结构的超静定次数课件.ppt

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1、第七章 :力 法,7-1结构的超静定次数7-2力法基本概念7-3 力法典型方程7-4 力法计算示例7-5 超静定结构的位移和力法结果校核7-6力法的对称性利用,结构的超静定次数结构的多余约束数结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除个约束；）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除个约束；）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除个约束；）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除个约束。,7-1结构的超静定次数,x1,x1,x2,x2,x3,例7-1-1判断图

2、示结构的超静定次数。,x1,x2,x3,x5,x7,x4,x4,x6,x7,x7,x1,x2,x3,x5,x6,一、力法基本思路有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。,D1=0 D11 + D1P =0 D11=d11x1 d11x1+ D1P =0,7-2力法基本概念,1、力法基本未知量 结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多余力）。2、力法基本体系力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余力共同作用的体系。3、力法基本方程力法基本体系在多余力位置及方向与

3、原结构位移一致的条件。方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算问题，显然，超静定转化为静定问题。,例7-1-1 用力法计算图示梁，并作M图。解：）确定力法基本未知量、基本体系）力法方程 d11x1+ D1P =0,）作M1、MP图，计算d11、 D1P d11= l/3EI D1P =ql3/24EI）代入力法方程，求x1 x1 = - D1P /d11 = -ql2/8 ）作M图,M1图,MP图,x1,力法典型方程，指可用于多次（有限次）超静定结构的力法一般方程。一、两次超静定结构的力法方程两次超静定刚架在荷载及支座移动作用下原结构和力法基本体系。,基本体系与原结构位移一致条件：D1= 0

4、 D2= -DB,7- 3 力法典型方程,D1= 0 D11+D12+D1P+D1D=0D2= -DB D21+D22+D2P+D2D= - DB 因为： Dij=dij xj 所以：d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0 d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB (a),d11x1+ d12x2+ D1P + D1D =0 d21x1+ d22x2+ D2P + D2D = - DB (a)该式为两次超静定结构在荷载和支座位移共同作用下的力法方程。有支座移动因素时，力法方程的右边项可能不为零。 根据位移互等定理，有：d12=d21,二、力法典型方程 n次超静

5、定结构的力法方程：d11x1+ d12x2+d1ixi+ d1jxj+ d1nxn+ D1P + D1D= D1d21x1+ d22x2+d2ixi+ d2jxj+ d2nxn+ D2P + D2D= D2di1x1+ di2x2 +diixi + dijxj+ dinxn + DiP + DiD = Didj1x1+ dj2x2 +djixi + djjxj+ djnxn + DjP + DjD = Djdn1x1+dn2x2+dnixi+ dnjxj+ dnnxn+ DnP + DnD= Dn 系数、自由项的物理意义：dii 基本结构在xi= 1作用下，沿xi 方向的位移； dij 基本结

6、构在xj= 1作用下，沿xi 方向的位移； DiP 基本结构在荷载作用下，沿xi 方向的位移； DiD 基本结构在支座移动下，沿xi 方向的位移； Di 基本结构沿xi 方向的总位移原结构在xi 方向上的实际位移。,d11 d12 d1i d1j d1n d21 d22d2i d2j d2n F = di1 di2 dii dij din dj1 dj2 dji djj djn dn1 dn2 dni dnj dnn 力法方程的系数矩阵是一个对称方阵。由其物理意义可知：主系数 dii恒大于零，位于方阵左上角到右下角的主对角线上；副系数 dij 可大于、等于、小于零，位于主对角线两侧对称位置上；

7、由于dii = dij ，独立的系数为 n+(n2-n)/2 个。,例7-4-1用力法计算图示刚架，并作M图。,解：）确定力法基本未知量和基本体系力法方程： d11x1+ d12x2+ D1P=0 d21x1+ d22x2+ D2P=0 ）作M1、M2、MP图,基本体系,7- 4 力法计算示例,基本体系,M1,MP,）计算系数、自由项 d11=5l/12EI d22=3l/4EI d12=d21 =0 D1P= FPl2/32EI D2P = 0）代入力法方程，求多余力x1、x2 （5l/12EI）x1 + FPl2/32EI =0 x1 = -3FPl/40 ( 3l/4EI )x2= 0

8、x2= 0）叠加作M图 MAC=x1M1+x2M2+MP= (-3FPl/40)/2= -3FPl/80(右侧受拉）,说明：力法计算刚架时，力法方程中系数和自由项只考虑弯曲变形的影响： dii = l (Mi2 /EI)ds dij = l (MiM j /EI)ds DiP= l (Mi MP /EI)ds,例7-4-2 计算图示桁架的内力，各杆E=常数。,解：）力法基本体系，基本方程：d11x1+ D1P =0 ）计算Fni、FNP及d11、D1P d11 = FN12 l/EA =4a(1+2)/EA D1P = FN1 FNPl/EA =2FPa(1+2)/EA,3)代入力法方程中，求

9、解x1 x1 = - D1P /d11 = -FP/24) 叠加计算个杆轴力 FN21=FN1x1+FNP=-2FP/2 FN02=FP/2说明：力法计算桁架时，力法方程中系数和自由项只考虑轴向变形的影响：dii = FNi2 l/EA dij = FNiFNjl/EA DiP= FNiFNPl/EA,例7-4-3计算图示排架，并作M图。,解：）力法基本体系，力法方程：d11x1+ D1P =0）作M1、MP图,计算d11、D1P d11 =144/EI D1P =3240/EI3) 代入力法方程，求x1 x1 = - D1P /d11 = -22.5kN4) 作M图,一、超静定结构的位移计算

10、、荷载作用下的位移计算超静定结构和静定结构在荷载作用下的位移计算公式是相同的。如梁和刚架的位移计算公式： D= l (MCM/EI) ds超静定结构的位移计算要点：虚单位力设在原结构的任意一个基本结构上。例7-5-1 求示梁端的转角位移B。EI=常数,杆长为l。解：）作MC、M图 ）计算B,7- 5 超静定结构的位移和力法结果校核,B = (ql2/8)l/2-(2/3) (ql2/8) /2/EI=-ql3/48EI () 或：B = (ql2/8)l/2(1/3)1-(2/3) (ql2/8) /2/EI =-ql3/48EI (),力法计算图,2、支座移动时的位移计算例7-5-2求图示梁

11、中点处的竖向位移DCV。,解：）作超静定梁M图）作MC图）该基本结构支座发生位移时有刚体位移。）计算位移DCV DCV = (MC M/EI)ds-FRc=l2/4/2(-3EIa/l2/2)(a/2)=5a/16 (),或：DCV =(l/2) 2/2(5/6) (3EIa/l2)=5a/16 (),二、力法计算结果校核例7-5-3校核图示刚架力法所求内力图。,FN,M,FQ,解： ）校核静力平衡条件,）校核截开BC杆后两截面的相对转角位移等于零位移条件： (MC M/EI)ds = 0 (-6041/2 3041/2)/2EI(-2041/24041/21541/2 3041/2)/EI=

12、40/EI可见，不满足位移条件。说明：力法计算结果的主要校核条件，是位移条件。,例7-5-4计算图示刚架，作M图并用位移条件校核；求B点的水平位移DBH 。,解：）用力法计算图示刚架，做M1图d11x1+ D1P =0d11 =5a/6EI D1P =qa3/24EIx1 = - D1P /d11 = -qa2/20MBC=- qa2/20 (上侧受拉）,M,M1,MP,）校核支座处的竖向位移条件：CV=0 (qa3/20/2)(-2a/3)+(2/3)(qa3/8)(a/2)/EIqa4/20/2EI=0 满足,M,）求点的水平位移DBH DBH =(qa2/20)a(a/2)/2EI=qa

13、4/80EI(),MC,结构具有对称性时应满足：）结构的几何形状（由杆轴围成的图形）和支座形式正对称于某一轴线；）结构的材料性质及截面形状特征（E、I、A）也对称于同一轴线。如果结构是对称的，利用对称性力法计算可获得简化。,7- 6力法的对称性利用,力法对称性利用要点：取对称的力法基本结构；并使其上的多余力具有对称性和（或）反对称性。,一、一般荷载作用下（不考虑荷载情况） 取满足上述要点的基本体系，力法方程： d11x1+ d12x2+ d13x3 + D1P=0d21x1+ d22x2+ d23x3+ D2P = 0 d31x1+ d32x2+ d33x3+ D3P = 0 (a)一般情况下

14、，该方程是联立方程。,考虑对称性后： d13= d31= d23= d32= 0代入式（a），得：d11x1+d12x2+D1P=0d21x1+d22x2+D2P=0 d33x3+D3P=0 (b) 原方程分解成两相互独立的方程。,d11x1+d12x2+D1P=0 D3P=0 x3 =0 d21x1+d22x2+D2P=0 d11x1+d12x2+D1P=0 d33x3+D3P=0 d21x1+d22x2+D2P=0,二、荷载具有正或反对称性（考虑荷载情况）正对称荷载作用下：只有正对称的多余力,反对称荷载作用下：只有反对称的多余力,d11x1+d12x2+D1P=0 D1P=D2P=0 d2

15、1x1+d22x2+D2P=0 x1 =x2 = 0 d33x3+D3P=0 d33x3+D3P=0,例7-6-1利用对称性计算图示刚架，并作M图。,解法：）取对称的力法基本体系）作Mi、MP图并计算系数和自由项 d11=144/EI d22=126/EI d12=d21 =0 D1P= 1350/EI D2P =-810/EI,）代入力法方程，并计算多余力 d11x1+ d12x2+ D1P=0 x1=-9.375 d21x1+ d22x2+ D2P=0 x2=6.429 ）叠加作弯矩图 MAB =-36.963kNm(右侧受拉) MBA = 19.287kNm(左侧受拉) MAB =104

16、.463kNm(右侧受拉) MAB中 =47.412kNm(左侧受拉) MAB中 =8.838 kNm(右侧受拉),解法：）将刚架上的荷载分组,2) 正对称荷载下的计算：d11=144/EI D1P =1350/EI x1 = - D1P /d11 = -9.935 MAB =33.75kNm(左侧受拉) MAB中 =-28.125kNm(右侧受拉),3) 反对称荷载下的计算： d22=126/EI D2P =-810/EI x2 = - D2P /d22 = 6.429 MAB =-70.713kNm(右侧受拉) MBA = 19.287kNm(左侧受拉) MAB中 = 19.287 kNm

17、(左侧受拉),）将正、反对称荷载作用下的弯矩图叠加，作刚架的最后图,例7-6-3利用对称性计算图示刚架，并作M图。,解法：）将荷载分组,）正对称荷载作用下d11=128/3EI D1P =-80/EI x1 = - D1P /d11 = 1.875 MBC = MBC = 47.5kNm(上侧受拉),） 反对称荷载下的计算： d22=704/3EI D2P =-2240/EI x2 = - D2P /d22 = 9.545 MBC =-1.82kNm(上侧受拉) MBC = 1.82kNm(下侧受拉) MBA =-3.64 kNm(右侧受拉),）叠加作刚架最后M图 MBC =47.5+1.82

18、=49.32 kNm(上侧受拉) MBC = 47.5-1.82 =45.68kNm(上侧受拉) MBA = 3.64 kNm(右侧受拉),解法：不进行荷载分组，利用多余力分组简化力法计算：,x2=x1+Dx x1= x1+Dx /2 x2= Dx/2,力法小 结一、了解力法的基本思路以及力法基本未知量、基本体系（基本结构）、基本方程的概念。二、弄清力法的基本原理。深刻理解力法典型方程的物理意义。三、熟练掌握结构在荷载作用下的内力和位移计算；掌握结构在支座移动时的内力和位移计算以及力法对称性的利用。四、力法计算步骤：）确定结构的力法基本未知量及基本体系，建立力法方程；）作基本结构分别在各因素下

19、的内力（图）；）计算力法方程中的系数和自由项；）解力法方程，求出多余未知力；）叠加做结构内力图；）校核。,第七章 超静定结构（力法）复习一、力法计算步骤：）确定结构的力法基本未知量及基本体系，建立力法方程；）作基本结构分别在各因素下的内力（图）；）计算力法方程中的系数和自由项；）解力法方程，求出多余未知力；）叠加做结构内力图；）校核。二、力法基本概念、力法的基本未知量、力法的基本体系和基本结构、力法的基本方程,三、力法典型方程的物理意义di1x1+ di2x2 +diixi + dijxj+ dinxn + DiP + DiD = Didj1x1+ dj2x2 +djixi + djjxj+

20、djnxn + DjP + DjD = Djdii 基本结构在xi= 1单独作用下，沿xi 方向的位移；dij 基本结构在xj= 1单独作用下，沿xi 方向的位移； DiP 基本结构在荷载单独作用下，沿xi 方向的位移； DiD 基本结构仅在支座移动下，沿xi 方向的位移； Di 基本结构在各因素共同作用下，沿xi 方向的总位移。第i个方程，为基本结构在多余力xi方向的总位移和原结一致的位移条件，即： Di 原结构在xi 方向上的实际位移。,四、力法计算超静定结构特点超静定结构在荷载、支座移动、温度变化等因素作用下均产生内力和变形（即有位移）。当有支座移动作用时，计算超静定结构位移的过程中，要

21、考虑多余力（即内力）对位移的影响，还须考虑虚力系相应的基本结构有支座位移的影响。切记虚单位力是加在原结构的任一基本结构上的。五、力法对称性的利用当结构具有对称性，并且是两次以上超静定次数时，就应考虑对称性的利用。力法对称性的利用的关键，是取对称性的基本结构，同时必须取对称或（和）反对称的多余未知力。,q,例试作图示梁的M图，并计算端的转角位移。设 a= ql4/16EI .,B,A,q,x1,基本体系,解：、确定力法基本体系力法方程：d11x1+ D1P + D1D = -a,X1,l,M图,B,A,q,ql2/2,MP图,A,B,2、作M 、 M图、计算系数、自由项d11 = (1/EI)(

22、l2/2)(2l/3) = l3 /3EI D1P = -(1/EI) (1/3)(ql2/2)l(3/4)l= - ql4/8EI D1D = 0 x1= -a-( D1P + D1D )/ d11 = - ql4/16EI -(- ql4/8EI )/ (l3 /3EI ) = ql/484、 MAB = 1(ql/48) (ql2/2 )= -23 ql2/48,q,A,B,1,1,MC图,M图,=(1/EI)(1/2)(23 ql2/48) l-(2/3)(ql2/8)l = 11 ql2/96EI (),23 ql2/48,MAB = -23 ql2/48,例2用力法计算图(a)示刚

23、架，作M图。EI=常数。,FP,FP,2a,2a,a,a,A,A,B,B,C,D,E,FP,FP,2a,a,a,A,A,B,B,C,D,E,x1,x1,a,(b),(a),分析：原结构为三次超静定，但结构具有对称性，且荷载具有反对称性。所以，应利用其对称性进行力法计算。解：、取对此的基本结构，在反对称荷载作用下，基本结构处只有反对称多余未知力。力法方程：,FP,FP,2a,a,a,A,A,B,B,C,D,E,2a,2a,a,a,A,A,B,B,C,D,E,x1,X1=1,a,a,FP a/2,FP a/2,d11x1+ D1P = 、作M1、MP图，计算系数和自由项。,d11 = (2/EI)

24、(2a3) (1/2)(a2/2)(2a/3)=13a3/3EID1P = (2/EI)(Fpa3)= - 2Fpa3/EI3、将系数和自由项代入力法方程，求解多余力X1 x1= - D1P / d11 = 6Fp/134、叠加作M图MAB=(6Fp/13)a (Fp a /2)= - Fpa/26 (右侧受拉)MBC= (6Fp/13)a= 6Fp a /13 (上侧受拉),(d),(c),、绘制M图,FP,FP,A,A,B,B,C,D,E,MAB= - Fp a /26 (右侧受拉)MBC= 6Fp a /13 (上侧受拉),Fpa/26,Fpa/2,6Fpa/13,6FPa/13,例3用

25、力法计算图（a）所示超静定梁，作图。,a,a,a,a,FP,FP,C,A,A,a,a,a,a,FP,FP,EI,C,A,A,a,a,a,a,C,A,A,a,a,（c）,a,C,A,A,x1,x2,X1=1,x1,x1,x2,x2=1,x2,1,（a）,（d）,（b）,a,分析：两端固定梁在正对称荷载的作用下，取图（b）所示对称基本体系，截面处只有正对称的多余未知力x1、x2。由图（c）可知，在沿梁轴向多余力x1=1作用下，基本结构的弯矩图为零。,a,a,a,a,FP,FP,C,A,A,a,a,a,a,C,A,A,x2=1,x2,1,FP a,FP a,所以，该梁在正对称荷载作用下只有一个力法基

26、本未知量x2.,MP,M2,解：、力法方程d22x2+ D2P = 、计算系数和自由项 d22 = (1/EI)4a=4a/EI D2P = - (2/EI)(1/2)FPa2= - FPa2/EI3、计算多余力x d22 = - D2P/ d22 = FPa/4 4、作内力图 MC=FPa/4 (下侧受拉) MA=FPa/4 Fpa= - 3FPa/4 (上侧受拉),FP,FP,C,A,A,3FPa/4,FPa/4,FP,FP,C,A,A,3FPa/4,FPa/4,A,A,FP,FP,A,A,FP,FP,A,A,3FPa/4,3FPa/4,FQA,FQA,(a) M,(a),(d),(c),(b),FP,0,0,A,A,(a) FQ,FP,FP,FP,