画法几何之平面的投影基本知识课件.pptx

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1、2.2.3 平面及平面曲线的投影,本节提要：,（1）平面的表示法,（2）平面对投影面的各种相对位置,（3）平面上的点、直线,（4）平面上的曲线和图形（自学）,1、平面的表示法,平面常以确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素表示。,（1）不在一直线上的三个点；,（3）相交两直线；,（2）一直线和直线外一点；,（4）平行两直线；,（5）任意平面图形。,2、平面对投影面的各种相对位置,其中投影面垂直面、投影面平行面统称为特殊位置平面,平行线平行于一个投影面，倾斜于另两个投影面。,垂直线垂直于一个投影面，平行于另两个投影面。,特殊位置直线,两个平面之间的夹角：就是两平面之间的两面角，可用与两平面都垂

2、直的平面和它们相交所得到的两相交线之间的平面角表示。,平面与水平面H、正面V、侧面W的夹角，称为该平面对投影面H、V、W的倾角，仍用、表示。,O,B,A,倾角,=0，平面平行于投影面,=90，平面垂直于投影面,=090，平面倾斜于投影面,平面图形的投影特性：,当平面图形倾斜于投影面时，投影为面积缩小的类似形（或称相仿形，可能一边为真长，另两边短于真长）；,当平面图形垂直于投影面时，积聚成直线；,当平面图形平行于投影面时，投影反映真形（三条边反映真长）。,（1） 一般位置平面,一般位置的平面图形的投影特性：三个投影面的投影均为面积缩小的类似形。,1） 铅垂面垂直于水平投影面,(3) abc与OX

3、、OY的夹角反映、角的真实大小。,铅垂面,投影特性：,(1)abc积聚为一条直线。,(2)abc、abc为ABC的类似形。,（2） 投影面垂直面,2）正垂面垂直于正立投影面,(3)abc与OX、OZ的夹角反映 、 角的真实大小。,正垂面,投影特性：,(1)abc积聚为一条直线。,(2)abc、abc为ABC的类似形。,（2） 投影面垂直面,3）侧垂面垂直于侧立投影面,(3)abc与OY、OZ的夹角反映 、 角的真实大小。,侧垂面,投影特性：,(1)abc积聚为一条直线。,(2)abc、 abc为ABC的类似形。,（2） 投影面垂直面,（2）投影面垂直面汇总,投影面垂直面的投影特性：,在垂直的投

4、影面上的投影，积聚成直线，并反映与另两投影面的倾角；,在另两投影面上的投影，为面积缩小的类似性。,平面P与投影面的交线称为平面的迹线，用平面名称的大写字母加投影面名称字母的下标标注。,平面与投影面H、V和W的交线分别称为平面的水平迹线、正面迹线和侧面迹线。迹线的符号用PH、PV和PW表示。,PH,PV,PW,投影面垂直面有积聚性，在这个投影面上的所有点、线和图形都积聚在它的有积聚性的迹线上，且这条迹线一定倾斜于投影轴。,QH,可以用投影面垂直面的一条有积聚性的迹线表示这个投影面垂直面。,QH,铅垂面的正面迹线可以表示这个铅垂面。,正垂面的正面迹线可以表示这个正垂面。,RV,侧垂面的侧面迹线可以

5、表示这个侧垂面。,SW,1） 水平面平行于水平投影面,水平面,投影特性：,(1) abc、abc积聚为一条直线。,(2)水平投影abc反映ABC实形。,（3） 投影面平行面,2）正平面平行于正立投影面,正平面,投影特性：,(1) abc、abc积聚为一条直线。,(2)正面投影abc反映ABC实形。,（3） 投影面平行面,3）侧平面平行于侧立投影面,侧平面,投影特性：,(1) abc、 abc积聚为一条直线。,(2)侧面投影abc反映ABC实形。,（3） 投影面平行面,（3）投影面平行面汇总,投影面平行面的投影特性：,在平行的投影面上的投影，反映真形。,在另两投影面上的投影，分别积聚成直线，且平

6、行于相应的投影轴。,投影面平行面必定垂直于另两个投影面，在另两个投影面上的投影有积聚性。可以用一条或两条有积聚性的迹线表示这个投影面平行面。,3 、平面上的点、直线,（1）平面上的点和直线的几何条件、投影特性,平面上的点和直线的几何条件是：,平面上的点，必在该平面的一条直线上；反之，若点在平面上的某一直线上，则此点必在该平面上 。,平面上的直线，必通过平面上的两点，反之，若经过平面上任意两点的直线必在该平面上。,通过平面上的一点，且平行于平面上的另一条直线的直线必在该平面上。,特殊位置平面上的点和直线的检验和作图，常用它的有积聚性的投影或迹线。如图点D的水平投影d位于正平面ABC的有积聚性的水

7、平投影abc上，故而点D是正平面ABC上的点。直线EF的水平投影位于铅垂面P的有积聚性的迹线PH上，故而EF是铅垂面P上的直线。,一般位置平面上的点和直线的检验和作图，常用上述几何条件。,直线DF通过平面ABC上的点D，且平行于平面ABC上的另一直线BC，所以，DF也是平面ABC上的直线,点D、E分别在直线AB、BC上,点D、E都是平面ABC上的点,DE是平面ABC上的直线,先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。,例：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。,平面上取点的方法：首先面上取线,利用平面的积聚性求解,通过在面内作辅助线求解,例2.11 如图所

8、示，已知正垂面ABC、点D和E、直线DE的投影图，检验点D、E和直线DE是否在ABC平面上。,结论：点D在ABC平面上，点E和直线DE不在ABC平面上。,例2.12 如图所示，已知ABC和点D的两面投影，以及ABC平面上的直线EF的正面投影ef，检验点D是否在ABC平面上，并作出直线EF的水平投影ef。,1,1,2,3,2,3,e,f,例2.13 如图所示，已知点A、B和直线CD的两面投影，求作过点A的正平面，过点B的与水平面的倾角为45的正垂面，过直线CD的铅垂面，并分别说明各有几解。,PH,QV,RV,TH,一解 两解 一解,例2.14 如图所示，已知ABC，在ABC平面上取一点D，点D在

9、H面之上15mm，在V面之前10mm，作出点D的两面投影。,1,2,1,2,d,d,平面上对某一投影面成最大倾角的直线，称为平面上对某一投影面的最大倾斜线。,平面上对某一投影面的最大倾斜线是与平面上的该投影面的平行线(AB)相垂直的直线(有无数条) 。明显的1。最大倾斜线是与AC相平行的一系列直线。,投影面最大倾斜线与该投影面的倾角，也就是平面对该投影面的倾角。,4、平面上的曲线和图形,曲线可以看作是不断改变方向的点的连续运动的轨迹。,曲线的投影是曲线上诸点的投影的集合,曲线,平面曲线：所有的点都位于同一平 面上的曲线，如圆,空间曲线：连续四点不在同一平面 上的曲线，如圆柱螺旋线,平面曲线中圆

10、在工程上应用最广，本文主要阐述圆的投影特性及画法。,（1） 平面曲线及其投影特性,曲线所在的平面平行于投影面时，在该投影面上的投影反映真形；,平面曲线对投影面有三种不同的相对位置，分别具有不同的投影特性：,曲线所在的平面垂直于投影面时，在该投影面上的投影成为一直线段；,曲线所在的平面倾斜于投影面时，在该投影面上的投影成为形状缩小的类似形。,例2.15 如图所示，已知PQR及平面内的平面曲线AE的水平投影，求作这条平面曲线的正面投影。,b,1,c,d,2,3,4,5,f,1,2,3,4,5,f,b,c,d,a,e,（2） 圆及其投影特性,正平圆的投影特性：,V面上的投影反映真形；,H面、W面上的

11、投影为直线，并分别平行于OX轴和OZ轴，长度等于直径，中点是圆心C的投影c、c 。,铅垂圆的投影,长轴：铅垂直径CD的投影cd=D短轴：水平直径AB的投影ab=Dcos,铅垂圆的投影特性：,水平面上的投影成直线，该直线反映圆平面对V面的夹角，长度等于直径，中点是圆心C的投影c。,正面上的投影为一椭圆，长轴是这个铅垂圆的唯一一条铅垂直径的正面投影，且反映真长，短轴是这个圆平面上与铅垂直径相,垂直的直径，长短轴的交点是椭圆的中心，也是圆心的投影。,铅垂圆的两面投影及其作图过程,从上述可归纳出圆的投影特性：,在与圆平面平行的投影面上的投影反映真形。,在与圆平面垂直的投影面上的投影成直线，长度等于圆的

12、直径，中点是圆心的投影。,在与圆平面倾斜的投影面上的投影是椭圆：椭圆的中心是圆心的投影；长轴是平行于这个投影面的直径的投影，且反映真长；短轴是平行于投影面的直径相垂直的直径的投影。,（3） 平面上的图形,作平面上的图形可归结成作平面上的点和直线。,例2.21 如图所示，平面P为侧垂面，与H面的倾角为60，又知平面P上的ABC的正面投影abc和点A的水平投影a、点B在点A的前下方，补全ABC的水平投影，作出它的侧面投影。,a,Pw,b,b,c,c,作平面上的图形可归结成作平面上的点和直线。,例2.16 如图所示，平面P为侧垂面，与H面的倾角为60，又知平面P上的ABC的正面投影abc和点A的水平

13、投影a、点B在点A的前下方，补全ABC的水平投影，作出它的侧面投影。,（3） 平面上的图形,例2.17 如图所示，已知平面五边形ABCDE的水平投影abcde以及两边AB、BC的正面投影ab、bc，补全ABCDE的正面投影。,1,2,1,2,d,e,例：已知四边形平面ABCD的H投影abcd和ABC的V 投影abc，试完成其V投影。,e,e,d,k,b,例：已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。,解法一,解法二,例2.18 如图所示，已知正方形ABCD的左下边AB，正方形ABCD与H面的倾角为45；已知处于正平面位置的正方形EFGH的顶边EF；已知一般位置的正方形IJKL的右前边JK，正方形IJKL的上、下边KL、IJ为水平线。分别补全这三个正方形ABCD、EFGH、IJKL的两面投影。,例2.18 如图所示，已知正方形ABCD的左下边AB，正方形ABCD与H面的倾角为45；已知处于正平面位置的正方形EFGH的顶边EF；已知一般位置的正方形IJKL的右前边JK，正方形IJKL的上、下边KL、IJ为水平线。分别补全这三个正方形ABCD、EFGH、IJKL的两面投影。,dc,i,g,h,l,i,l,c,d,结束,