泛函分析讲义第八章课件.ppt

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1、第八章 有界线性算子和连续线性泛函,1 有界线性算子和连续线性泛函,2 有界线性算子空间和共轭空间,算子：从赋范线性空间X到另一个赋范线性空间Y中的映射。算子可以说是函数和函数之间的对应。泛函：如果Y是数域，则称这种算子为泛函。,本章主要研究线性算子和线性泛函，首先引入线性泛函和线性算子的概念，证明赋范线性空间中线性算子的连续性等价于有界性，并引出有界线性算子的一个基本的量，即算子的范数，证明有界线性算子全体按算子范数成为一个赋范线性空间。,主要内容：,1 有界线性算子和连续线性泛函,设X和Y是两个同为实（或复）的线性空间，D是X的线性子空间，T为D到Y中的映射，如果对于任何 D ，及数 成立

2、,1、线性算子和线性泛函,则称T为D到Y中的线性算子，其中D称为T的定义域，记为D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取值于实（或复）数域时，就称T为实（或复）线性泛函。,（1）设X是线性空间， 是一给定的数，对任何 ，令,2、线性算子和线性泛函的例子,显然，T是X到X中的线性算子，称为相似算子。,当 时，称为恒等算子；当 时，称为零算子。,（2）对每个 ，规定,由积分的线性性质，可知T是 到 中的线性算子。,若令,则 是 上线性泛函。,若令,T是线性算子，称为乘法算子。,（3）对每个 ，规定,由导数运算的线性性质，可知T是 到 中的线性算子，称为微分算子。,若令,，则 是 上线性泛函

3、。,（4）矩阵与线性算子的对应性：设 是n维线性空间，在 中取一组基 ，则对任何 可以唯一的表示成 ，对每一个方阵 ，作 到 中算子T 如下：当 时，令 其中 。显然这样定义的T是线性算子，称为线性变换。算子由方阵 唯一确定。,3、线性算子的有界性与连续性,（1）连续性定理 设X，Y都是赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果T在某一点 D(T)上连续，则T在D(T)上处处连续。,该定理说明，要验证线性算子T的连续性，只需要验证T在某一点连续。又相当于下面要引进的有界性。,（2）有界线性算子 设X，Y都是赋范线性空间，T是X的线性子空间D(T)到Y的线性算子，如果存在常数 ，是对所有 D(T)

4、，有则称T是D(T)到Y中的有界线性算子。,换句话说，设X，Y是两个赋范线性空间，T是X到Y的线性算子，如果算子T将其定义域中每个有界集映射成Y中的有界集，就称T是有界线性算子，简称为有界算子。不是有界的算子成为无界算子。,显然，赋范线性空间中的相似算子显然是有界算子。,（3）连续性与有界性的关系 设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件为T是X上连续算子。,注意区别有界算子与有界函数。,4、算子的范数 T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范线性空间Y中的线性算子，称 为算子T在D(T)上的范数。,若T为有界线性算子，则其范数是有限数，有,并非所有算子都有界

5、。例如微分算子，P0,1为C0,1的子空间，令 ，则 ，但 ，所以 ，T是无界算子。,2 有界线性算子空间和共轭空间,1、有界线性B(X Y) 算子全体所成空间 设X，Y都是赋范线性空间，B(XY)是X到Y的有界线性算子全体，当A，B B(XY), 是任意一个数时，规定,则B(XY)按上述线性运算及算子范数成为赋范线性空间。,定理1 设X是赋范线性空间，Y是巴拿赫空间时，B(XY)也是巴拿赫空间。,2、连续线性泛函全体所成空间 设X是赋范线性空间，令 表示X上连续线性泛函全体所成的空间，称为共轭空间。,定理2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间。,例如： 的共轭空间为 。,的共轭空间为 ，

6、其中,定义：设X和Y是两个赋范线性空间，T 是X到Y中的线性算子，并且对所有 ，有则称T 是X到Y中的保距算子，如果T 又是映射到Y上的，则称T 是同构映射，此时称X与Y同构。（了解作用）,1、内积定义,则 与 内积定义为,其中 表示 的复共轭，并且内积与向量 的长度有以下关系：,引言：有限维空间中向量的范数相当于向量的模，但是在有限维欧几里的空间中还有一个重要的概念-两个向量的夹角，特别是两个向量的正交，所以在赋范线性空间当中，引入向量的内积来描述模与夹角，建立内积空间。,2 其中 为任意实（或复）数；,内积性质： （有限维复欧式空间）,1 且 等价于,3,则称 为 的内积， 称为内积空间。

7、,2、内积、内积空间：设 是复线性空间，如果对 中任何两个向量 ，有一复数 与之对应，并且满足下列条件,1 且 等价于 （正定性）,2 其中 为任意实（或复）数(对第一变元的线性）；,3,(对第二变元的共轭线性）；,3、Schwarz不等式：设 按内积 成为内积空间，则对于 中任意向量 ，成立不等式当且仅当 与 线性相关时，不等式中等号才成立。,4、定理：设 是内积空间，令则 是 上的范数，称为由内积导出的范数。,结论：内积空间按内积导出的范数成为赋范线性空间。,5、定义：完备的内积空间称为Hilbert空间。,例如： 不成为内积空间。,例如： .设定义 ，则 按此内积也成为Hilbert 空

8、间。,内积空间的特征性质（平行四边形公式）： .,注意：赋范线性空间成为内积空间的条件是范数满足平行四边形公式。并非每个赋范线性空间都是内积空间。例如：LPa,b,2 投影定理,1. 点到集合的距离 设X是度量空间，M是X的非空子集，x是X中一点，称 为点x到M的距离。,2. 凸集 设X是线性空间，x，y是X中两点，称集合 为X中联结x和y的线段。如果M是X的子集，对M中任何两点x，y，必有 ，则称M为X中的凸集。,定理1 极小化向量定理,设X是内积空间，M是X中非空凸集，并且按X中由内积导出的距离完备，那么对于每个xX，存在唯一的yM，使得,推论1设X是内积空间，M是X完备子空间，则对每个x

9、X，存在唯一的yM，使得,11醉翁亭记 1反复朗读并背诵课文，培养文言语感。2结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。3把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。4体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下岳阳楼记，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于岳阳楼记的千古名篇醉翁亭记。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】

10、结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(10071072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。关于“醉翁”与“六一居士”：初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代

11、以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。醉翁亭记就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1初读文章，结合工具书梳理文章字词。2朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，

12、酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对

13、于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝

14、则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性

15、。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见我的积累本。目标导学四：解读文段，把握文本内容1赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻

16、的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。2第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无拘无束。如此勾画了游人之乐。4作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的

17、眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这样的乐。5第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：“醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。”此句与醉翁亭的名称、“醉翁之

18、意不在酒，在乎山水之间也”前后呼应，并与“滁人游”“太守宴”“众宾欢”“太守醉”连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：赏析文本，感受文本艺术特色1在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。2反复朗读，请同学说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。(1)句法上大量运用骈偶句，并夹有散句，既整齐又富有变化，使文章越发显得音调铿锵，形成一种骈散结合的独特风格。如“野芳发而幽香，佳木秀而繁阴”“朝而往，暮而归，四时之景不同，而乐亦无穷也”。(2)文章多用判断句，层次极其分明，抒情淋漓尽致，“也”“而”的反复运用，形成回环往复的韵律，使读者在诵读中获得美的享受。(3)文章写景

19、优美，又多韵律，使人读来不仅能感受到绘画美，也能感受到韵律美。目标导学七：探索文本虚词，把握文言现象虚词“而”的用法用法文本举例表并列1.蔚然而深秀者；2.溪深而鱼肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧哗者表递进1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接1.渐闻水声潺潺，而泻出于两峰之间者；2.若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝；3.野芳发而幽香，佳木秀而繁阴；4.水落而石出者；5.临溪而渔；6.太守归而宾客从也；7.人知从太守游而乐表修饰1.朝而往，暮而归；2.杂然而前陈者表转折1.而不知人之乐；2.而不知太守之乐其乐也虚词“之”的用法用法文本举例表助词“的”1.泻出于两峰之间者；2.醉翁之意不在酒；

20、3.山水之乐；4.山间之朝暮也；5.宴酣之乐位于主谓之间，取消句子独立性而不知太守之乐其乐也表代词1.望之蔚然而深秀者；2.名之者谁(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之乐)【教学提示】更多文言现象请参见我的积累本。三、板书设计路线：环滁琅琊山酿泉醉翁亭风景：朝暮之景四时之景山水之乐(醉景)风俗：滁人游太守宴众宾欢 太守醉宴游之乐(醉人)心情：禽鸟乐人之乐乐其乐与民同乐(醉情) 可取之处重视朗读，有利于培养学生的文言语感，并通过节奏划分引导学生理解文意，突破了仅按注释疏通文义的桎梏，有利于引导学生自主思考；不单纯关注“直译”原则，同时培养学生的“意译”能力，引导学生关注文言文的美感，在一定程度上有助于培养学生的核心素养。不足之处文章难度相对较高，基础能力低的学生难以适应该教学。,会员免费下载,