中职数学基础模块全一册教学ppt课件.ppt

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1、数学基础模块（全一册）,第1章 集 合,内容简介：本章主要讲述集合的有关概念及集合的表示方法、集合之间的关系、集合的运算、充要条件，主要通过集合语言的学习与运用，培养学生的数学思维能力。,学习目标：理解集合的有关概念，并掌握集合的表示方法，掌握集合之间的关系和集合的运算，了解充要条件。,1.1 集合的概念,1.1.1 集合与元素,集合是由某些确定的对象组成的整体，简称集集合里的每一个对象称为集合的元素,集合通常用大写英文字母A，B，C，来表示，集合的元素通常用小写英文字母a，b，c，来表示,常用数集,自然数集,正整数集,整数集,有理数集,实数集,所有自然数组成的集合称为自然数集，记作N；,所有

2、正整数组成的集合称为正整数集，记作 ；,所有整数组成的集合称为整数集，记作Z；,所有有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；,所有实数组成的集合称为实数集，记作R.,给定一个集合A，如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作 ；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 ,一个集合可以包含有限个元素，也可以包含无限个元素我们把含有有限个元素的集合称为有限集，如方程 的解集；含有无限个元素的集合称为无限集，如N， ，Z，Q，R等,特别地，不含任何元素的集合称为空集，记作 例如，方程 在实数范围内的解集就是空集,例1 下列对象能否组成一个集合？ （1）所有短发的女生； （2）小于10的正奇数； （3

3、）方程x29=0的所有解； （4）不等式x70的所有解,解 （1）由于短发没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合,（2）由于小于10的正奇数包括1，3，5，7，9五个数，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合,（3）方程 的解为3和3 ，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合,（4）解不等式 ，可得 ，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合由方程的所有解组成的集合称为这个方程的解集；由不等式的所有解组成的集合称为这个不等式的解集显然，方程的解集和不等式的解集都是数集,例2 用符号“”或“”填空： （1） 5_N， 2_N， 3.7_N； （2） 0_Z， 2.3_Z， 5_

4、Z； （3） _Q， 1.6_Q， 9.21_Q； （4） _R， 2_R， 4.7_R,解 （1） ， ， ； （2） ， ， ； （3） ， ， ； （4） ， ， ,1.1.2 集合的表示方法,1列举法,对于有的集合，我们可以在大括号中将它的元素一一列举出来，元素之间用逗号隔开，这种表示集合的方法称为列举法,例如，由大于3且小于10的所有偶数组成的集合可以表示为 ,当集合为元素较多的有限集或为无限集时，若要用列举法表示，可以在大括号内只写出几个元素，其他元素用省略号表示，但写出的元素必须让人明白省略号表示了哪些元素,例如，由小于50的所有正整数组成的有限集可以用列举法表示为 ,2描述法,

5、有的集合无法用列举法表示，例如由大于2的实数组成的集合，这个集合有无穷多个元素，显然无法一一列举出来这种情况下，我们可以抓住这一集合的元素所具有的特征，即所有元素都是实数，并且大于2，由此可将这个集合表示为 .,这种在大括号内将集合中元素的共同属性描述出来以表示集合的方法称为描述法,例3 用列举法表示下列集合： （1）英文单词good中的字母组成的集合； （2）方程 的解集,解 （1）集合中的元素是不能重复的，相同元素只写一次，所以集合应表示为 ,（2）解方程 得 ， ，所以该方程的解集为 ,例4 用描述法表示下列集合： （1）大于3的所有奇数组成的集合； （2）不等式 的解集； （3）直线

6、上的点组成的集合,解 （1）该集合中元素的共同属性可以描述为 ，所以这个集合可以表示为 ,（2）解不等式 得 ，所以该不等式的解集为 ,（3）平面直角坐标系中的点可表示为 ，因此直线 上的点组成的集合为 ,1.2 集合之间的关系,1.2.1 子集与真子集,1子集,一般地，如果集合B中的每一个元素都是集合A的元素，那么集合B称为集合A的子集，记作 （或 ），读作“B包含于A”（或“A包含B”）,显然，任何一个集合A的所有元素都属于它本身，所以任何一个集合都是它自身的子集，即 ,我们规定，空集是任何集合的子集也就是说，对于任何一个集合A，都有 ,2真子集,如果集合B是集合A的子集，并且A中至少有一

7、个元素不属于B，那么集合B称为集合A的真子集，记作 （或 ），读作“B真包含于A”（或“A真包含B”）,易知，空集是任何非空集合的真子集,当集合B是集合A的真子集时，可用图1-1直观地表示两条封闭曲线的内部分别表示集合A、B,图1-1,例1 用适当的符号（ 、 、 、 ）填空： （1） _ ； （2） _ ； （3） _ ； （4） _ ； （5）b _ ； （6） _Q； （7）0_ ,解 （1）由于方程 的解为 ， ，解集为 ，所以 ,（2）集合 的元素都是集合 的元素，因此 ,（3）空集是任何集合的子集，因此 ,（4）集合 的元素都是集合 的元素，因此 ,（5） b是集合 的元素，因此

8、,（6）正整数都是有理数，因此 Q,（7）0不是集合 的元素，因此 ,例2 写出集合 的所有子集和真子集,解 集合A的所有子集为 ， ， ， ， ， ， ， 在上述子集中，除了集合A自身 外，其余的都是它的真子集,1.2.2 集合相等,一般地，如果两个集合的元素完全相同，那么就说这两个集合相等集合A等于集合B，记作 ，读作“A等于B”,由集合相等的定义可知， ,显然，若集合 ，则 且 ,例3 判断集合 与 的关系,解 集合A用列举法可以表示为 ；而方程 的解为 ， ，所以集合B用列举法可以表示为 ，因此这两个集合的元素完全相同，所以A=B,1.3 集合的基本运算,1.3.1 交集,一般地，对于

9、两个给定的集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素组成的集合称为A与B的交集，记作AB，读作“A交B”,集合A与集合B的交集可用描述法表示为 ，也可用图1-2中的着色部分来表示,图1-2,由交集的定义可知，对于任何集合A与B，都有 ， ， ,例1 设 ， ，求 ,解,例2 设 ， ，求 ,解 将集合A，B在数轴上表示出来，如图1-3所示,图1-3,从图中可以看出，着色部分即为集合A，B的交集，即,例3 设 ， ，求 ,解 集合A，B分别表示方程 ， 的解集，两个解集的交集就是二元一次方程组 的解集解这个二元一次方程组得 ，所以,1.3.2 并集,一般地，对于两个给定的集合A，B，由集合A，B的

10、所有元素组成的集合称为A与B的并集，记作 ，读作“A并B”,集合A与集合B的并集可用描述法表示为也可用图1-4中的着色部分来表示,图1-4,由并集的定义可知，对于任何集合A与B，都有 ， ， ,例4 设 ， ，求 ,解,例5 设 ， ，求 ,解 将集合A、B在数轴上表示出来，如图1-5所示,图1-5,从图中可以看出，着色部分即为集合A、B的并集，即,1.3.3 补集,在研究集合与集合之间的关系时，如果一些集合都是某个给定集合的子集，则称这个给定的集合为全集，一般用U表示例如，在研究数集时，经常把实数集R作为全集,如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合称为A在全集U中

11、的补集，记作 ，读作“A在U中的补集”,集合A在全集U中的补集可用描述法表示为也可用图1-6中的着色部分来表示,图1-6,如果全集U为实数集R，可以将 中的U省略，简记为 ，读作“A的补集”,由补集的定义可知，对于任何集合A，都有 ， ， ,例6 设 ， ， ，求 和 ,解 ， ,例7 设 ， ，求 ,解 将集合A在数轴上表示出来，如图1-7所示,图1-7,从图中可以看出，着色部分即为A的补集，即,1.4 充要条件,给定条件p和结论q：,（1）如果由条件p成立能推出结论q成立，则称条件p是结论q的充分条件，记作 ,（2）如果由结论q成立能推出条件p成立，则称条件p是结论q的必要条件，记作 （或

12、 ）,如果p既是q的充分条件（ ），又是q的必要条件（ ），则称p是q的充分且必要条件，简称充要条件，记作 ,例 指出条件p是结论q的什么条件 （1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， ； （5） ， ； （6） ， ,解 （1）由条件 成立，能够推出结论 成立，因此p是q的充分条件；而由结论 成立，不能推出条件 成立，因此p不是q的必要条件,（2）大于5的数不一定是正数，故由条件 成立，不能推出结论 成立，因此p不是q的充分条件；由于正数肯定大于5 ，故由结论 成立，能够推出条件 成立，因此p是q的必要条件,（3）由条件 成立，能够推出结论 成立，并且由结论 成立，也能够推

13、出条件 成立，因此p是q的充要条件,（4）由条件 成立，能够推出结论 成立，因此p是q的充分条件；而由结论 成立，不能推出条件 成立，因此p不是q的必要条件,（5）由条件 成立，不能推出结论 （即x=7）成立，因为有可能是“x=7”，故p不是q的充分条件；而由结论 成立，能够推出条件 成立，故p是q的必要条件,（6）由条件 成立，能够推出结论 成立，并且由结论 成立，能够推出条件 成立，因此p是q的充要条件,第2章 不等式,内容简介：本章主要讲述了不等式的基本性质，并对其进行了证明；然后结合数轴图形来阐述了区间的概念及表示方法；又结合一元二次方程和一元二次函数图像来讲述了一元二次不等式及其解法

14、，并穿插了用几何画板来绘制函数图像的软件练习，以拓展学生的视野并激发学习兴趣；最后介绍了含绝对值的一元一次不等式及其解法。,学习目标：理解不等式的基本性质，掌握区间的概念及表示方法，掌握一元二次不等式的解法，了解含绝对值不等式的解法。,知识导航,2.1 不等式的基本性质,2.1.1 实数大小的比较,在数学中，我们常常通过考察两个实数的差与零的关系来比较它们的大小一般地，对于任意两个实数a、b，有,2.1.2 不等式的基本性质,性质1（传递性） 如果ab，bc，则ac.,性质2（加法性质） 如果ab，则acbc,性质3（乘法性质） 如果ab，c0，则acbc ；如果ab，c0，则acbc,2.2

15、 区间,不等式的解集是数集，对应着数轴上的一条或多条线段，也就是说它们是数轴的一部分为了应用的方便，我们引入“区间”的概念,2.2.1 有限区间,实数与数轴上的点之间是一一对应的关系，如集合x|3x2可以用数轴上位于3与2之间的一条线段（不包括端点）来表示，如图2-1所示,图2-1,由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为区间端点,不含端点的区间称为开区间.含有两个端点的区间称为闭区间.只含左端点的区间称为右半开区间；只含右端点的区间称为左半开区间.,设a、b为任意实数，且ab，则有,（1）开区间： ；,（2）闭区间： ；,（3）右半开区间： ；,（4）左半开区间： ,

16、图2-3,2.2.2 无限区间,集合 可以用数轴上位于3右侧的一条射线（不包括端点）来表示，如图2-4所示,图2-4,由图可以看出，集合 所表示的区间的左端点为3，没有右端点，这时可以将其记作 （3，），其中符号“ ”读作“正无穷大”，表示右端点可以任意大，而并非某个具体的数,同理，集合x|x5表示的区间可记作（，5），其中符号“”读作“负无穷大”,类似地，集合x|x3表示的区间记作3，是右半开区间；集合x|x5表示的区间记作，5，是左半开区间,综上所述，设a、b为任意实数，且ab，则有,（1） ；,（2） ；,（3） ；,（4） ；,（5）实数集R如果用区间来表示，可以记作（，）,图2-5,

17、图2-6,2.3 一元二次不等式,只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，称为一元二次不等式其一般形式为 或,若求一元二次不等式 或 的解集，可以先解其对应的一元二次方程 ，然后再根据解的情况，并结合一元二次函数 的图像进行求解,（1）当=b24ac0时，方程ax2bxc=0（a0）有两个不相等的实数解x1和x2（x1x2 ），对应函数y=ax2bxc（a0）的图像与x轴有两个交点，即（x1，0）、（x2，0） ，如图2-8（a）所示此时不等式ax2bxc0（a0）的解集为（，x1）（x2，），不等式ax2bxc0（a0）的解集为（x1，x2）,图2-8,（2）当=b24ac=0

18、时，方程ax2bxc=0（a0）有两个相等的实数解x0，对应函数y=ax2bxc（a0）的图像与x轴只有一个交点，即（ x0 ，0），如图2-8（b）所示此时不等式ax2bxc0（a0）的解集为（，x0）（x0 ，），不等式ax2bxc0（a0）的解集为,（3）当=b24ac0时，方程ax2bxc=0（a0）没有实数解，对应函数y=ax2bxc（a0）的图像与x轴没有交点，如图2-8（c）所示此时不等式ax2bxc0（a0）的解集为R，不等式ax2bxc0（a0）的解集为 ,软件学习,几何画板是学习数学的好帮手，我们将采用几何画板5.05版带领大家一起来学习这款软件的用法,下面，我们用几何画板

19、来绘制一元二次函数y=x26x8的图像，并标记出该函数图像与x轴的交点的坐标值，如图2-9所示，具体操作步骤如下：,图2-9,（1）打开几何画板，选择“绘图”“绘制新函数”菜单，在弹出的“新建函数”对话框中输入函数的表达式“x26x8”，然后单击“确定”按钮，即可在绘图区生成函数y=x26x8的图像,（2）依次单击函数图像与x轴的相交处，构造出两个交点,（3）单击选中左侧的交点，然后选择“度量”“横坐标”菜单，标记出左侧交点A的横坐标；再选择“度量”“纵坐标”菜单，标记出左侧交点A的纵坐标,（4）用同样的方法标记出右侧交点B的横、纵坐标,例2 k为何值时，方程2x2kxx8=0无实数解,解 2

20、x2kxx8=0可化为2x2（1k）x8=0 依题意知，此方程的判别式=b24ac0，即（1k）24280，12kk2640，k22k630 因此，需要解不等式k22k630 解方程k22k63=0得k1=7，k2=9由于二次项系数为10，所以不等式的解集为（7，9）即当k（7，9）时，方程2x2kxx8=0无实数解,2.4 含有绝对值的不等式,2.4.1 |x|a或|x|a型不等式,一般地，不等式|x|a（a0）的解集为（a，a）；不等式|x|a（a0）的解集是（，a）（a，）,2.4.2 |axb|c或|axb|c型不等式,对于|axb|c或|axb|c（c0）型不等式，可以把axb看成一

21、个整体，从而转化为|x|a或|x|a（a0）型不等式来求解这种求解不等式的方法称为“变量替换法”或“换元法” ,例2 解不等式|2x1|7,解 由原不等式可得72x17，于是 4x3，所以原不等式的解集为4，3,第3章 函数,内容简介：函数是研究客观世界变化规律和集合之间关系的一个最基本的数学工具。本章介绍了函数的概念，函数的三种表示方法及其基本性质，并通过实际的例子介绍了函数的实际应用。,学习目标：理解函数的概念，理解函数的三种表示方法，理解函数的单调性和奇偶性，了解函数的实际应用。,知识导航,3.1 函数的概念,设在某个变化过程中有两个变量x和y，变量x的取值范围是数集D，如果对于数集D内

22、的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，就把y称为x的函数，记作 y=f（x），xD其中，x称为自变量，x的取值范围（即数集D）称为函数的定义域,当x=x0时，函数y=f（x），对应的值y0称为函数在点x0处的函数值，记作y0=f（x0）,我们将定义域和对应法则称为确定一个函数的两个关键要素,判断两个函数是否相同，只需要看它们的定义域和对应法则就可以了，也就是说，如果两个函数的定义域和对应法则完全相同，就认为这两个函数是相同的，而与函数用什么字母表示无关,如果函数没有明确给出其定义域，那么函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量可取的所有实数的集合但在实际应用问题

23、中，函数的定义域还要根据自变量的实际意义来确定,3.2 函数的表示方法,函数的表示方法,解析法,列表法,图像法,用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法称为解析法，这个等式称为函数的解析式,用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法称为列表法,用图像来表示两个变量之间的函数关系的方法称为图像法,例1 商店销售某种茶杯，每个售价为3.5元，应付款是购买茶杯数的函数，当购买的茶杯数在5个以内（含5个）时，请用三种方法表示这个函数,解 设购买的茶杯数为x（个），应付款为y（元），则函数的定义域为1,2,3,4,5,（1）依题意知，函数的解析式为y=3.5x，故用解析法可将函数表示为y=3.5x，x 1

24、,2,3,4,5,（2）根据售价，分别计算出购买 个茶杯时的应付款，列成表格，即用列表法可将函数表示为表3-2,表3-2,（3）以表3-2中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出点(1,3.5)、(2,7)、(3,10.5)、(4,14)、(5,17.5)，即用图像法可将函数表示为如图3-2所示,图3-2,表3-3,图3-3,用解析法表示函数，通常用一个解析式就可以了但有些函数，当自变量在不同的范围内取值时，对应法则不能用一个解析式表示，而要用两个或两个以上的解析式来表示，例如对这类函数求值时，应把自变量的值代入相应范围的解析式中去计算.,像上述这种，在自变量的不同取值范围

25、内，需要用不同的解析式来表示的函数称为分段函数,分段函数的定义域是自变量的各个取值范围的并集，图像也是由连续（或不连续）的两段或多段组成的,计算器辅助求值,在用描点法作函数图像时，需要列表求值，对于一些不容易计算的函数值，可以借助于计算器下面以CASIO fx82ES PLUS型函数计算器（图3-4）为例，介绍如何计算 的值,图3-4,（1）按 键，打开计算器，然后按 键，再按 键，将计算模式设置为“COMP”（即基本算术运算，此为初始缺省计算模式）,（2）先按 键，再依次按 键、 键输入被开方数,（3）按 键，计算器的显示屏中会出现计算结果“2.645 751 311”，取小数点后两位，即“

26、2.65”,（4）依次按 键和 键，关闭计算器,3.3 函数的基本性质,函数值随着自变量的增大而增大（或减小）的性质称为函数的单调性,一般地，设函数y=f（x）在区间(a,b) 上有意义，如果对于任意的x1,x2 (a,b) ，当x1x2时，,3.3.1 函数的单调性,（1）若总有f（x1） f（x2）成立，则称函数f（x）在区间(a,b)上是增函数，区间(a,b)称为函数f（x）的增区间，如图3-6（a）所示；,（1）若总有f（x1） f（x2）成立，则称函数f（x）在区间(a,b)上是减函数，区间(a,b)称为函数f（x）的减区间，如图3-6（b）所示；,图3-6,如果函数f（x）在区间(

27、a,b)上是增函数或减函数，则称函数f（x）在区间(a,b)上具有单调性，区间(a,b)称为函数f（x）的单调区间,例1 图3-7所示为函数y=f（x）在闭区间2,7上的图像，试根据图像指出这个函数的单调区间，并说明它在每个单调区间上是增函数还是减函数,图3-7,解 由图像可以看出，函数y=f（x）的单调区间有2,0，0,2，2,5，5,7 函数y=f（x）在区间2,0，2,5上是减函数，在区间0,2，2,5上是增函数,3.3.2 函数的奇偶性,一般地，设函数y=f（x）的定义域为D，对于任意的xD，,（1）若都有f（x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数；,（2）若都有f（x）=f（x），

28、则称函数f（x）为奇函数,偶函数的图像一定关于y轴对称，反过来，图像关于y轴对称的函数一定是偶函数；同理，奇函数的图像一定关于原点O中心对称，反过来，图像关于原点O中心对称的函数一定是奇函数,如果一个函数是奇函数或偶函数，则称这个函数具有奇偶性如果一个函数既不是奇函数，也不是偶函数，则称这个函数为非奇非偶函数,要判断一个函数是否具有奇偶性，首先要看其定义域是否关于原点对称定义域关于原点不对称（为非奇非偶函数），所以对它谈论奇偶性没有意义,在确定了函数的定义域关于原点对称以后，考察f（x）与f（x）的关系，然后根据定义判断出函数的奇偶性即可,此外，我们还可以通过观察函数图像的对称性来判断它是奇函

29、数还是偶函数,3.4 函数的实际应用举例,例1 某根弹簧不挂重物时的长度为12 cm，它能挂的重量不得超过10 kg，并且挂重每增加1 kg，弹簧就伸长2 cm，请写出弹簧挂重后的长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数解析式,解 由题意知，当挂重x（kg）时，弹簧伸长2x（cm）故弹簧挂重后的长度y（cm）与挂重x（kg）之间的函数解析式为y=122x，x0,10,例2 某厂对每月用电不超过100度的职工的收费办法是：当用电不超过50度时，按每度0.6元收费；当用电超过50度时，其中的50度仍按原标准收费，超过部分按每度0.8元收费，试写出职工每月应交纳的电费与用电量之间的函数解析式,解 设

30、职工每月的用电量为x（度），应交纳的电费为y（元）依题意知，当用电量x在不同的范围时，收费标准是不同的，如表3-4所示,表3-4,综合以上两种情况，可以得到职工每月应交纳的电费y（元）与用电量x（度）之间的函数解析式为,例3 某市电信营业厅为了鼓励固定电话消费，推出新的优惠套餐：固定月租费为10元；每月拨打市内电话不超过120分钟时，每分钟收费0.2元；超过120分钟时，超过部分每分钟收费0.1元；不足1分钟时按1分钟计费请写出某用户一个月的市内电话费y（元）与拨打时间x（分钟）之间的函数解析式，并作出函数图像,解 依题意知，当拨打时间x在不同的范围时，收费标准是不同的，如表3-5所示,表3-

31、5,综合以上两种情况，可以得到某用户一个月的市内电话费y（元）与拨打时间x（分钟）之间的函数解析式为,函数的图像如图3-11所示当0 x120时，图像是线段AB（包含端点A和端点B）；当x120时，图像是一条以B为起点的射线（不含端点B）,图3-11,软件学习,用几何画板绘制分段函数的图像的基本思路为：首先通过输入函数解析式，得到各段函数在整个定义域上的图像，然后根据解析式中指定的区间为各段函数设置定义域，以得到各段函数的部分图像，进而“拼”成分段函数的图像,我们用几何画板绘制分段函数 的图像，具体操作步骤如下：,（1）打开几何画板，选择“绘图”“绘制新函数”菜单，在弹出的“新建函数”对话框中

32、输入分段函数的解析式“x6”，然后单击“确定”按钮，得到函数 y= x6在整个定义域上的图像,（2）右键单击函数y= x6的图像，在弹出的快捷菜单中选择“属性”命令，打开“函数图像”对话框，单击“绘图”选项卡，取消“显示箭头和端点”复选框，并将定义域范围修改为“6x0”，然后单击“确定”按钮，得到6，0）上函数y= x6的图像,（3）用同样的方法，绘制出0,3上函数y=x29的图像,（4）单击左侧工具箱中的“点工具”按钮，然后依次单击左边一段函数图像的左、右端点，以及右边一段函数图像的左、右端点，在这些位置添加实心点,（5）单击左侧工具箱中的“移动箭头工具”按钮，再右键单击左边一段函数图像的右

33、端点，从弹出的快捷菜单中选择“颜色”“其它”命令，打开“颜色选择器”对话框，在竖直选色条中选择最上面的白色，然后单击“确定”按钮，该端点变为空心点,最终得到的函数图像如图3-12所示,图3-12,第4章 指数函数与对数函数,内容简介：本章完成了由正整数指数幂到实数指数幂及其运算的逐步推广过程，介绍了指数函数的概念、图像和性质，引入了对数概念及运算法则，并在此基础上介绍了对数函数的概念、图像和性质。,学习目标：理解有理数指数幂；掌握实数指数幂及其运算法则；了解幂函数，理解指数函数的图像和性质；了解指数函数的实际应用，理解对数的概念；掌握利用计算器求对数值；了解积、商、幂的对数、对数函数的图像和性

34、质及对数函数的实际应用。,知识导航,4.1 实数指数幂,4.1.1 有理数指数幂,1n次根式,一般地，如果xn=a（aR，nN*且n1），则称x为a的n次方根,（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根可以记作 ,（2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别用 和 表示，其中 称为a的n次算术根负数没有偶次方根,（3）0的n次方根是0，记作 ,我们把形如 （aR，nN*且n1）的式子称为n次根式，其中，n称为根指数，a称为被开方数,2分数指数幂,我们规定： 其中m，nN*且n1当n为奇数时，aR；当n为偶数时，a0,当 有意义，

35、且a0时，规定：,计算器辅助求值,下面，我们以用CASIO fx82ES PLUS型计算器求 与 的值为例，介绍用计算器求n次根式与分数指数幂的值的一般方法,（1）按 键，打开计算器，然后依次按 键和 键，再按 键，将计算器的显示格式设置为“MthIO”（普通显示），接着再按一次 键，将计算结果的显示格式设置为“MathO”,（3）计算 的值：按 键（清屏）按 键输入底数“24”按 键按 键（将指数设置为分数形式）输入指数中的分子“2”按 键输入指数中的分母“3”按 键，即可显示计算结果，为“8.320 335 292”,（4）依次按 键和 键，关闭计算器,（2）计算 的值：按 键按 键输入根

36、指数“3”按 键输入被开方数“40”按 键，即可显示计算结果，为“3.419 951 893”（计算结果显示的小数位数默认为9位，可根据需要自行设定）,4.1.2 实数指数幂及其运算法则,当a，b0，p，q为有理数时，有,事实上，还可以将有理数指数幂推广到实数指数幂当 为实数时，上述运算法则也成立,4.1.3 幂函数举例,一般地，我们把形如y=x（R）的函数称为幂函数其中，为常数，x为自变量，幂函数的定义域与常数的取值有关,表4-1,图4-1,表4-2,图4-2,表4-3,图4-3,综上可知，幂函数y=x的定义域、单调性和奇偶性会随取值的不同而发生变化总结如下：,（1）当0时，幂函数y=x的图

37、像经过坐标原点（0，0）和点（1,1），在区间（0，）上是增函数；,（2）当0时，幂函数y=x的图像不经过坐标原点（0，0），但经过点（1,1），在区间（0，）上是减函数.,4.2 指数函数,4.2.1 指数函数及其图像和性质,一般地，我们把形如y=ax（a0且a1） 的函数称为指数函数其中，底数a为常数指数函数的定义域为R，值域为（0，）,下面，我们来研究指数函数的图像和性质,首先，我们用描点法作出函数y=2x和y=3x的图像 指数函数的定义域为R，在定义域内取若干个x值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-4所示,表4-4,以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出

38、相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数y=2x 和y=3x的图像，如图4-4所示,图4-4,接下来，我们再用描点法作出函数 和 的图像 指数函数的定义域为R，在定义域内取若干个x值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-5所示,表4-5,以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数y=（1/2）x和y=（1/3）x的图像，如图4-5所示,图4-5,一般地，指数函数y=ax（a0且a1）具有下列性质：,（1）函数的定义域为R，值域为（0，）；,（2）当x=0时，y=1，即经过点（0,1）

39、；,（3）当a1时，函数在（，）上是增函数；当0a1 时，函数在（，）上是减函数,4.2.2 指数函数应用举例,例3和例4中的函数解析式都可以写成 y=cax（c0为常数，a0且a1）的形式这个函数模型称为指数模型当a1时，称为指数增长模型；当0a1时，称为指数衰减模型,4.3 对数,4.3.1 对数的概念,如果ab=N（a0且a1），那么b称为以a为底N的对数，记作 其中，a称为对数的底数（简称底），N称为真数,通常，我们称形如ab=N的等式为指数式，称形如 的等式为对数式由对数的定义可知，当a0且a1时，,对数具有如下基本性质：,（1）零和负数没有对数，即N0；,（2） ，即1的对数为0；

40、,（3） ，即底的对数为1,通常将以10为底的对数称为常用对数， 简记为 ,在工程计算和科学研究中，经常使用以无理数e=2.718 28为底的对数将以无理数e为底的对数称为自然对数， 简记为 ,4.3.2 用计算器求对数值,在CASIO fx82ES PLUS型计算器上， 键用于计算一般对数， 键用于计算常用对数， 键用于计算自然对数,在实际计算中，若遇到不以10或e为底的一般对数，我们通常是将其转化为常用对数或自然对数来求值的为此，我们给出对数的一般换底公式：,设a，b0且a，b1，N0，则有,如果所用计算器上没有计算一般对数的按键，可以先用换底公式 或 将其以常用对数或自然对数表示，再用计

41、算器上的 或 键求值,4.3.3 积、商、幂的对数,当a0且a1时，我们可以得到对数的如下运算法则：,4.4 对数函数,4.4.1 对数函数及其图像和性质,一般地，我们把形如 的函数称为对数函数其中，底数a为常数对数函数的定义域为（0，），值域为R,下面，我们来研究对数函数的图像和性质,首先，我们用描点法作出函数 和 的图像,对数函数的定义域为（0，），在定义域内取若干个x值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-6、表4-7所示,表4-6,表4-7,以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数 和 的图像，如

42、图4-6所示,图4-6,接下来，我们再用描点法作出函数 和 的图像,对数函数的定义域为（0，），在定义域内取若干个x值，分别求出对应的y值，然后列表，如表4-8、表4-9所示,表4-8,表4-9,以表中的x值为横坐标，对应的y值为纵坐标，在直角坐标系中依次描出相应的点（x，y），然后用光滑的曲线依次连接这些点，即可得到函数 和 的图像，如图4-7所示,图4-7,一般地，对数函数 具有下列性质：,（1）函数的定义域为R，值域为（0，）；,（2）当x=0时，y=1，即经过点（0,1）；,（3）当a1时，函数在（0，）上是增函数；当0a1 时，函数在（0，）上是减函数,4.4.2 对数函数应用举例,

43、第5章 三角函数,已知三角函数值求角,内容简介：本章主要内容是三角函数的定义、函数和性质及应用。三角函数是基本初等函数，它是描述周期函数的数学模型，在数学和其他领域中有着重要的作用。本章以单位圆及几何中的对称为基础，应用代数的方法对三角函数进行讨论，使学生初步了解代数与几何的联系。高等数学、物理学、天文学、测量学以及其他各科科学技术都会应用到三角函数的知识，因此这些知识既是进一步学习数学的必要基础，又是解决生产技术实际问题的有力工具。,学习目标：了解角的概念推广，理解弧度制的概念和意义，理解任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数；掌握利用计算器求三角函数的值，理解同角三角函数的基本关系，了解诱导

44、公式的推导及简单应用，理解正弦函数的图像和性质；了解余弦函数的图像和性质，掌握利用计算器求角度；了解“已知一个角的三角函数值，求在指定范围内的角”的方法。,5.1 角的概念的推广,5.1.1 角的基本概念,一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O，按逆时针（或顺时针）方向旋转到另一位置OB所形成的图形称为角，如图5-2所示旋转开始处的射线OA称为角的始边，旋转终止处的射线OB称为角的终边，射线的端点O称为角的顶点,图5-2,一般规定：按逆时针方向旋转所形成的角称为正角，按顺时针方向旋转所形成的角称为负角特别地，当一条射线没有作任何旋转时，也认为形成了一个角，这个角称为零角,例如，在图5-3中，

45、正角=210，负角=150，正角=660,图5-3,为了研究的方便，我们经常在平面直角坐标系中讨论角将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合,这样一来，角的终边落在第几象限，就把这个角称为第几象限的角，或者说这个角在第几象限如图5-4所示,图5-4,特别地，如果一个角的终边落在坐标轴上，则称为界限角，它不属于任何一个象限,5.1.2 终边相同的角,在同一直角坐标系中，作出30、390和330角，如图5-5所示,图5-5,通过观察可以发现，390、 330角的终边都与30角的终边相同我们把这些角称为与30角终边相同的角显然，与30角终边相同的角有无数多个.,因此，所有与30角终边相同

46、的角（包括30角），都可以表示成30与360的整数倍的和，即都可以写成30k 360（）的形式所以，与30角终边相同的角的集合为 =30k 360（） ,一般地，所有与角终边相同的角（包括角在内）都可以写成k 360（）的形式，它们所组成的集合为 =k 360（） ,5.2 弧度制,在数学和其他科学中，经常使用另一种方法来度量角把等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角，记作1弧度或1 rad这种以“弧度”为单位来度量角的单位制称为弧度制,如图5-6所示，用弧度制表示的这两个圆心角分别是1 rad，2 rad,图5-6,我们规定：正角的弧度是正数，负角的弧度是负数，零角的弧度是零,角度制与弧

47、度制之间的转换关系为360=2（rad），即180=（rad）,因此，角度与弧度的转换公式为,表5-1中列出了一些特殊角的角度与弧度的对应关系,表5-1,计算器辅助求值,我们以用CASIO fx82ES PLUS型计算器将135由角度转换为弧度，将11/6由弧度转换为角度为例，介绍用计算器进行角度与弧度转换的一般方法,（1）首先将135由角度转换为弧度按 键，打开计算器，然后依次按 键和 键，再按 键选择弧度制，将计算器设置为弧度计算模式,（2）先输入“135”，再依次按 、 、 键，改输入值为角度“135”，然后按 键，即可得到135对应的弧度值“3/4”,（3）接下来将11/6由弧度转换为

48、角度先按 键（清屏），然后依次按 键和 键，再按 键选择角度制，将计算器设置为角度计算模式,（4）按 键，先输入分子中的“11”，再依次按 、 键输入分子中的“”，然后按 键，输入分母“6”，再按 键,（5）依次按 、 、 键，改输入值为弧度“ ”，然后按 键，即可得到11/6对应的角度值“330”,（6）依次按 键和 键，关闭计算器,5.3 任意角的三角函数,5.3.1 任意角的正弦、余弦和正切函数,在直角坐标系中，设是一个任意角，在角的终边上任取一点P（x，y），则点P到原点的距离为 （r0），如图5-8所示，那么任意角的正弦、余弦和正切可以分别定义为,图5-8,根据相似三角形的知识，对于

49、每一个确定的角，其正弦、余弦和正切（当x0时）的值都是唯一确定的，而与点P在角终边上的位置无关,因此，正弦、余弦和正切都是以角为自变量的函数，分别称为角的正弦函数、余弦函数和正切函数，它们都是角的三角函数,在弧度制下，三角函数可以看作是以实数为自变量的函数正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域及值域如表5-2所示,表5-2,5.3.2 三角函数值的正负号,1各象限角的三角函数值的正负号,根据任意角的三角函数的定义，由于r0，所以三角函数值的正负号取决于终边上点P的坐标（x，y）,表5-3中列出了各象限角的三角函数值的正负号与点P（x，y）的坐标的对应关系,表5-3,为了便于记忆，我们把sin 、

50、cos 、tan 的正负号标在各个象限中，如图5-9所示,图5-9,2界限角的三角函数值,对于界限角，可以根据三角函数的定义求出其正弦、余弦和正切值具体如表5-4所示,表5-4,5.3.3 用计算器求已知角的三角函数值,用CASIO fx82ES PLUS型计算器的 、 、 键，可以方便地计算任意角的正弦、余弦、正切等三角函数值，具体方法为：设置计算模式（角度制或弧度制）按 (或 、 )键输入角的大小按 键显示结果,5.4 同角三角函数的基本关系,1单位圆,在平面直角坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆称为单位圆如图5-10所示，设任意角 的终边与单位圆相交于点P（x，y），根据三角函数