第十章机械振动和电磁振荡课件.ppt

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1、机械振动和电磁振荡,第十章,10-1 谐振动 10-2 阻尼振动 10-3 受迫振动 共振 10-4 电磁振荡 10-5 一维谐振动的合成*10-6 二维谐振动的合成*10-7 振动的分解 频谱*10-8 非线性振动与混沌,第十章 机械振动和电磁振荡,简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。,一、简谐振动的特征及其表达式,10-1 谐振动,忽略了质量的弹簧 + 不发生形变的物体。,弹簧振子：,1.简谐振动实例：,回复力：,3.动力学特征:,据牛顿第二定律，得,令,2.力学特征：,作简谐运动的质点所受的合外力与位移成正比且反向。,或,4.简谐振动的运动

2、学特征:,速度：,加速度：,位移：,物体的加速度与位移成正比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。,注：简谐振动以上三特征具有等价性。,简谐振动中质点位移、速度、加速度与时间的关系:,1.振幅(A): 物体离开平衡位置的最大位移的绝对值。,2.周期和频率,周期：物体作一次完全振动所经历的时间。,频率：单位时间内物体所作完全振动的次数。,二、描述谐振动的特征量,角频率: 物体在 秒内所作的完全振动的次数。,利用上述关系式，得谐振动表达式：,3.相位和初相,相位 ：决定简谐运动状态的物理量。,初相位 ：t =0 时的相位。,相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动步调上的差异。设有两个同频率的谐振动

3、，表达式分别为,二者的相位差为,a.当 时,称两个振动为同相；,b.当 时,称两个振动为反相；,c.当 时,称第二个振动超前第一个振动 ；,d.当 时,称第二个振动落后第一个振动 。,注意：相位可以用来比较不同物理量变化的步调。,如：简谐振动的位移、速度和加速度,速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相位比位移的相位超前 。,进行取舍。,4.常量 和 的确定,根据初始条件： 时， , ，得,旋转矢量:一长度等于振幅A的矢量 在纸平面,可直观地描述表达式中各个物理量。,三、谐振动的旋转矢量图示法,内绕O点沿逆时针方向旋转，其角速度与谐振动的,角频率相等，这个矢量称为旋转矢量。,振动相位,逆时针方

4、向,M 点在 x 轴上投影(P点)的坐标：,的长度,旋转的角速度,旋转的方向,与参考方向x的夹角,振幅A,振动圆频率,谐振动位移,M 点在 x 轴上投影(P点)的运动速度：,谐振动速度,两个同频率的简谐运动：,相位之差为,采用旋转矢量直观表示为,例题10-1 一物体沿x轴作简谐振动，振幅A=0.12 m,周期T=2 s。当t=0时,物体的位移x=0.06 m,且向x轴正向运动。求:(1)简谐振动表达式;(2)t =T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x =-0.06 m向x轴负方向运动，到第一次回到平衡位置所需时间。,解: (1)取平衡位置为坐标原点,谐振动方程写为,初始条件：t =

5、 0 s, x0=0.06 m,可得,其中A=0.12 m,T=2 s,据初始条件,得,从而可得,(2) 由(1)求得的简谐振动表达式得,在t=T/4=0.5 s时，从前面所列的表达式可得,(3) 当x=-0.06 m时，该时刻设为t1,得,因该时刻速度为负，应舍去 ，,设物体在t2时刻第一次回到平衡位置，相位是,因此从x=-0.06 m处第一次回到平衡位置的时间：,解法二：从t1 时刻到 t2 时刻所对应的相差为,1. 单摆,四、几种常见的谐振动,根据牛顿第二运动定律可得,其中,动能：,势能：,以水平弹簧振子为例讨论简谐振动系统的能量。,系统总的机械能：,五、简谐振动的能量,能量平均值,上述

6、结果对任一谐振系统均成立。,注意:(1)竖直放置的弹簧振子其势能 中 已经包含重力势能。,(2)振幅计算 体现了能量守恒。,总能量守恒。,谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:,10-0 教学基本要求 10-1 谐振动 10-2 阻尼振动 10-3 受迫振动 共振 10-4 电磁振荡 10-5 一维谐振动的合成*10-6 二维谐振动的合成*10-7 振动的分解 频谱*10-8 非线性振动与混沌,电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡。,LC振荡电路,10-4 电磁振荡,一、LC 电路的振荡,(1) LC 回路与弹簧振子振动的类比,LC电路电磁振荡过程,设某一时刻电容器极板上电量为q,电

7、路中电流为i，得到:,LC 回路自由振荡角频率,将电量表达式对时间求导，得到电流表达式：,其中 为电流振幅。,上述分析结果可知，电量和电流都作简谐振动。,而且电荷和电流的振荡频率相同，电流的相位比电荷,将电场和磁场能量相加，并利用 ，得,电能和磁能均随时间变化，但总能量守恒。,设t 时刻电容器极板上电量为q，相应的电场能量为,此刻电流为i，则线圈中的磁场能量为,机械振动,电磁振荡(串联电路),位移 x,速度 v,质量 m,劲度系数 k,阻力系数 g,驱动力 F,弹性势能 kx2/2,动能 mv2/2,电荷 q,电流 i,电感 L,电容的倒数 1/C,电阻 R,电动势 e,电场能量 q2/2C,

8、磁场能量 Li2/2,二、力电类比,10-1 谐振动 10-2 阻尼振动 10-3 受迫振动 共振 10-4 电磁振荡 10-5 一维谐振动的合成*10-6 二维谐振动的合成*10-7 振动的分解 频谱*10-8 非线性振动与混沌,设一质点同时参与沿同一方向(x 轴)的两个独立的同频率的简谐振动，两个振动位移为,合位移：,合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。,一、同一直线上两个同频率的谐振动的合成,其中,10-5 一维谐振动的合成,矢量沿x 轴之投影表征了合运动的规律。,1.当两振动同相,同相叠加，合振幅最大。,2.两振动反相,反相叠加，合振幅最小。,当A1=A2 时，A=0。,注：

9、 对合振幅A有决定性影响,两个简谐振动合成得,当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢量法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随时间变化。,x = x1+ x2,二、同一直线上两个不同频率的谐振动的合成 拍,合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振动出现时强时弱的拍现象。,拍频:单位时间内振幅强弱变化的次数。,拍频的形成,10-1 谐振动 10-2 阻尼振动 10-3 受迫振动 共振 10-4 电磁振荡 10-5 一维谐振动的合成 10-6 二维谐振动的合成*10-7 振动的分解 频谱*10-8 非线性振动与混沌,两个同频率的相互垂直的分运动位移表达式：,消时间参数，得,合运动一般是在 ( x 向)、 ( y 向)范围内的一个椭圆。,10-6 二维谐振动的合成,注：椭圆的性质(方位、长短轴、左右旋 )在 A1 、A2确定之后,主要决定于 。,（1） 或,（2）,（3）,用旋转矢量描绘振动合成图,两相互垂直同频率不同相位差简谐运动的合成图,方向垂直的不同频率的简谐振动的合成,两分振动频率相差很小,可看作两频率相等而Df 随t 缓慢变化，合运动轨迹将按上页图依次缓慢变化。,轨迹称为李萨如图形,两振动的频率成整数比,几幅典型的李萨如图形,