《小学数学课程标准之数学基本思想》教师培训提纲课件.ppt

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1、数学课程标准之数学基本思想,鹰的重生,二.数学基本思想 的整体认识和分析,三.对几个数学基本思想的具体分析,一.简述数学课程标准的含义及其内容,四.如何在教学中渗透数学思想方法,一、简述小数数学课程标准的含义以及内容,1.课程标准的含义：是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育课程的基本规范和质量要求。国家课程标准是教材编写、教学、评估和考试命题的依据，是评价管理和评价课程的基础。,小学数学课程标准的内容,前言,基本概念,设计思路,课程目标,总体目标四基基本思想,学段目标,内容标准,数与代数,图形与几何,统计与概率,综合与实践,实施建议,教学建议,评价建议,教材编写建议,课程资源开发与利用

2、建议,课程性质,2.,3.课标总目标：第一条： 使学生获得“四基”,即：通过义务教育阶段数学学习，学生能：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。,数学课程目标为何要： 从“双基”发展到“四基”?,从双基拓展为四基，主要体现了对于数学课程价值的全面认识，学生不仅获得必需的知识和技能，还要积累经验、获得数学发展和处理问题的思想；同时体现了以学生为本的基本理念。,早在近代科学的黎明时期,德国数学家莱布尼兹（Leibniz，16461716）就指出： 数学的本质不在于它的对象,而在于它的思想方法。,1.什么是数学学习中最本质的东西？,二、对数学基本思想的

3、认识和分析,数学基本思想才是数学的本质,2.何为数学基本思想？ 区别几个概念,所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识。所谓数学方法，是指人们解决数学问题的方法，即解决数学具体问题时所采用的方式、途径和手段。,3.数学基本思想的本质,“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理和模型。通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系”（史宁中，数学思想概论第一辑，东北师范大学出版社，2008.6，第一页）。,数学基本思想层次性和多样性,三.对其中几个数学基本思想 的具体分析,抽象,推理,模型,数形结合,分类,化归,（一）数

4、学抽象思想,数学和其他学科一样，都具有抽象性。即都是把物体、现象、生活的一个方面抽象化。数学研究的是从具体内容中抽象出来的形式、结构和数量关系。抽象是数学最本质的特征。,1.什么是数学抽象思想,从结果看：全部数学都是抽象的产物 例：一个概念（分数），一个算式（3X2=6种），一个数（3），一种运算（乘法），一条法则一个定律（加法交换律），一个数量关系（速度X时间=路程）等。从过程与方法看：数学的学习与发展就是一个抽象的过程，抽象是数学活动最基本的方法。例1：100以内数的写法和读法；,2.为什么抽象是数学最本质的特征,1,3,表示1个十,看图写数。,表示3个一,在十位上写1,在个位上写3,1,

5、例2：搭配问题（分三步）,（1）从实际生活引入课题，体验按顺序搭配。从生活中的搭配衣服引入课题。先让学生用实物图片搭配，体验按顺序搭配的好处。,（2）然后从实物图片抽象到符号表示，感知符号表示的简洁明了。,（3）最后从符号表示通过推理抽象到算式，培养孩子的理性思考。,（二）推理思想,1.数学家对推理的认识,数学的主要方法就是逻辑的推理。陈省身,数学创造性工作的结果是证明推理，是一个证明，但证明是由合情推理，是由猜想来发现的。波利亚（美籍匈牙利数学家）,几何学总是利用一长串简单的推理完成最艰难的证明。笛卡尔(法. 哲学家、数学家、物理学家）,2.什么是推理？,推理是指从一个或几个已知判断推出一个

6、新的判断的思维方式。 例：用长6cm、8cm、12cm的三根小棒能围成三角形吗？推理的种类,演绎推理,合情推理,类比推理,归纳推理,不完全归纳推理,完全归纳推理,2.1什么演绎推理,演绎推理是从一般性原理得出特殊结论的推理方法，即从一般到特殊的推理方法。演绎推理的特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用它从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎推理是一种必然的推理，演绎法是一种严格的逻辑证明方法。,演绎推理的逻辑基础：三段论这种推理是分为大前提、小前提、结论这样三段来进行的，可用公式表示如下： （大前提） （小前提） 所以 （结论）,例1：,求三角形未知角的度数,2.2什么合情推理,是指

7、根据已有的事实和证明的结论、实验和实践的结果，凭借经验和直觉，通过归纳和类比推测某些结果的 推理过程。归纳、类比是合情推理常用的思维方式。,合情推理有分为：分为归纳推理和类比推理,2.3.1 归纳推理,按照它的考查的对象是否完全而又分为： 完全归纳推理 不完全归纳推理（也叫简单枚推理）,归纳推理：由某类事物的部分对象所具有的某些特征推出该类事物也具有这些特征的推理。例：乘法分配律律，三角形的内角和定理。,根据某类中每一个个体都具有（或不具有）某种性质，推出该类具有（或不具有）某种性质的归纳推理称为完全归纳推理。在数学中，完全归纳推理又可分为穷举归纳和分类归纳两种。 设考察的对象含有有限个对象，

8、表示为： 考察内容是判定 是否有性质 ，则穷举归纳的逻辑形式可表示如下：,完全归纳推理,若考查的对象有无限多个，显然就无法穷举，这时，可将无限多个对象分成有限多个类来研究，这就是分类归纳推理。,分类归纳推理的逻辑形式为：,例：三角形的内角和定理,不完全归纳推理,根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为不完全归纳推理小学数学中基本用的是不完全归纳推理。其逻辑形式：,例1：乘法分配律律,例2：费尔玛素数猜想： （费尔玛数）当n=0，1，2，3，4时，分别为3，5，17，257，66537，于是，费尔玛猜想“所有的 都是素数。”事隔半个世纪之后，

9、擅长计算的欧拉成功地将其分解为两个因数之积： 这就推翻了费尔玛素数猜想。,但不完全归纳可以促使人们通过观察分析，去发现结论，提出猜想，然后加以证明。在数学中，发现结论往往比证明结论更重要。通过观察下列等式： 由不完全归纳推理可能推测：任何大于2的偶数都可以表为两个素数之和，这正是著名的哥德巴赫猜想。,通过归纳推理发现规律,在小学教材中很多结论都是通过归纳推理得到的。如：关于数的交换律、结合律、分配率、关于分数的基本性质、关于圆面积公式等等很多数学问题也可以通过归纳去寻求规律和解题的捷径。,如图所示，在正六边形A周围画出6个同样的正六边形(阴影部分)，围成第1圈；在第1圈外面再画出12个同样的正

10、六边形，围成第2圈 。按这个方法继续画下去，当画完第11圈时，图中共有 个与A相同的正六边形。,图中第1格内放着一 个立方体木块，木 块六个面上分别写 着A，B，C，D，E， F六个字母，其中A 与D，B与E，C与F 相对。如果将木块 沿着图中方格滚动， 当木块滚动到第21 个格时，木块向上 的面写的字母是： 第5，9，13，17,21格与第一格相同，故为 A 由此，还可作更一般的推广。,类比推理,根据两类不同的对象之间存在某些方面的相同或相似，推测出它们在其它方面也有可能相似或相同的推理，它是从特殊到特殊的推理。其逻辑形式如下：,（三）模型思想,所谓数学模型，就是根据特定的研究目的和问题，采

11、用形式化的数学语言，去抽象地，概括地描述所研究对象的主要特征、数量关系和空间形式所形成的 一种数学结构。,1.什么是数学模型,2.模型思想的重要意义,促进概括能力的发展； 例：运算律的概括,3. 模型思想在小学数学中的应用 数的表示，自然数列：0,1,2,用数轴表示数用数字和图形表示规律数的运算：a+b=c，ca =b, cba，abc(a0,b0)， ca=b, cba用字母表示运算定律，方程ax+b=c 数量关系：时间、速度和路程：s=vt 数量、单价和总价：a=np 正比例关系：y/x=k 反比例关系：xy=k用表格表示数量间的关系，用图象表示数量间的关系用字母表示周长、面积和体积公式用

12、图表示空间和平面结构用统计图表描述和分析各种信息用分数表示可能性的大小。,数学建模就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。,4.如何建模？,标准从义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为这样三个环节：,从现实生活或具体情境中抽象数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义,6.模型思想的培养,精心设计教学活动，使学生经历“问题情境建立模型求解验证”的数学活动过程。如：长方形面积公式的推导：经历摆发现归纳用字母表示的过程。,7.模型与情景的关系紧密结合,由模型反述问题情境,

13、教学楼有四层。五（1）班的同学第一节课到3楼上数学课，第二节课到2楼上美术课，第三节课到4楼上音乐课，第四节课回到3楼上语文课，中午到一楼食堂吃饭。下面哪一幅图比较准确地描述了这一过程？,时间,楼层,时间,楼层,楼层,时间,由情境选模型,案例：香港教材：“公说公有理，婆说婆有理” 某企业有5个股东，100个工人，9092年间收益情况如下： 年份 股东红利（元） 工资总额（元） 1990年 5万 10万 1991年 7.5万 12.5万 1992年 10万 15万 将它画成图表（如图）：,同一模型的多重情境,90,91,92,1000,1500,10000,20000,90,91,92,90,9

14、1,92,5万,10万,15万,（1）股东画：两条平行线，表明劳资双方“有福同享，有难同当”,（2）工会领导人画：差 距越来越大，应加速增加工资。,（3）工人画：以股东和 工人的个人所得计算，收入相差悬殊。,同一情境中的多种模型,100%,150%,200%,年份 股东红利（元） 工资总额（元）90年 5万 10万91年 7.5万 12.5万92年 10万 15万,5个股东，100个工人,（四）分类思想,1.分类的含义 是依据一定的标准，将对象区分为不同种类的逻辑方法。,标准：“分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等。在

15、研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题。”,例1：商不变的性质,把结果不变的算式分为一类，再探究你发现了什么？,例2：给一本书编页码，一共用去732个数字，这本书一共有多少页？分析与解：按照每个页码所用数字的个数分类：只用一个数字的有19页，共用了9个数字；用二个数字的有1099页，共用了2（999）=180（个）数字；余下的（7321809）个数字用来编三位数的页码，可以编（7321809）3=181（个）页码。于是可以求出这本书一共有990181=280（页）。,2.分类应特别注意两点： 一是统一标准。例：在1-20中找出既是奇数又是合数的数，这个标准就含有奇数和合数两个因素。 二是

16、不重复、不遗漏。例：同一平面内，两条直线的位置关系,（五）数形结合的思想,1.数学研究的主要对象：数量关系和空间形式,数量关系空间形式,“数”（抽象）,“形”（直观）,数和形是数学的两个基本方面,皮亚杰说：儿童的思维特点是形象思维。,如何解决抽象与直观这对矛盾呢？数形结合，用形象直观的图形理解抽象的数及数量关系。,2.数形结合思想方法的意义,数形集合的思想方法：就是抓住数与形之间的本质联系，用形直观形象地表达数，用数精确地刻画形。借助几何直观把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。,数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。,华罗庚：,（1）形

17、刻画数,例1：,例2：,例：异分母分数加减法,例：甲、乙两人分别站在一个圆形跑道的直径的两端，然后两人沿圆周相向而行。已知乙在走了100米后与甲第一次相遇，相遇后两人继续各自以原速度向前行走，乙在走过了距甲起点60米的地方与甲再次相遇。问圆形跑道总长多少?,第一次相遇，两人共行圆周的一半；再次相遇时，两人又共同行走了一个整圆，即是第一次所行路程的2倍在各自速度不变的情况下，乙第二次行走的路程也应该是第一次所走100米的2倍即乙所行总路程为100+2X100300(米)，所以圆周长为(30060)X2480(米),验证乘法分配律：求大长方形的面积,(a+b)Xc=ac+bc,（2）用数刻画形,用

18、准确的数去刻画几何图形，对形的性质、形的特征理解得更加透彻。,例1：用“三条边相等，三个角也相等”来刻画等边三角形的特征。,例2：用“同一圆内，所有的半径都相等”来刻画圆的本质特征，即“一周同长也”，以及圆的饱满之美。,3.数形结合思想的培养在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观。,图形化是抽象与具体之间的转化,让学生学会从“数”与“形”两个角度认识数学，体会化归思想。,例：一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次都喝剩下的一半，次一共喝了这杯可乐的多少？,通常算法是：把次可乐加起来求和.即：1/2+1/4+1/8+

19、1/16+1/32,还可推广次喝了多少？,例：一道典型习题,大鲸鱼对小鲸鱼说：我像你现在这么大的时候，你才1岁；小鲸鱼对大鲸鱼说：我像你这么大的话，你都31岁了。问：大、小鲸鱼现在多大？,大鲸鱼,小鲸鱼,1岁,31岁,？,？,年龄差,关键是求年龄差：,（311）310（岁）,小鲸鱼：1+10=11（岁）,大鲸鱼：11+10=21（岁）,让图形动起来图形的运动变化蕴含着丰富的思想,对称、旋转、折叠、展开、拆分、组合、拉伸、压缩,充分利用图形的变化来分析、解决问题,例 用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色正方形纸片拼成如图的一个直角三角形。问红、蓝

20、两张三角形纸片面积之和是多少?,49X2927105,（六）化归思想（转化）,1.化归思想的含义： 就是根据学生已有的知识经验，通过观察、联想、类比等手段把未解决的、复杂的问题归结到能解决、简单的问题中去，从而获得对原问题的解决。2.化归的方向 方向： 由新到旧，由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易。,作用1：新知转化为旧知,小数乘法转化为整数乘法,3.化归思想的作用,20,求下图阴影部分的面积,4.化归思想在教材中的应用,四.如何在教学中渗透数学思想方法,1.善于挖掘教材中的数学思想2.在知识的形成和巩固中渗透数学思想及方法3.精心设计教学活动4.在解决问题的教学中突出数学思想方法5.渗

21、透数学思想方法应适时显性化6.发掘“做数学”的课堂教育价值,（一）善于挖掘教材中的数学思想,在我们的小学数学教材中，有许多的数学基本思想及方法，不过它不是显性的，呈隐形状，它是教材中的一条暗线，蕴含在知识技能这条明线中，需要我们教师做个有心人，用心去挖掘，有机地渗透。,例1：用字母表示数,例2：分数除法,例3： 交换律,例1：“用字母表示数”的教学片断渗透了函数思想,1只青蛙 1 张嘴，2只眼睛 4 条腿；,教师借助课件演示数青蛙，学生探究得出数青蛙任意只数可以用字母来表示，眼睛数和腿数可用含有字母的式子来表示，如：用a表示青蛙的只数，就用a2表示眼睛数，aX4表示腿数。接下来的片断，通过师生

22、交流，有机渗透了函数思想。师：刚才经过同学们探究发现，当不能用具体的数来表示青蛙只数的时候，我们可以用字母、文字或符号来表示，数学上通常用字母来表示。师：当a是1时，表示数了几只青蛙？生：1只。师：有几只眼睛？几条腿？生：12=2（只）眼睛，2X4=8（条）腿。师：当a是8时，表示数了几只青蛙？生：8只。师：有几只眼睛？几条腿？生：82=16（只）眼睛，8X4=32（条）腿。师：大家可以清楚地发现当青蛙只数变了，眼睛数也要变，但这其中有没有 不变的东西？生1：不管是数几只，其中的每一只青蛙都有2只眼睛，4条腿。生2：不管是数几只青蛙，眼睛的只数都是青蛙只数的2倍，腿数总是青蛙数 的4倍。师：了

23、不起，你们的发现很有价值。,例2：分数除法（例3） 一个数除以分数,抽象,数形结合,推理,类比,归纳,例3： “交换律”的教学片断渗透了合情推理思想,首先，教师引导学生通过猜想、举例验证，归纳得出了加法交换律。然后，教师提问：加法有交换律，你马上猜想到了什么呢？启发学生类比迁移猜想：乘法、减法、除法也有交换律吗？然后请学生进行举例验证。,在验证减法的时候，课堂生成了这样一个片断：生：我验证过了减法也有交换律，比如：1-1=1-1，3-3=3-3师：好象说得有道理呀！你认为对吗？生：不对，那是被减数、减数相同的情况下，这样是a-a=a-a。举个反例，2-1不等于1-2。一个反例就足以说明减法没有

24、交换律。师：真了不起！是呀，数学中有很多的假象，只要找到一个反例就能将假象推翻，这是一种很好的思考问题的方法，也是解决问题的重要手段。师：回想一下，刚才我们是怎么得到结论的？生：先猜想、再举例验证再总结。,（二）在知识的形成和巩固中渗透数学思想,数学思想方法蕴含在数学知识之中，尤其蕴含于数学知识的形成过程中。在学习每一数学知识时，尽可能提炼出蕴含其中的数学思想方法，即在数学知识产生形成过程中，让学生充分体验。教学中不直接点明所应用的数学思想方法，而应该引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验蕴含其中的数学思想方法，切忌生搬硬套、和盘托出。下面我们分别举一个新授和练习的例子加以说明。,例1：圆的面

25、积新授,例2:6的乘法口诀练习课,知识的形成和巩固,例：,创设情境：体会圆的数学意义,抽象的思想,丰富的数学思想,估计与猜测： 逐步逼近的思想 合情推理的思想,剪一剪：,体会无限的思想,拼一拼 ：转化的思想,多种转化 的方式 推理 归纳思想 （归纳出一般结论） 模型思想,经历知识的巩固与应用，渗透数学思想方法,数学知识的巩固，技能的形成，智力的开发，能力的培养等需要适量的练习才能实现。练习课的练习不同于新授课的练习，新授课中的练习主要是为了巩固刚学过的新知，习题侧重于知识方面；而练习课中的练习则是为了在形成技能的基础上向能力转化，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维能力。因此教师

26、要有数学思想方法教学意识，在练习课的教学中不仅要有具体知识、技能训练的要求，而且要有明确的数学思想方法的教学要求。,例2:6的乘法口诀练习课,“咱们要教给孩子们什么？” 数学思想方法。,（三）精心设计教学活动,R.柯朗 H.罗宾： “只有靠了数学自身的经验，才能把握数学思想是什么？”,杜威： “一盎司经验胜过一吨理论”,关键是提供一个好的数学活动：,要为每一个学生进行活动，创设良好的学习环境和问题情境要为学生获得更多的活动经验提供广阔的探索空间数学活动要引导学生经历发现、提出、分析、解决问题的全过程,一个教学活动案例,如何结合课堂教学 使学生积累数学活动经验,案例：角的度量（四上）,北京海淀

27、区管老师,两种方式，采用哪一种？,重在传授度量技能： 点重合 边重合 读刻度重在提供多元化的活动：探索度量方法，积累度量经验,活动一：创设情境（大炮射击游戏）,打击目标,引出角的度量问题,活动二：让学生按自己的方 法去度量角的大小,学生采用的方法： 使用直尺 量边的长短 量边之间的距离,学生的作法虽然不正确，但教师看到了两点值得肯定的地方：一是试图用数来说明角的大小；二是能自觉使用度量工具,活动三：设计拼角活动帮助学生寻找测量标准，积累数学活动经验，发展数学思维,老师向学生提供一些大小一样的小角(单位角），让学生用小角去度量刚才那个角。,这里也有类比,通过小组活动寻找用小角度量角的方法,这样拼

28、行吗？,学生充分讨论度量方法,寻找度量标准 经历量角器形成过程 内化量角方法,活动四：用量角器进行度量活动,观察交流辨析,在完善测量工具的过程中，积累经验，掌握测量的方法,归纳小结,本课设计思路：,解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与结论间的差异的过程，也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。,（四）在解决问题的教学中 突出数学思想方法,例1:转化思想 如图（1）有红、黄、绿三张大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合，已知露在外面的部分中，红色面积是20，

29、黄色面积是14，绿色面积是10，那么正方形盒子的面积是多少?,已知某铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，整列火车在桥上的时间为80秒。求火车的速度和长度。,例2：数形结合,（五）渗透数学思想方法应适时显性化,数学思想方法有一个从模糊到清晰、从未成形到成形再到成熟的过程。在教学中，思想方法何时深藏不露，何时显山露水，应审时度势，随机应变。一般而言，在低中年级的新授课中，以探究知识、解决问题为明线，以数学思想方法为暗线。但在知识应用、课堂小结或阶段复习时，根据需要，应对数学思想方法进行归纳和概括。小学高年级学生学习了一些基本的思想方法，可以直呼其名。,

30、（六）发掘“做数学”的课堂教育价值,传统意义上的“做数学”解题新课程下，“做数学”的内涵及形式大大 拓展： 动手做（hands-on）,做中学（learning from doing）、数学试验等，动脑、动手、动口，多种感官协同活动，有利于多渠道地有效地获得数学活动经验。,通过实物操作 建立数学感觉 台湾的操作性教学活动,例1：24小时内，钟面上的时针与分针一共重合多少次？,有人用这一问题同时向中国儿童和美国儿童提问，发现美国儿童用其所戴手表进行实验者居多，而中国儿童则用笔进行计算者居多这反映出不同国度学生不同的学习方式和思维习惯,动手操作，进行实验,通过“拨弄手表”，不仅仅能得到“重合22次

31、”这一结论，而且会发现钟面上还有许多可以探究的问题。,从寻求解题模式角度出发，可转化为“行程问题中的追及问题”求解，即： 追及时间路程差速度差第一次重合时间为 T1路程差速度差60(1一1/12)60+60/11(分)，即1点过60/11分；,第二次重合时： T2路程差速度差 120 (11/12 )120十120/11(分)，即2点过120/11分； 这样可知第N(N3，4，11)次重合时间为 TN路程差速度差Nx 60(1一1/12)N60+N60/11(分)，即N点过N60/11分 特别地，当N11时，T1111点过60分，正好是12点整 这样就求出了12小时内分针和时针重合的时刻，下一

32、个12小时内分针和时针重合的时刻与此相同,例2：开锁问题(一个老师的案例） 数学家陈省身认为的好问题,这是一个与“因数和倍数”知识有关的问题： 一天，老师带着1000名学生去参观一座宫殿，这座宫殿的1000个门上锁着1000把锁 于是老师建议学生做一个游戏： 第一名学生将1000把锁打开， 第二名学生进去将编号为2的倍数的锁锁上， 第三名学生进去改变编号为3的倍数的锁的状态， 第四名学生进去改变编号为4的倍数的锁的状态， . 直到第1000名学生进去完成了任务 然后，老师问：现在还有哪些锁是开着的?,这是一个学生的作业： 按下表所示做少量探究可发现：当第九名学生进去后编号为1，4，9的锁还开着

33、,猜想与证明,猜想：所有编号为完全平方数的锁是开着的继续讨论会发现：对于每一把锁的开关操作都是按照先开后关进行的所以，如果锁号的因数个数为奇数，那么这把锁就是开着的于是，进一步猜想：一个完全平方数的因数有奇数个，有奇数个因数的数一定是完全平方数 高斯曾说：“数学中的许多定理(结论)都是用实验和归纳发现的，证明只是补充手续而已。”,需要证明“若a是完全平方数则a的正因数的个数一定是奇数；反之，若自然数a的正因数的个数为奇数，则a是完全平方数”,（七）渗透数学思想方法应强调反复性,小学生对数学思想方法领会和掌握有一个“从具体到抽象，从感性到理性”的认知过程，在反复渗透和应用中才能增进理解。例：学生对极限思想的领会就需要一个较长的反复认识过程。,数学思想的形成必须经过循序渐进的过程反复训练，才能使学生真正领悟。它不是一招一式、一朝一夕可以完成的。只有有意识地、长期不懈地注重数学思想的渗透，才能使学生增强数学意识，它需要的是一种坚守！愿我们的数学课堂教学都流淌着数学思想的生命活力！,谢谢您的聆听！希望提出宝贵意见！,