人大版微积分第三版课件.ppt

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1、微积分,张 杰 zhangjie_,a. 高等数学研究的对象: 函数,b. 初等数学: 主要是离散量的运算体系 (加, 减, 乘, 除),连续量随另外一个连续量连续地变化 (函数的概念). 连续量的运算体系及其数学理论 (微积分),c. 两种体系的区别. 初等数学主要是恒等变形技巧; 而高等数学则是用不等式来刻划等式(用极限的概念),绪 论,初、高中： 从填鸭式 启发式, 以教师为主, 强烈地依赖于教师。 大学： 从启发式 个人自发, 以学生本身为主， 教师引导。,e.微积分的发展历史15世纪以前是它的概念的萌芽时期，主要是阿基米德（Archimedes公元前287212)的穷竭法和刘徽的割圆

2、术,d. 学习方法的不同,数学基本完成时期，也是变量数学的酝酿时期，微积分正式进入了酝酿阶段,16世纪前后约200年的时间是古已有之的常量,17世纪上半叶，微积分的奠基工作在紧锣密鼓,地进行着，最主要的先驱有法国的帕斯卡（Pascal,1623-1662)和费马（Fermat16011665）， 英国,16301677）,的瓦里士（ Wallis16161703）和 巴罗（Barrow,莱布尼兹Leibniz (1646-1716)在前人的基础上创,18世纪是关于微积分的基础的讨论和研究,19世纪，从形式演算 严格的科学体系，,17世纪下半叶，牛顿（Newton 1642-1727)和,立了微

3、积分及其演算体系,的时期,波尔察诺（Bolzano 1781-1848），,定了严格的分析学基础，,戴德金 （Dedekind 1831-1916） 和康托 （Cantor 1845-1918）等1872年建立了严格的 实数系理论微积分严密化的任务终于在他 们手中完成了,哥西 (Cauchy 1789-1857)，维尔斯特拉斯,（Weierstr-ass 1815-1897）等数学家给出了,分析学一系列基本概念的精确定义，从而奠,实数理论为基础演算体系极限概念刻划 基石：实数连续统,学习目的：掌握微积分，极限，实数连续统的概念和方法，更主要的是，培养自己的积极思考问题和解决问题的能力。,微积分

4、是以极限论作为基础，而极限论又以,参考书目：1高等数学同济大学出版；2微积分配套习题人民大学出版社；3.高等数学习题集同济版。,高等数学的学习方法因人而异,在学习中注意以下几个环节,1. 课前预习,2. 认真听讲,3. 复习巩固,本学科的学习基本方法,4. 作业,5. 答疑,6. 融会贯通,1. 我们用符号“” 表示“任取”,或“对于任意的”,或“对于所有的” ,符号“” 称为全称量词.,1 集合，符号,2. 我们用符号“”表示“存在”.,例：命题“对任意的实数x, 都存在实数y, 使得x+y=1”可表示为“xR, yR,使x+y=1”,符号“”称,为存在量词.,3. 我们用符号“”表示“充分

5、条件”,比如, 若用p, q分别表示两个命题或陈述句.,或 “推出” 这一意思.,则“ p q”表示“ 若p成立, 则q也成立”. 即p是q成立的充分条件.,4. 我们用符号“”表示“当且仅当”,比如“p q”表示“p成立当且仅当q成立” 或者说p成立的充要条件是q成立.,或 “充要条件” 这一意思.,一、集合(set),1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,记为,唯一确定的特性：任意对象是否为该集合的元素，可唯一判别。,(3) 文氏图,2.表示法:,(1) 分为 有限集和无限集,3.几种集合:,(2) 常用数集,N-自然数集,Z-整数集,Q-有理数

6、集,R-实数集,(3) 不含任何元素的集合称为空集.,例如,(4) 由所研究的所有事物构成的集合称为全集,注意:,空集为任何集合的子集.,集合A为自己的子集.,例如,记为 A=B,(2) 集合的并,(3) 集合的交运算,(4) 集合的差运算,(5) 集合的补运算,性质：,1、 交换律,2、结合律,3、分配律,D,4、摩根定律,设A和B是两个集合,称,为集合A 与B的 Descartes 乘积集合，,例1.1.4有一家生产窗帘的厂，所用的面料颜色有红、绿、蓝三种，所用的工艺有抽纱、提花、印染、刺绣等四种，若用,三、集合的笛卡尔（Descartes ）乘积,B抽纱，提花，印染，刺绣,并且,表示的是

7、该厂生产的所有的窗帘品种,如（红，提花）、（蓝，印染）、（绿，抽纱）等,表示加工工艺的集合，那么它们的Descartes乘积集合,A红，绿，蓝表示面料颜色的集合，,特别,:绝对值(absolute):,运算性质:,绝对值不等式:,1.实数集,.区间:,是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,两端点间的距离为区间长度 I,(1)有限区间,称为半开区间,称为半开区间,(2) 无限区间,Def,Def,Def,.邻域(neighborhood):,=(x0 -,x0+),1.3: 函数概念,例如 圆内接正多边形的周长,邮件的费用依赖与邮件的重量，邮局公布

8、的费用表可根据邮件的重量W确定邮件的费用C。,自动纪录仪画出了一天中气温随时间变化的曲线图，由图形可以找出在一天中的某个时刻t的温度值T。,真空中初速为零的自由落体，下落路程S与时间t的关系为： ，设这一运动花费T秒钟，则t0,T。,因变量,自变量,数集D叫做这个函数的定义域(Domain of definition), 定义,函数的两要素:,定义域与对应法则.,、 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,、函数的表示,函数两要素：定义域与对应法则,(1)分段表示,设 A, B 是两个互不相交的实数集合，,是分别定义在集合A和集合B上的函数，则,是定义在集合,这样的表示方法,

9、称为函数的分段表示.,(2)隐式表示,通过方程 F(x , y) =0 来确定的变量x与y之间函数,关系的方式称为函数的隐式表示.,(3)参数表示,通过建立变量 t 与 x，t 与 y之间的函数关系，间接,的确定 x 与 y 之间的函数关系.,即,这种表示法称为函数的参数表示.,、函数相等,定义：如果两个函数的定义域和对应法则相同，我们称这两个函数是相同的函数。,例 判断下列几对函数是否相等.,(1)f(x)=2lnx, (x)=lnx2 ;,(2)f(x)=x, (x)=|x|;,(3)f(x)=sin2x+cos2x, (x)=1.,解： f(x)与(x)的对应规律不同 ，所以是不同的函数

10、。,解：f(x)与(x)的对应规律相同 ，定义域也相同，所以 f(x)=(x)。,如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数,多值函数、 单值分支,一般只讨论单值函数,、 几个特殊的函数举例,思考题1,思考题1解答,设,则,故,练 习 题1,1.4分段函数,在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的,式子来表示的函数,称为分段函数.,注： 分段函数是一个函数，而不是多个函数。 分段函数的定义域是各段自变量取值集合的并集. 对分段函数求函数值时，不同点的函数值应代入相应范围的表达式中去计算.,例1 重量为G的物体放在地平面上，有一大小为F

11、的力作用于该物体上，此作用力与地平面的交角为,欲使此力沿地面的分力与物体对于地面的摩擦力平衡，F与应有什么关系？,解 作用力沿地平面的分力是Fcos ，垂直地面的分力是Fsin，,1.5 建立函数关系例题,物体对于地平面的摩擦力R是： R=(G-Fsin) （为摩擦系数）,例2 已知铁路线上AB段的距离为100千米。工厂C离A处为20千米， AC垂直于AB（如图）.为了运输需要，要在AB线上选定一点 D向工厂C建筑一条公路。已知铁路上每千米货运的运费为3k 元，公路上每千米货运的运费为5k元（k为某个正数）。 设AD= x (km)，建立使货物从供应站B运到工厂C的总运费与x 之间的函数关系式

12、。,有界,无界,1、函数的有界性(Bound):,1.6 函数的几种简单性质,2、函数的单调性(Monotonic Function):,单调增与单调减的函数统称为单调函数。,3函数的奇偶性(Even and Odd):,Even Function,Odd Function,4函数的周期性(Periodic Function):,（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.,周期函数意味着性:函数图形可由其一 个周期内的图形拷贝生成。,狄利克雷函数,是周期函数，且任意有理数均是它的的周期，故它没有最小正周期。,1.反 函数与复合函数,1、反函数,直接函数与反函数的图形关于直线 对称.,Propo

13、sition:单值严格单调函数的反函数仍是单值严格单调，且保持直接函数的增(减)性。,、复合函数(Composite Function),定义:,说明： 并不是任何两个函数都可以构成一个复合函数；,因为u=2+x2的值域u2，全部落在y=arcsinu的定义域之外., 复合函数的中间变量可以不只一个； 分解复合函数时，每一步必须都是基本初等函数或基本初等函数的四则运算.,例4,解,单值函数,有界函数,偶函数,周期函数(无最小正周期),不是单调函数,例5,解,综上所述,1、幂函数(Power Function),（一）、基本初等函数,1.初等函数(elementary functions),2、

14、指数函数(Exponential Function),3、对数函数(Logarithmic Function),4、三角函数(Trigonometric Function),正弦函数(sine),余弦函数(cosine),正切函数(tangent function),余切函数(cotangent function),正割函数(secant ),余割函数cosecant,5、反三角函数(inverse trigonometric function),幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.,（二）、初等函数(Elementary Function),1. 定义由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.,2. 复合结构,基本概念 集合、 区间、 邻域、 常量与变量、绝对值.,函数的概念,函数的特性 有界性、单调性、奇偶性、周期性.,函数的运算 四则运算、反函数、复合函数。,Conclusions,函数的分类(Classification):,函数,初等函数,非初等函数(分段函数,有无穷多项等函数),代数函数,超越函数(指数、对数、三角、反三角),有理函数,无理函数,有理整函数(多项式函数),有理分函数(分式函数),