑能量量子化以后， 表达式与经典有区别。,2.若满足 时，能级可视为连续，量子理论过渡到经典理论。所以经典理论是极限，有一定应用意义。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,7.6 理想气体的熵,(7.6.1),应指出的是，上式不符合熵是广延量的要求，这一缺陷是由经典全同粒子可分辨引起的，显示了经典物理的局限性。,一、理想气体的熵,讨论：S表达式中含有 ，不满足S广延量的要求。,原因：微观粒子本质不可分辨，经典理论认为可以分辨。经典粒子在 空间交换形成 种交换方式，对应 种微观态，实际对应一个状态。,显然上式给出的不是绝对熵， 是任意常数，所以对 的不同选择，有不同的熵

26、常数。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,(7.6.2),为了免除这一矛盾，吉布斯将熵的统计表达式中加上klnN!,并利用斯特令公式，则单原子理想气体的熵可表达为:,式(7.6.2)是单原子理想气体熵的统计表达式，它符合熵是广延量的要求。加上klnN!项是将理想气体分子看作是不可分辨的全同粒子。式中不含任意常数，给出的熵是绝对熵。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,(7.6.3),(7.6.4),如果考虑到量子力学的全同性原理，上式中加上kTlnN!, 并利用斯特令公式，则自由能可表达为:,二、理想气体的自由能和化学势,1自由能:,利用理想气体分子的配分函数和自

27、由能的热力学公式，有,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,(7.6.5),显然，上式方括号内的值远小于1。这说明理想气体的化学势是负的。,2. 化学势:,以表示单原子理想气体分子的化学势，由热力学知,将式(7.6.4)在T、V不变下对N求导，得,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,7.7 固体热容量的爱因斯坦理论,前一节，我们从经典的能量均分定理讨论了固体的热容量问题，得到了与杜隆珀替定律一致的结果。,但是，大量实验表明，理论结果只在高温和室温范围与实验大致符合，而在低温范围与实验不符。特别是，实验还表明固体的热容量与温度有关，这是经典理论所不能解释的。,2022年

28、12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,1907年，爱因斯坦把普朗克提出的能量子假说应用于固体热容量的研究，成功地解释了固体热容量随温度下降这一实验事实，成为继热辐射之后应用量子理论的又一个成功范例。,一、爱因斯坦的固体模型,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,1900年，普朗克提出了能量子假说，并成功地解释了经典物理无法解释的黑体辐射问题。,爱因斯坦仔细地分析了普朗克的黑体辐射理论，指出这个理论和传统的统计力学得出的结论相矛盾。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,他在普朗克的辐射理论和比热理论一文中写到：“如果普朗克的理论接触到了理论的核心，我们就必须在热学的其

29、它领域中也会有分子运动论与经验之间的矛盾，这些矛盾可以用这里采取的方法加以消除。”,这里所说的方法就是将谐振子的能量函数用量子的观点来表达。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,设固体含有N个原子（或离子），这些原子在其平衡位置附近作热振动。假设各原子的振动是相互独立的简谐振动，且每个原子的振动分解为三个独立的线性谐振动。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,这样，固体中原子的运动就可以看成是3N个相互独立的线性谐振子的振动。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,综上所述,爱因斯坦的固体模型是：N个原子组成的固体可视为3N个近独立的、振动频率完全相同的

30、量子线性谐振子的集合。,按照爱因斯坦的固体模型，该谐振子系统是近独立的可辨粒子系统，遵守玻耳兹曼分布。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,二、固体的内能和热容量,1、 振子的配分函数,上式中，是振子的圆频率， n是量子数。利用玻耳兹曼分布的配分函数表达式，振子的配分函数为:,（7.7.2）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,2固体的内能和热容量,上式中第一项是3N个振子的零点能量，与温度无关；第二项是温度为T时3N个振子的热激发能量。,（7.7.5）,固体的定容热容量为,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹

31、曼统计,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,（7.7.7）,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,现在讨论式（7.7.7）的高温（TE）和低温 (TE) 极限。,当TE，可取近似,与能量均分定律的结果一致。这可解释为：在高温下，能级间距很小，能量量子化效应不显著，经典统计理论是适用的。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,当TE 时,从上式可以看出，当温度趋于零时，热容量也趋于零。这个结论由德国物理学家能斯特（W Nernst）完成的实验所证实。,爱因斯坦比热理论的成功对量子理论的发展起到了重要的推动作用。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统

32、计,应当指出的是，爱因斯坦比热理论在定量上与实验结果有差异。,特别是，在低温下实验测得的热容量趋于零较（7.7.9）式为慢，其原因是爱因斯坦在建模中作了过份简化的假设。即，认为所有振子的频率都是相同的。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,1912年，德拜（P Debye）进一步完善了固体热容量的理论，其理论结果与实验符合得更好。我们将在第九章中进一步介绍固体热容量的德拜理论。,爱因斯坦本人也称自己的工作只是一个“粗略的近似”。尽管如此，爱因斯坦所做的工作是具有开创性的。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,程序(ex4513) clear,clfx=0:0.01:

33、1.3;y1=1; %杜隆珀替定律y2=(1./x).2.*exp(1./x)./(exp(1./x)-1).2; %爱因斯坦模型的热容量i=0; %以下采用循环语句计算数值积分for x1=0.7692:0.5:100i=i+1; a(i)=quadl(exp(y).*y.4./(exp(y)-1).2,0.001,x1); %德拜模型的热容量 y3(i)=a(i).*3./x1.3;endx1=0.7692:0.5:100;plot(x,y1,k-,x,y2,.r-,1./x1,y3,-bo)axis(0,1.3,0,1.1),xlabel(T/theta),ylabel(Cv/3Nk),

34、2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,7.8 顺磁性固体,一、顺磁性固体的模型,1.宏观特性：不处于磁场中时无磁性；加外磁场时，磁化。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,因此，顺磁性固体可视为由定域的近独立磁性离子组成的系统，遵从玻耳兹曼分布。（只讨论离子自旋运动的简单情况）,3.顺磁性固体的理论模型是：磁性离子定域在晶体的特定格点上，认为离子间彼此相距甚远，相互作用可略去不计.,二、磁性离子的配分函数,假定磁性离子的总角动量量子数为,离子磁矩大小为,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,若B为外磁场的磁感应强度，则在外场中能量的可能值为-B（磁矩沿外磁

35、场方向）和B（磁矩逆外磁场方向）。,三、顺磁体的热力学性质,1.顺磁体的磁化强度,将配分函数,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,即,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,令x = B，y1= m / N，绘制x-y1曲线。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,讨论极限情况：,（1） 弱场或高温极限,（2） 强场或低温极限,式(7-8-3) 简化为,上式说明几乎所有的自旋磁矩都沿外磁场方向，磁化达到饱和。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,2.顺磁体单位体积的内能,根据（7.1.4）式，顺

36、磁性固体的内能为：,那么，单位体积的内能为：,这是顺磁体在外磁场中的势能。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,即,% (ex45212)内能 Z1=exp(beta*mu*B)+exp(-beta*mu*B);U=-N.*diff(log(Z1),beta),2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,syms x y;x=-3:0.01:3;y2=-x.*(exp(x)-exp(-x)./(exp(x)+exp(-x);plot(x,y2,r-)xlabel(muB/kT) ylabel(U/NkT) grid on,令x = B， y2= U / NkT，绘制x-y2

37、曲线。,内能与外磁场中能量 B的关系,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,3.顺磁体单位体积的熵,利用熵的统计表达式,而磁离子的配分函数为：,代入熵的统计表达式，得顺磁体单位体积的熵为：,(7-8-7),2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,讨论极限情况：,（1）弱场或高温极限,式(7-8-7) 简化为:,显然，2n 正是系统单位体积的微观状态数。,有,说明在弱场或高温极限下，每个磁矩有两个机会相等的可能状态：顺外磁场或逆外磁场方向。,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,（2） 强场或低温极限,式(7-8-7) 简化为,说明在强场或低温极限下，单位体积的微观状态数是1。所有磁矩都顺外磁场方向。,由 s = kln 知，此时=1。,有,2022年12月9日星期五,第七章 玻耳兹曼统计,% (ex45213)熵 syms N k beta mu B; z1=exp(beta*mu*B)+exp(-beta*mu*B);S=N*k*(log(z1)-beta*diff(log(z1),beta)S=N*k*(log(exp(beta*mu*B)+exp(-beta*mu*B)-beta*(mu*B*exp(beta*mu*B)- mu*B*exp(-beta*mu*B)/(exp(beta*mu*B)+exp(-beta*mu*B)0,即,