结构力学题库课件.ppt

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1、第八章 位移法教学内容：等截面直杆的转角位移方程，位移法的基本概念、典型方程及应用，转角位移法。教学要求：1、理解位移法的基本思路，位移法计算支座位移和温度变化时的超静定结构的方法步骤；2、掌握加入附加刚臂和附加链杆形成基本结构的方法，荷载作用超静定结构位移法典型方程建立、系数和自由项计算、内力图的绘制，利用对称性简化计算，利用平衡条件建立位移法方程的原理和方法。重点：位移法的基本原理，利用位移法的典型方程计算超静定结构。难点：转角位移法。,8-1 概述,8-2 等截面直杆的转角位移方程,8-3 位移法的基本概念,8-4 位移法的典型方程,8-5 位移法计算步骤及举例,8-7 直接利用平衡条件

2、建立位移法方程,第八章 位移法,力法：以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。,位移法：以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算内力。,力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于二十世纪初。,力法计算,4个基本未知量,位移法计算, 1个基本未知量,8-1 概述,位移法要点：1.位移法的基本未知量是结点位移；2.位移法以单根杆件为计算单元；3.由平衡条件建立以结点位移为基本未知量的基本方程。4.先将结构拆成杆件，再将杆件搭成结构。这就将复杂结构的计算问题转换为简单的杆件分析与综合问题。,力法计算

3、,4个基本未知量,位移法计算, 1个基本未知量,关于刚架的结点未知量,1,2,3,EI=常数,q,Z1,Z1,1,Z1,2,1,3,Z1,q,刚架在荷载q作用下将发生如虚线所示的变形。,在刚结点1处发生转角Z1，结点没有线位移。则12杆可以视为一根两端固定的梁（见右图）。其受荷载q作用和支座1发生转角Z1这两种情况下的内力均可以由力法求。,同理，13杆可以视为一根一端固定另一端铰支的梁（见右图）。,而在固定端1处发生了转角Z1，其内力同样由力法求出。,可见，在计算刚架时，如果以Z1为基本未知量，设法首先求出Z1，则各杆的内力即可求出。这就是位移法的基本思路。,实现位移状态可分两步完成：,分析：

4、1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。,1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）使结构发生与原结构一致的结点位移,附加约束上产生附加约束力。,位移法分析中应解决的问题：,1）确定杆件杆端内力与杆端位移及荷载之间的函数关系；2）确定以结构的哪些结点作为基本未知量，选取位移法的基本体系；3）如何建立求解基本未知量的位移法方程。,用位移法计算超静定刚架时，每根杆件均视为单跨超静定梁。计算时，要用到各种单跨超静定梁在杆

5、端产生位移(线位移、角位移)时的杆端内力(弯矩、剪力),以及在荷载等因素作用下的杆端内力(弯矩、剪力)。,一、单跨超静定梁的三种类型（近端固定）,远端固定 远端铰支 远端滑动支座 （定向支座)。,8-2 等截面直杆的转角位移方程,二、杆端力和杆端位移的正负规定:1、杆端弯矩对杆端以顺时针为正；对结点或支座以逆时针为正。2、杆端转角fA、fB 以顺时针方向转动为正。3、杆件两端在垂直于杆轴方向上的相对线位移以使杆件顺时针转动为正；杆端剪力以使杆件绕另一端顺时针旋转为正,1、两端固定:,三、转角位移方程-形常数,令,线刚度,可以将上式写成矩阵形式,2、几种不同远端支座的刚度方程,（1）远端为固定支

6、座,因fB = 0，代入(1)式可得：,（2）远端为固定铰支座,因MBA = 0，代入(1)式可得,（3）远端为定向支座,因,由（2）式可得：,则有：,由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。（P186表8-1）,4i,2i,0,3i,0,i,-i,0,两端固定受均布荷载：,四、转角位移方程-载常数,由荷载或温度变化引起的杆端内力称为载常数（P187表8-2）,0,0,0,其他荷载情况下的载常数可参见表82（P187188）。,表中单位角位移是顺时针，相对线位移绕另一端也是顺时针，荷载绕（左）固定端同样是顺时针的。,如果单位角位移、线位移是逆时针的，则表中所列形常数的正负号要反号。如果荷载绕固定

7、端（左）是逆时针的；则表中所列载常数的正负号也要反号。,注意： 表8-1、8-2列出了常见的形常数和载常数。形常数要求牢记（表8-1） ，载常数要会查表。表中单位角位移、线位移、荷载、弯矩、剪力均设为正值。,当计算某一结构时，应根据杆件两端实际的位移方向和荷载方向，判断形常数和载常数的正负。,练习：根据表8-1、2，作出各单跨梁的弯矩图。,1,2,3,4,5,6,1、结点角位移,一、位移法的基本未知量 独立的结点位移，包括角位移和线位移,由于在同一刚结点处，各杆端的转角都是相等的，因此每一个刚结点只有一个独立的角位移未知量。在固定支座处，其转角等于零为已知量。至于铰结点或铰支座处各杆端的转角，

8、它们不是独立的，可不作为基本未知量。,因此，结构独立角位移数目就等于结构刚结点的数目。,例如图示刚架,独立的结点角位移数目为2。,8-3 位移法的基本概念,上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。,2、结构线位移：,每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设(轴向刚度条件）：,1）忽略轴向力产生的轴向变形；,2）弯曲变形是微小的，受弯直杆变形后其两端距离保持不变。,线位移数的确定几何方法,1）将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，2）分析新体系的几何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的几何不变体系，3）所需增加的链杆数，即

9、为原结构位移法计算时的线位移数。4)若新（铰接）体系是几何不变的，则原结构的各点均无线位移。,1,1,4,0,试确定图示结构的独立线位移数,例：确定结构按位移法求解的基本未知数,3、位移法的基本未知数,思考：确定结构按位移法求解的基本未知数,增加附加约束后,使得原结构的结点不能发生位移的结构。,二、位移法的基本结构,用位移法计算超静定结构时，每一根杆件都视为一根单跨超静定梁。因此，位移法的基本结构就是：把每一根杆件都暂时变为一根单跨超静定梁(或可定杆件)。通常的做法是：在每个刚结点上假想地加上一个附加刚臂(仅阻止刚结点转动),同时在有线位移的结点上沿线位移的方向加上附加支座链杆(阻止结点移动)

10、。,1,2,3,4,5,6,(a),例如：(见图a),基本未知量三个。,又例如：,共有五个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为七个。基本结构如图所示。,共有四个刚结点，结点线位移数目为二，基本未知量为六个。基本结构如图所示。,2,3,4,5,6,7,1,练习：确定基本结构,练习：确定基本结构,三、位移法方程,1、选择基本体系,2、建立基本方程：连接各单杆部分（使各杆协调变形）的静力平衡方程：,令Z1=1，则有：,=1,1=,在MP图取结点1为脱离体，有：,同理，在M1图取结点1为脱离体，有：,将以上两式代入基本方程，得：,3、计算结点位移,=1,1=,4、根据叠加原理作最后弯矩图,=1,1

11、=,练习：用位移法计算连续梁的内力，EI=常数。,解:1）基本未知量和基本体系,结点B的角位移,结点B加上附加约束得到基本体系,2）位移法方程,3）计算,令,，计算各杆端弯矩,由结点B的力矩平衡，可得,4）计算,基本结构在荷载作用下,计算各杆固端弯矩，作 图,由结点B的力矩平衡，可得,5）求解,练习：用位移法计算连续梁的内力，EI=常数。,（6）作 图,利用叠加公式： ，计算杆端弯矩。,练习：用位移法计算连续梁的内力，EI=常数。,一、概念复习：,1附加刚臂：控制结点转动但不能控制移动的约束，只产生反力矩，不产生反力。,2附加链杆：控制结点移动但不能控制转动的约束，只产生集中反力。,3基本结构

12、：人为地增加多余联系，使结构上的每一根杆，都变成“互不相关”的单跨超静定梁。,8-4 位移法的典型方程,实现位移状态可分两步完成：,分析：1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。,1）在可动结点上附加约束，限制其位移，在荷载作用下，附加约束上产生附加约束力；2）使结构发生与原结构一致的结点位移,附加约束上产生附加约束力 。,二、位移法的典型方程,1、选择基本体系,2、建立基本方程,k11Z1+ k12Z2+ + k1nZn+R1P=0,K21Z1+ K2

13、2Z2 + + K2nZn+R2P=0, ,kn1Z1+ kn2Z2+ + knnZn+RnP=0,具有n个独立结点位移的超静定结构：,kii主系数；kij= kji副系数； RiP自由项。,系数kij表示附加约束j单独发生单位位移时，在附加约束i处产生的约束反力； RiP表示荷载单独作用于基本结构时在附加约束i处产生的约束反力。,系数和自由项的求解：,1）根据形常数（表8-1）分别绘出基本结构在Z1=1、Z2=1 时的弯矩图 图，根据载常数（表8-2）绘出在荷载单独作用时的弯矩图 图；,2）根据 及 图，利用平衡条件求各系数和自由项。,三、计算示例：用位移法计算图示刚架,解：1）确定基本结构

14、,2）建立位移法典型方程：,3）利用形常数、载常数绘出 图， 计算各系数和自由项。,三、计算示例：用位移法计算图示刚架,三、计算示例：用位移法计算图示刚架,4）将各系数代入典型方程：,5）按叠加公式绘制弯矩图,一、典型方程位移法的解题步骤小结,1确定基本未知量，附加刚臂或附加链杆形成基本结构；,2根据基本结构，列出位移法典型方程；,4求系数及自由项。该项可以通过结点和杆段的平衡 计算达到目的；,5解典型方程求未知量Zi ；,6利用叠加法求杆端弯矩，绘制弯矩图最后弯矩,7利用平衡条件校核内力图。,3根据形常数和载常数画 图。注意：单位 基本未知量为正（顺时针）；,8-5 位移法计算步骤及举例,例

15、8-1：用位移法计算图8-19a所示结构，并绘制内力图,解：1）AB段为悬臂端，内力可以直接求出。,2）选择基本结构，列位移法方程：,3）计算系数和自由项,令EI=6，可得各杆相对线刚度。,作 图，,例8-1：用位移法计算图8-19a所示结构，并绘制内力图,由结点平衡得：,代入方程计算得：,例8-1：用位移法计算图8-19a所示结构，并绘制内力图,4）根据叠加原理作内力图：,其中：,由弯矩图绘制剪力图，由剪力图绘制轴力图。,回顾：典型方程位移法的解题步骤,1确定基本未知量，附加刚臂或附加链杆形成基本结构；,2根据基本结构，列出位移法典型方程；,4求系数及自由项。该项可以通过结点和杆段的平衡 计

16、算达到目的；,5解典型方程求未知量Zi ；,6利用叠加法求杆端弯矩，绘制最后弯矩图;,7利用平衡条件校核内力图。,3根据形常数和载常数画 图。注意：单位 基本未知量为正（顺时针）；,例8-3：用位移法计算图8-23a所示结构，并绘弯矩图,解：1）选择基本结构,3）计算系数和自由项,令EI=4，可得各杆相对线刚度。,作 图，,2）列位移法方程：,例8-3：用位移法计算图8-23a所示结构，并绘弯矩图,由结点平衡确定各系数和自由项,例8-3：用位移法计算图8-23a所示结构，并绘弯矩图,由结点平衡确定各系数和自由项,代入方程计算得：,例8-3：用位移法计算图8-23a所示结构，并绘弯矩图,4）由叠

17、加法绘制弯矩图,同理，求得其他各杆端弯矩值后，分杆端按区段叠加法作最后弯矩图即可，图f。,令EI=6，,2）列出位移法基本方程,解：1）选择基本结构，CD刚度无穷大，则C、D点无角位移,例8-4：用位移法计算图8-24a所示结构，并绘弯矩图,例8-4：用位移法计算图8-24a所示结构，并绘弯矩图,3）根据形常数和载常数作基本结构的 图，并求系数和自由项。,例8-4：用位移法计算图8-24a所示结构，并绘弯矩图,3）根据形常数和载常数作基本结构的 图，并求系数和自由项。,例8-4：用位移法计算图8-24a所示结构，并绘弯矩图,3）根据形常数和载常数作基本结构的 图，并求系数和自由项。,例8-4：

18、用位移法计算图8-24a所示结构，并绘弯矩图,4）代入位移法方程求解得：,5）叠加法绘弯矩图（图8-24f）,练习：用位移法计算图示结构，并绘制内力图,解：1）选择基本结构,2）列出位移法方程,3）求系数和自由项。绘制 和 图,由1结点平衡，得：,4）求解方程得：,5）绘制内力图,练习：用位移法计算图示刚架的内力。,令EI=6，,2）列出位移法基本方程,解：1）选择基本结构,3）求系数和自由项,4）解方程组得：,5）叠加法绘制弯矩图(略),例：如图所示连续梁，AB和BC杆的EI相等，且为常数。,解：由已知条件，得：,AB杆：,BC杆：,由结点B的平衡条件：,得：,8-7 直接利用平衡条件建立位

19、移法方程,将 代入各杆杆端力表达式子，得：,AB杆：,BC杆：,例：如图所示连续梁，AB和BC杆的EI相等，且为常数。,8-7 直接利用平衡条件建立位移法方程,转角位移法的解题步骤：,1确定结构的基本未知量。,2列各杆端的转角位移方程，列方程时均假定各杆内 力、结点位移为正方向。,3列各刚结点力矩平衡方程、杆段与侧移相应的剪力 平衡方程，组成位移法方程。,4解位移法方程求未知方程。,5将所求位移代回转角位移方程求各杆端力，并画结 构的内力图。,例：利用转角位移方程求解如图所示结构。(P207),解：1)由转角位移方程求各杆杆端内力,2)建立平衡条件,其中：,代入（b）式得：,例：利用转角位移方

20、程求解如图所示结构。,3）将各杆杆端弯矩代入（a）、（c），得：,求解得：,4）将所得结果代入杆端弯矩表达式，即可得各杆端弯矩。,练习：试用转角位移方程分析图示刚架。,（1）基本未知量 fB、 fC,（2）杆端弯矩Mij,计算线性刚度i，设EI0=1，则,(3)平衡方程,4m,4m,5m,4m,2m,q=20kN/m,A,B,C,D,F,E,4I。,5I。,4I。,3I。,3I。,(4) 解方程,(相对值),(5)杆端弯矩及弯矩图,46.9,24.5,1.7,9.8,4.89,M图,课后练习1：利用转角位移方程求解如图所示结构。,解：1、由转角位移方程求各杆杆端内力,2、由结点平衡建立平衡方程求位移,3、将求得的位移值代入各杆端内力表达式，得：,课后练习1：利用转角位移方程求解如图所示结构。,4、由求得的各杆杆端弯矩作最 后弯矩图,课后练习1：利用转角位移方程求解如图所示结构。,3、将求得的位移值代入各杆端内力表达式，得：,课后练习2：确定基本结构,原结构,基本结构,课后练习2：确定基本结构,原结构,基本结构,原结构,基本结构,课后练习2：确定基本结构,