学习路径与深度学习课件.pptx

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1、学习路径的实践与完善以分数除法为例,杭州师范大学 理学院 巩子坤 ,2,学习路径学习路径就是对学生学习某一具体数学知识时思维与学习过程的描述，由三个部分组成：学习目标，学习任务（Task），学生的思维过程。通俗地说，学习路径就是为达成教学目标而设计的、符合学生认知规律的、具有一定逻辑关系的任务序列。教材中设计的活动或者例子序列，就是一个学习路径,3,理解的类型（表征方式）,比如： 4 5 2正是在用不同的表征方式来表征数学概念并实现表征方式转换的过程中，学生获得了对概念的理解。,目 录,一、引言：分数与分数除法二、分数除法，容易学习吗三、教材是怎样编排的四、怎样教学五、如何完善六、学习路径是什

2、么,4,一、引言：分数与分数除法,5,查理布朗与分数,一、引言：分数与分数除法,6,马立平的研究人们在解决分数除法问题时，会使用不同的方法，请你：（1）计算1 3 4 1 2 ；（2）用这个算式编一道文字题（应用题）。,一、引言：分数与分数除法,7,（1）计算美国教师中国教师：72人，全部正确。,一、引言：分数与分数除法,8,（2）文字题美国教师：几乎没有正确的。案例：一整个馅饼，然后又有四分之三个；你有两个人，你准备怎样把它们平均分给两个人，使得每个人得到相同的份额（混淆除以2与除以二分之一）。中国教师：90%的给出了正确的表示。,二、分数除法，容易学习吗,9,1.容易学习分数除法，要解决两

3、个问题：一是何时使用除法；二是怎样进行除法运算。这两个问题，容易吗？仅仅是一个算法。五分钟可以搞定（负负得正；教学）。2.不容易要说明“除以一个数，为什么等于乘这个数的倒数”，还是比较困难的。,三、教材的编排,10,11,12,四、分数除法：你是怎样教学的,13,1.是按照教材的顺序教学的吗？2.你觉得学生理解有困难吗？比如，我提出一个问题。在一个数除以分数中，每次得到的结果均是整数，有没有学生提出这样的疑问：原来，一个数除以分数，结果是整数。,五、如何完善之一：分数除以整数,14,（一）L老师最初设计的学习路径 A,、,五、如何完善之一：分数除以整数,15,1. 效果（第一次）测试材料先列式

4、计算，然后用文字解释、画直观图、算式表示等尽可能多的方法详细说明计算结果是正确的。（1）把 6 7 米长的绳子平均分成3段，每段长多少米？ （2）把 1 2 米长的绳子平均分成3段，每段长多少米？（3）把 2 3 米长的绳子平均分成5段，每段长多少米？,五、如何完善之一：分数除以整数,16,程序理解很好；直观理解较好，这与 6 7 3有关；抽象理解很差；绝大部分学生都会算，但对算理知之甚少。,表 L老师第一次教学后不同理解类型的平均分,五、如何完善之一：分数除以整数,17,2.问题（1）直观表征直观表征：通过直观图来说明运算结果的合理性。 4 5 2，学生的画图是（竖着分）：,这样的画图没有出

5、现（横着分）：,教师是如何引导的？,为什么？,五、如何完善之一：分数除以整数,18,很难这样作图，为什么？必要性在哪里？有什么样的后果？,五、如何完善之一：分数除以整数,19,学生如何解决 4 5 3的问题？画图可以吗？,为什么不能够画图？原因何在？缺少铺垫。,五、如何完善之一：分数除以整数,20,（2）抽象表征抽象表征：用语言或算式来说明运算结果的合理性。,五、如何完善之一：分数除以整数,21,语言解释难在何处：,五、如何完善之一：分数除以整数,22,这样解释，要用到三个意义。其一，除法的意义：平均分。其二，分数的意义：即平均分，分3份，表示1份，用分数表示就是 1 3 。其三，分数乘法的意

6、义：求 4 5 的 1 3 要用乘法。只有“三位一体”结合起来，才能够作出上述解释。要连续使用以上三个意义，必须对分数的知识有着很好的“概念性理解”，否则，是很难做到的。这种理解方式，是一种意义理解，或者说抽象理解，它完全依赖于对三个意义的理解，与直观并没有必然的联系。,五、如何完善之一：分数除以整数,23,（3）量、率混用任务1为“量”；任务2、任务3为“率”。前后不连贯。能说：“每位小朋友得到这通水的多少升吗？”,五、如何完善之一：分数除以整数,24,（4）复杂的学习单,五、如何完善之一：分数除以整数,25,提供给学生的画图过于细化，重复性画图较多，导致学生画图花费时间较长。部分学生不知道

7、最终的画图结果应该是什么了。,五、如何完善之一：分数除以整数,26,2. 改进建议（1）增加任务 2 1 5 平均分成2份怎么分？要么竖着分，要么横着分。体会横着分的必要性，为 4 5 3 的画法做铺垫。（2）统一情境一个情境贯彻到底；统一使用量，而不是率。,五、如何完善之一：分数除以整数,27,（3）简化学习单提供多种方法，提供更多的空间来理解、表征算理。,五、如何完善之一：分数除以整数,28,（二）修改的学习路径B,五、如何完善之一：分数除以整数,29,1. 效果（第二次）直观理解、抽象理解水平显著提升；多种方式表征算理，取得了良好的效果。,五、如何完善之一：分数除以整数,30,2. 问题

8、（1）任务3： 2，没有作为重点老师在教学中仍偏重 4 5 2 ，没有凸显 1 5 2的作用。（2）仍然存在“量”和“率”的混淆任务2“把蛋糕的 4 5 kg 平均分给2个小朋友，每个小朋友能得到多少kg？”蛋糕的多少kg看起来更像一个“率”，而不是“量”。正确的表达：把 4 5 kg 重的蛋糕平均分给2个小朋友,五、如何完善之一：分数除以整数,31,（3）出现了两个单位“1”在直观表征 4 5 kg 时，把“1kg ”看作单位“1”（大单位“1”）；而在直观表征“把蛋糕的 4 5 kg 平均分给2个小朋友，每个小朋友能得到多少kg？”时，教师强调把 4 5 kg 看作单位“1”（小单位“1”

9、）。这样就出现了两个单位“1”，也同样容易造成混淆。强调两个单位“1”，容易使学生迷失在“1”的怀抱中。,五、如何完善之一：分数除以整数,32,2. 再完善建议（1）统一为“量”将所有的任务表述为“一块长方形的蛋糕重 4 5 kg，平均分给2个小朋友，每人得到多少kg？”（2）淡化小单位“1”淡化 4 5 kg 这个小单位“1”，画图时直接说 4 5 kg 。,五、如何完善之一：分数除以整数,33,（3）凸显任务3 2的承上启下作用任务2 4 5 2，直观表征与算法均不具有一般性。任务3 1 5 2。优化表征，优化算法。优化表征。学生出现了两种表征，一种是长方形直观图，一种是线段直观图。长方形

10、直观图，有竖着画线的，也有横着画线的。如何画图呢？,五、如何完善之一：分数除以整数,34,优化算法。 4 5 2= 42 5 = 2 5 的计算方法，在 1 5 2时就失效了。“分子除以除数”的方法具有局限性；“颠倒相乘”的方法具有一般性。任务3 4 5 3，“转化为小数” 的方法也失效了。最终优化到“颠倒相乘”。这个阶段是画图优化和计算方法优化的重要过程。 1 5 2是关键的Task，是关键桥梁，是“执牛耳”者。,五、如何完善之一：分数除以整数,35,（三） 完善的学习路径 C,五、如何完善之一：分数除以整数,36,（四）三次后测效果比较算理的理解水平显著提升。直观理解水平为何先升后降？反思

11、后测题目，反思教学。,五、如何完善之一：分数除以整数,37,（五）最具代表性的任务是哪一个我们设计了三个层次递进的任务序列。任务1，简直就是整数除法。任务2，真正触及了分数除以整数的本质，是最最简单的任务，但是，却承担起“算理之重”。任务3，不是任务2的简单重复，而是对算理的再次叩问与回溯，犹如诵读了一段优美的文字后，感觉到意犹未尽，再回过头来默读、回味一遍一样；犹如梁祝中的主旋律，需要不断地重复、回旋，方能够营造出绕梁三日、不绝如缕的氛围，浸润出心有戚戚、挥之不去的意蕴。,五、如何完善之一：分数除以整数,38,诗词也经常有这样的重复。大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语。嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落

12、玉盘。 寻寻觅觅，冷冷清清，凄凄惨惨戚戚。 撑着油纸伞，独自彷徨在悠长、悠长又寂寥的雨巷。反复吟咏，还是简简单单？如果简简单单，关键任务是 1 5 2 吗？,五、如何完善之二：一个数除以分数,39,（一）W老师最初设计的学习路径M,五、如何完善之二：一个数除以分数,40,1. 教师的抽象解释W老师借助于线段图，说明 2 3 小时包含2个 1 3 小时，因而将 2 3 小时所走的路程（2千米）除以2，就是 1 3 小时走的路程。又由于1小时中包含3个 1 3 小时，所以，1小时所走的路程就是 1 3 小时所走路程的3倍。好理解吗？,五、如何完善之二：一个数除以分数,41,让我们来想一想：一会是“

13、包含除”，一会是“平均分”，一会是“几份”，一会是“几倍”，是否觉得很绕口、难理解。,五、如何完善之二：一个数除以分数,42,课后测试,五、如何完善之二：一个数除以分数,43,2. 这是直观吗,此处的直观图仅仅是帮助说明1， 1 3 ， 2 3 之间包含关系的辅助图而已，对于直观地一眼看到结果，并没有多大的帮助。因而，不是真正的直观。,教师的图,学生的图,五、如何完善之二：一个数除以分数,44,3. 改进之一：使用比例推理解释算理，可否W：1小时里面有 3 2 个 2 3 小时，即1小时是 2 3 小时的 3 2 倍。G：1小时里面有 3 2 个 2 3 小时，不好理解。W：画图就很直观了，如

14、右图所示。,五、如何完善之二：一个数除以分数,45,从倍数关系入手，让学生明白：求每小时走多少千米，就是求1小时（的路程）是 2 3 小时（的路程）的几倍。G：时间是它的倍数，路程也是它的倍数。因为1小时是 2 3 小时的 3 2 倍；所以1小时走的路程是 2 3 小时走的路程的 3 2 倍，即2 3 2 km。这本质上是比例推理。,五、如何完善之二：一个数除以分数,46,4.改进之二： “商不变”的形式表征，如何T:商不变的规律还记得吗？S:想不起来了。T：63=2，（62）(32)=2，你看着这两个式子，能不能总结出来规律？S:都乘以一个数，商不变。T: 2 2 3 = 2 3 2 2 3

15、 3 2 =2 3 2 ，用商不变的规律来推导，你明白吗？S:这个太妙了，好理解。,五、如何完善之二：一个数除以分数,47,（二）完善的学习路径N,五、如何完善之二：一个数除以分数,48,（三）反思1.有直观吗？2.比例推理能够不绕时间这个弯吗？3.如果只选择一个任务，是哪个？是1 2 3 吗？还是？,五、如何完善之二：一个数除以分数,49,4. 这个学习路径，可以吗,表征方式1、程序表征：,六、学习路径是什么,50,1.路径是什么学习路径：为达成教学目标而设计的、符合学生认知规律的、具有逻辑关系的任务序列。学习进阶：刻画了学生在某一较长时间段里对某一学习主题的认识、理解和实践从简单到复杂、从

16、低水平到高水平的发展过程。短时间的认知发展，中时间的认知发展。沿着学习路径，促进学习进阶。,六、学习路径是什么,51,五要素,发展变量：起点至终点的所有核心概念；测量变量以测量发展。发展水平：发展过程中的中间层级。学习表现：发展阶段所达到水平的操作性定义。测评工具：测量学生在发展变量上所达到的水平。,52,详细的分数除法学习路径,六、学习路径是什么,53,2. 学习路径完善是一个复杂的过程3.如何取得程序理解与概念理解的平衡课标（2011年版）：在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序与步骤的道理。马云鹏教授 ：对于运算能力，正确地进行运算和理解运算的算理是核心。,巩子坤，杭州师范大学教授，教育学博士，心理学博士后，国培专家，政府津贴获得者。原杭州师范大学理学院副院长，现学科教育研究中心副主任。 主要研究方向：一是程序性知识的教与学研究，二是学生的认知发展研究，三是学习路径视角下的教师专业发展研究。 主持“义务教育数学课程标准的适应性研究”等国家级课题7项。在教育研究等期刊发表文章一百余篇； 编写义务教育小学数学教材，浙教版初中数学教材；,54,出版专著程序性知识教与学研究、小学数学教材中的大道理等7部；获得2014年首届“国家基础教育教学成果二等奖”。,巩子坤 简介,谢 谢,55,