产生的磁通密度为与电流I课件.ppt

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1、2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,第六章 电磁感应,作业：,6-1, 6-26-4，6-76-11,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,第六章 电磁感应,主 要 内 容电磁感应定律、自感与互感、磁场能量与力,1. 电磁感应定律2. 电感3. 磁场能量4. 磁场力,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,1. 电磁感应定律,当闭合线圈中的磁通随时间变化时，线圈中产生的感应电动势 e 为,式中电动势 e 的正方向与磁通方向构成右旋关系。,当磁通增加时，感应电动势的实际方向与磁通方向构成左旋关系；反之，当磁通减少时，电动势的实际方向与磁通方向

2、构成右旋关系。,穿过曲面S的磁通量定义为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,感应电流产生的感应磁通方向总是阻碍原有磁通的变化，所以感应磁通又称为反磁通。,感应电场强度 E 沿线圈回路的闭合线积分等于线圈中的感应电动势，即,又知 ，得,上式称为电磁感应定律，它表明时变磁场可以产生时变电场。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,根据旋度定理，由上式得,该式对于任一回路面积 S 均成立，因此，其被积函数一定为零，即,此为电磁感应定律的微分形式。它表明某点磁通密度的时间变化率负值等于该点时变电场强度的旋度。,电磁感应定律是描述时变电磁场著名的麦克

3、斯韦方程组中的方程之一。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,2. 电感,在线性介质中， 单个闭合回路电流产生的磁通密度与回路电流 I 成正比，因此穿过回路的磁通也与回路电流 I 成正比。,式中L 称为回路的电感，单位为H(亨)。,与回路电流 I 交链的磁通称为回路电流 I 的磁通链，以 表示。,令 与 I 的比值为L，即,电感又可理解为与单位电流交链的磁通链。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,单个回路的电感仅与回路的形状及尺寸有关，与回路中电流无关。,磁通链与磁通不同，磁通链是指与某电流交链的磁通。,若交链 N 次，则磁通链增加 N 倍； 若部分交链，则必须给予适当的折扣。因

4、此，与N 匝回路电流 I 交链的磁通链为 = N 。,由 N 匝回路组成的线圈的电感为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,1. 磁通与磁通链,3.3.3 电感,C,回路,磁通,磁通链,C,I,电流回路,特征：回路可以是任意几何回路,与所有电流回路铰链的总磁通,特征：回路是电流回路计入电流存在的所有回路每个回路是计入与之铰链的全部磁通,I,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,n: 为磁场铰链的电流与回路电流I 之比（不一定为整数）,单匝线圈,多匝线圈,粗导线回路,磁链计算,o :外磁链； i :内磁链,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,称为导体回路 C 的自感系数，简称自感

5、。, 外自感,2. 自感, 内自感；,粗导体回路的自感：L = Li + Lo,自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围的磁介质有关，与电流和磁链的大小无关。,自感的特点：,特征：磁通链是I自已产生的,约瑟亨利于 1830年 在实验中发现，一个线圈中的电流不但能够在另一个线圈中感应出另一个电流，而且也能够在自身线圈中感应出电流，线圈中的实际电流是原来的电流与感应电流之和。前者表示互感，后者表示自感。迈克尔法拉第于 1834 年独立发现了自感现象，这次，亨利比法拉第在时间上抢先了一步。,射频集成电路（RFIC ）中的电感,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,例1 计算载有直流电流的同轴线单位长

6、度内的电感。,解 设同轴线内导体的半径为a，外导体的内半径为b，外半径为c，如图示。,在同轴线中取出单位长度，沿长度方向形成一个矩形回路。,内导体中的电流归并为矩形回路的内边电流，外导体中的电流归并为外边电流。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,同轴线单位长度的电感定义为,式中，I 为同轴线中的电流； 是单位长度内与电流 I 交链的磁通链。,该磁通链由三部分磁通形成：外导体中的磁通，内、外导体之间的磁通以及内导体中的磁通。,由于外导体通常很簿，穿过其内的磁通可以忽略。,内外导体之间的磁通密度 Bo 为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,该外磁通与电流 I 完全交链，故外磁通与磁

7、通链相等。,内导体中的磁通密度 Bi 为,该磁场形成的磁通称为内磁通，以 表示。那么穿过宽度为dr的单位长度截面的内磁通 为,该磁场形成的磁通称为外磁通，以 表示，则单位长度内的外磁通为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,该部分磁通仅与内导体中部分电流 I 交链。因此，对于总电流 I 来说，这部分磁通折合成与总电流 I 形成的磁通链应为,求得内导体中的磁场对总电流 I 提供的磁通链 i 为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,那么，与总电流 I 交链的总磁通链为(o + i ) 。因此，同轴线的单位长度内电感为,式中第一项称为外电感；第二项称为内电感。,当同轴线传输电磁波时，内外

8、导体中的磁通均可忽略，同轴线单位长度内的电感等于外电感，即,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,解：由安培环路定理，得,单位长度的总自感,内导体的内自感,内外导体间的外自感,例题1 设螺线管足够长，可忽略两端的边缘磁场效应，求长度为 l 的螺线管线圈的电感。,设螺线管由 N 匝线圈构成，单位长度的线圈匝数为,无限长螺线管产生的磁场为,磁通链为,由此可得,考虑到,结果可得,例题2 设圆环线圈的横截面为矩形，内半径为 a ，外半径为 b ，高度为 d ，求该环形线圈的电感。,N匝线圈,匝数为 N 的环形线圈所产生的磁场为,如果圆环的半径很大，可得如下近似结果,圆环平均半径,圆环横截面的面积,

9、电磁场与电磁波,求双线传输线长度为l的自感。导线半径为a，导线间距离Da,如图所示,解：由,得二导线在x处产生的磁场分别为,总的磁感应强度,外自感为,内自感为,总自感为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,与I1交链的磁通链由两部分磁通形成，其一是 I1本身的磁通形成的磁通链 11 ，另一是 I2 在回路 l1 中的磁通形成的磁通链 12 。,那么，与电流 l1 交链的磁通链1为,同理，与电流 I2 交链的磁通链2为,互感,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,在线性介质中，比值 ， ， 及 均为常数。,式中L11称为回路 l1的自感，M12称为回路 l2 对 l1 的互感。,同理定

10、义,式中L22 称为回路 l2的自感，M21称为回路 l1对 l2的互感。,令,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,将上述参数 L11，L22，M12 及 M21 代入前式，得,可以证明，任意两个回路之间的互感公式为（见后面推导）,考虑到 ，由上两式可见,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,矢量磁位：,由上两个公式可以得到（电流I1在回路l2中产生的磁通链）：,（2）,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,在电子电路中，若要增强两个线圈的耦合，应彼此平行放置；若要避免两个线圈的耦合，则应相互垂直。,互感可正可负，但电感始终为正值。,若互磁通与原磁通方向相同，则磁通链增加，互感应

11、为正值；反之，若两者方向相反，则磁通链减少，互感为负值。,若处处 ，则互感 。,若处处 ，则互感 M 最大。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,例1 计算无限长直导线与矩形线圈之间的互感。设线圈与导线平行，周围介质为真空，如图所示。,解 建立圆柱坐标系，令 z 轴方向与电流 I1一致，则 I1 产生的磁通密度为,与电流I2交链的磁通链21 为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,求得,若电流I2为逆时针方向时，则B1与dS 反向， M21 为负。,若电流I2为如图所示的顺时针方向，则dS 与B1方向相同。那么,但在任何线性介质中,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,3. 磁

12、场能量,若加入外源，回路中产生电流。在电流建立过程中，回路中产生的反磁通企图阻碍电流增长，为了克服反磁通产生反电动势，外源必须作功。,若电流变化非常缓慢，可以不计辐射损失，则外源输出的能量全部储藏在磁场中。,根据在建立磁场过程中外源作的功即可计算磁场能量。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,设单个回路的电流从零开始逐渐缓慢地增加到最终值 I，因而回路磁通也由零值逐渐缓慢地增加到最终值 。,反电动势为,为了克服这个反电动势，外源必须在回路中产生的电压 。,即,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,若时刻 t 回路中的电流为 i(t) ，则此时刻回路中的瞬时功率为,在d t 时间内外源

13、作的功为,单个回路的磁通链与电流的关系为 。,那么，在线性介质中，求得 d t 时间内外源作的功为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,当回路电流增至最终值 I 时，外源作的总功 W 为,因电流增长很慢，辐射损失可以忽略，外源作的功完全转变为周围磁场的能量。,若以 Wm 表示磁场能量，那么,上式又可改写为,利用此式计算电感十分方便。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,考虑到 ，则单个回路电流的磁场能量又可表示为,式中， 为与电流 I 交链的磁通链。,对于 N 个回路，可令各个回路电流均以同一比例同时由零值缓慢地增加到最终值。,已知各回路磁通链与其电流之间的关系是线性的，第j 个回

14、路的磁通链 j 为,式中Ij 为电流最终值。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,第 j 个回路在时刻 t 的电流为,在 dt 时间内，外源在 N 个回路中作的功为,那么，在同一时刻该回路的磁通链为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,那么，具有最终值电流的 N 个回路产生的磁场能量为,当各个回路电流均达到最终值时，外源作的总功 W 为,若已知各个回路的电流及磁通链，由上式即可计算N 个回路共同产生的磁场能量。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,已知回路磁通可用矢量磁位 A 表示为 ，因此第 j 个回路的磁通链可用矢量磁位 A 表示为,那么，N 个回路的磁场能量又可用矢量磁

15、位表示为,式中 A 为周围回路电流在第 j 个回路所在处产生的合成矢量磁位。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,若电流分布在体积V中，电流密度为J，已知 ，则上式变为体积分，此时磁场能量可以表示为,式中V 为体电流所占据的体积。,对于面电流，则产生的磁场能量为,式中S 为面电流所在的面积。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,磁能密度,利用矢量恒等式 ，上式又可写为,若将积分区域扩大到无限远处，上式仍然成立。,已知 ，代入 ，得,式中， V 为电流所在的区域。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,令 S 为半径无限大的球面，则由散度定理知，上式第一项的,当电流分布在有限区域

16、时， ， ，因此,考虑到 ，求得,上式中的被积函数即是磁场密度。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,若以小写字母 wm 表示磁能密度，则,已知各向同性的线性介质， ，因此磁场能量密度又可表示为,可见，磁场能量与磁场强度平方成正比，磁场能量不符合叠加原理。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,磁场和电场的能量计算方法,单个回路：,N 个回路：,分布电流：,磁能密度：,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,例 设同轴线中通过的恒定电流为I，内导体的半径为a，外导体的厚度可以忽略，其半径为b，内外导体之间为真空。计算该同轴线中单位长度内的磁场能量。,解 已知同轴线单位长度内的电感为

17、,因此，单位长度内同轴线中磁场能量为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,已知内导体中的磁场强度为,也可通过磁场密度计算同轴线的磁场能量。,因此内导体中单位长度内的磁场能量为,又知内、外导体之间的磁场强度 Ho 为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,所以内外导体之间单位长度内的磁场能量为,此结果与前式完全相同。,单位长度内同轴线的磁场能量应为 ，即,例2 设螺线管足够长，可忽略两端的边缘磁场效应，导线匝数为 N ， 请利用磁场能量公式计算长度为 l 的螺线管线圈的电感。,N匝线圈,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,4. 磁场力,已知,式中的磁通密度B1为,因此， B1 对

18、于整个回路 l2 的作用力F21 为,那么，由回路电流 I1 产生的磁场 B1对于电流元 I2dl 的作用力 dF21为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,同理，回路电流 I2 产生的磁场 B2 对于整个回路 l1 的作用力F12 为,上述两式称为安培定律。,根据牛顿定律得知，应该 。,如果回路形状复杂，上述积分计算非常困难。,磁场力的计算也可采用虚位移方法，通过能量关系可以导出计算磁场力的公式。,直接利用前述广义力和广义坐标的概念，导出计算磁场力的一般公式。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,设在电流 I1 产生的磁场广义力 F 的作用下，使得回路 l2 的某一广义坐标变化的

19、增量为dl，同时磁场能量的增量为 dWm 。,下面分为两种情况分别导出磁场力的计算公式。,两个回路中的外源作的总功dW应该等于磁场广义力作的功与磁场能量的增量之和，即,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,第一，若电流 I1 和 I2 不变，这种情况称为常电流系统，则磁场能量的增量为,两个回路中外源作的功分别为,两个回路中的外源作的总功 dW 为,即,求得常电流系统中的广义力F 为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,第二，若各回路中的磁通链不变，即磁通未变，这种情况称为常磁通系统。,求得常磁通系统中广义力为,由于各个回路的磁通未变，因此，各个回路位移过程中不会产生新的电动势，因而外

20、源作的功为零，,即,磁场力的应用比电场力更为广泛，而且力量更强。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,无旋,无散,有散,有旋,电场强度 E,磁通密度 B,电通密度 D,磁场强度 H,介电常数 ,磁导率 ,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,例1 计算无限长的载流导线与矩形电流环之间的作用力。电流环的尺寸及位置如图所示。,解 设位移过程中电流不变，则导线与电流环之间的相互作用力为,式中,又知,得,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,取广义坐标 l 为间距 D ，因 L11 及 L22 与D 无关，得,又知互感 M 为,求得,式中的负号表明作用力的实际方向为间距D 减小方向，即F 为吸引力。,若两个电流之一的方向与图示方向相反，则M 为负，F 0，表明 F 为排斥力。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,例2 计算电磁铁的吸引力。,解 铁心可以当作理想导磁体，铁心中的磁场强度为零。,气隙中的磁通 ，得,可见，为了计算电磁铁的吸引力，将系统当作常磁通系统较为简便。,磁场能量仅分布在两个气隙中，因此总磁能 Wm 为,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,最后求得,式中的负号表明F 为吸引力。,可见，电磁铁的吸力与磁铁的横截面面积及气隙中磁通密度的平方成正比。,2013年4月9日星期二,电磁场与电磁波,磁场计算：假设非理想导磁体,边界条件：B=Bg,