题型二次函数压轴题ppt课件.ppt
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1、二、解答题重难点突破,第二部分 题型研究,目录,题型七 二次函数压轴题 类型一 线段问题 类型二 面积问题 类型三 图形判定问题 拓展类型 三角形相似问题,类型一 线段问题,典例精讲,例1 如图,抛物线 y =ax2+bx+8(a0)与直线 y =x+4相交于A(-4,0),C(1,m)两点,抛物线与x轴的另一个交点为B(点B在点A的右侧),直线 y=x+4交y轴于点D,点P是线段 AC上方抛物线上一个动点(不与A,C重合),过点P作PGx轴于点G,交直线 y=x+4于点F,作PEAC于点E.(1)求抛物线的解析式;,例1题图,【思路点拨】将C(1,m)代入y=x+4中,求得m的值即可知C点坐
2、标. 二次函数y=ax2+bx+8(a0)含有两个未知数,将点A,C坐标代入得到关于a,b的二元一次方程组,解方程组可求得a,b的值,即可知抛物线的解析式.,解:(1)把 C(1 , m )代入y=x+4得,m=1+4=5,则 C(1 , 5).把A(-4 , 0),C(1 , 5 )代入y=ax2+bx+8(a0)得 16a-4b+8=0 a=-1 a+b+8=5 b=-2则抛物线的解析式为y=-x2-2x+8.,,,,,解得,例1题图,,,(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴;【思路点拨】思路一:将(1)求得的二次函数解析式配方成顶点式,即可写出抛物线的顶点坐标和对称轴;思路二:根据二次函数顶
3、点坐标公式直接写出顶点坐标和对称轴.,(2)解:方法一:抛物线的解析式: y = -x2-2x+8 = -(x+1)2+9,则抛物线的顶点坐标为(-1 , 9),对称轴为x=-1.方法二: -1, = 9,所以对称轴是 x=-1,顶点坐标是(-1 , 9).,(3)求出AC的长;【思路点拨】过点C作x轴的垂线可构造出直角三角形,AC是直角三角形的斜边,根据A,C两点坐标分别求出两直角边即可知AC长.,如解图过点C作 CCx轴于C,A(-4 , 0),C(1 , 5),AC=4+1=5,CC=5,AC= = .,例 1 题解图,解:,(4)若点P的横坐标为x, 请求出线段PE的长度关于P点横坐标
4、x的函数解析式;由AC的解析式可求出点D的坐标,根据OA,OD的长度可知OAD是等腰直角三角形,根据角度的关系可以判定PEF也是等腰直角三角形,所以求出PF的长度即可知PE的长度.根据抛物线和直线AC的解析式可分别写出P点和F点的坐标.由此可知PF的长度,题目得解.,【思路点拨】,PE= PF;点P的横坐标为x,则点P坐标为(x,-x2-2x+8),点F 坐标为(x,x+4),PF=-x2-2x+8-(x+4)=-x2-3x+4,即PF=-x2-3x+4 (-4x1), PE= PF= ( -4x1).,解:(4)直线AC交y轴于点D,则D点坐标为(0,4),OA=OD=4.DAO=45,由题
5、意得,PGA=90,PFE=AFG=45,即PEF为等腰直角三角形,,(5)当x为何值时,线段PE有最大值,请求出这个最大值;【思路点拨】思路一:将(4)得到的PE长度的函数关系式配方成顶点式,根据二次函数的性质求得最大值即可;思路二:因为PEF是等腰直角三角形,所以当PF最长时,PE取得最大值.根据(4)中求得的解析式求PF的最大值,可知PE的最大值.注意:因P是线段AC上方抛物线上的点,所以求得最大值后,要检验P是否符合要求.,当 ,PF 最大 ,此时PE最大,当时,PE有最大值 ;,(5)解:方法一:,方法二: PF = -x2-3x+4,(6)当x为何值时,PEF的周长有最大值,请求出
6、这个最大值;【思路点拨】因为PEF是等腰直角三角形,所以PE或者PF取得最大值时,三角形的周长最大,根据(5)的计算结果,即可求出最大值.,解:(6)在等腰直角三角形PEF中,PE=EF= PF, PEF的周长=PE+PF+EF=( +1)PF,由(5)知当x= - 时,PF 取得最大值 ,当x=- 时,PEF的周长最大为 ( +1).,(7) 在(6)的条件下,求出P,F,G,E的坐标;【思路点拨】由x= ,可直接写出G点坐标,将x= 分别代入直线AC和抛物线的解析式可求出点F,P的纵坐标,则F,P点坐标可求. 过点E作EMx轴,过点F作FMy轴,两线交于点M,可得等腰直角三角形EFM,在等
7、腰直角三角形PEF中可求EF长,从而可知FM,EM,再结合点F坐标即可知E点坐标.,(7)解:如解图,当x= 时,点G坐标为( ,0);点F坐标为( , );点P坐标为( , );过点E作EMx轴,过点F 作FMy轴,两线交于点M,由题意得,EFM为等腰直角三角形,EF=PE= ,则MF = ME = ,xE= yE=点E坐标为( , );,例 1 题解图,(8)若PF=3FG,求x的值;【思路点拨】由P点的横坐标为x,可分别写出点P,F,G点的坐标,从而可用x表示出PF和FG线段长,根据关系式列方程即可求x值.注意检验x值是否符合题意. 点P的横坐标为x,则F(x,x+4),所以FG=x+4
8、,由(4)知PF=-x2-3x+4,PF=3FG,-x=-3x+4=3(x+4),解得x=-2或-4.当x=-4时,点P与点A重合,不合题意,故x=-2.,解:,(9)若点P为抛物线上任意一点,如果PABDAO,请求出x的取值范围;【思路点拨】根据题意,结合图象,判断出分两种情况讨论,点P在x轴上方时,根据点C和点B的坐标即可得解;当点P在x轴下方时,求得y=x+4关于x轴对称的解析式,联立抛物线解析式求出交点坐标即可得解.,解:(9)点P为抛物线上任意一点,如果PABDAO,如解图,分两种情况:若点P在x轴上方,则点P在点C下方,B点上方时,PABDAO,点C坐标为(1,5),B点坐标为(2
9、,0),则1x2;若点P在x轴下方,当PAB=DAO时,设AP与抛物线交点N,当点P在点B下方,N点上方时,满足PABDAO,例 1 题解图 ,设直线AN交y轴于点H,PAB=DAO,则点H与点D关于原点对称,可得,点H坐标为(0,-4),则直线AN的解析式为y=-x-4,联立 y=-x2-2x+8 y=-x-4,得x1=3,x2=-4(与点A重合,舍去)则2x3;综上所述,点P为抛物线上任意一点,如果PABDAO,则1x3;,例 1 题解图 ,(10)在(9)条件下,当P点的纵坐标为整数值时,点P为“好点”,请求出点P “好点”的个数.【思路点拨】由函数图象可知,当1x3时,y随x的增大而减
10、小,分别求出y的最大值和最小值,确定在此范围内y的整数值的个数即可.,解:(10)由二次函数图象可知,当1x3时,y随x的增大而减小,当x=1时,y=-x2-2x+8=5;当x=3时,y=-x2-2x+8=-7.即-7y5,共13个整数值,则点P “好点”的个数为13个.,类型二 面积问题,典例精讲,例2 如图,已知抛物线y=-x2+bx+c与直线AB相交于A(-3,0),B(0,3)两点,与x轴的另一个交点为C,抛物线对称轴为直线l,顶点为D,对称轴与x轴的交点为E.,(1)求直线AB的解析式;,例 2 题图,解:(1)设直线AB的解析式为y=kx+d,将A(-3,0),B(0,3)代入得
11、-3k+d=0 d=3直线AB的解析式为 y = x+3.,【思路点拨】利用待定系数法直接计算. 设直线AB的解析式为y=kx+d,分别将A,B两点坐标代入,得到关于k,d的二元一次方程组,解方程组求得k,d的值即可知AB的解析式.,解得,,,,,(2)求抛物线的解析式;【思路点拨】将点A、B的坐标代入y =-x2+bx+c即可得到b、c的值,从而得到抛物线解析式.,将点A(-3,0),点B(0,3)代入抛物线得: -9-3b+c=0c=3 b=-2 c=3抛物线的解析式为y=-x2-2x+3.,解得,,,,,解:,(3)求ABC的面积和四边形AOBD的面积;【思路点拨】根据抛物线解析式可求出
12、点C,D坐标.在ABC中,可根据A,C点坐标求出底边AC长,根据点B的坐标求出高OB的长,即可求面积.对于四边形AOBD,可分割成AOB和ABD分别进行计算.RtAOB的面积可根据OA,OB长进行计算.在ABD中,设对称轴与AB的交点为D,求出DD的长度即可求出ABD的面积,从而四边形AOBD的面积可求.,解:(3)由y=-x2-2x+3,转化为顶点式得 y=-(x+1)2+4, 抛物线的对称轴为x=-1,顶点D为(-1,4); 令y=0得-x2-2x+3=0, 解得x1=-3,x2=1, 点C的坐标为(1 , 0), 点A(-3 , 0),点B(0 , 3),点C(1 , 0), AO=3,
13、OC=1,OB=3,,例 2 题解图 ,BOAC,SABC= ACBO= (3+1)36;如解图,设抛物线的对称轴与AB的交点为D,将x=-1带入 y=x+3得 y=2,D(-1,2), DD=2,, SABD= OADD= 3, S四边形AOBD = SABO+ SABD = 33+3=,例 2 题解图 ,(4)在抛物线上是否存在点G,使得GAE的面积与BEC的面积相等,若存在,请写出相应的点G的坐标;若不存在,请说明理由;【思路点拨】在BEC中,OB是EC边上的高,根据点坐标可求出EC和OB,从而可知BEC的面积 .在GAE中,A,E点坐标都可求出,当以AE为底时,G点纵坐标的绝对值是GA
14、E的高,分G在x轴上方和x轴下方分别列方程求解即可.,例 2 题解图 ,(4)解:如解图,当G在x轴上方时,点G在抛物线上,设点G的坐标为(g,-g2-2g+3),点G在x轴上方,-g2-2g+30,过G 作GGx轴于G,SAEG = AEGG 2(-g2-2g+3)SBEC = ECOB= 23=3, 2(-g2-2g+3)=3,解得g1= -2,g2=0,这样的点G有两个,坐标为(-2 , 3),(0 , 3).,如解图,当点G在x轴下方,-g2-2g+30,则 GG= -(-g2-2g+3)=g2+2g-3,SAEG= AEGG 2(g2+2g-3)=3,解得g3= -1+ ,g4= -
15、1- ,这样的点G也有两个,坐标分别为(-1+ , -3),(-1- , -3).,例 2 题解图 ,(5)在抛物线上是否存在一点M,使得SABM =SABC ,若存在,请写出相应的点M的坐标,若不存在,请说明理由;【思路点拨】由(3)已经求得ABC 的面积,本题即转化为在抛物线上求一点M使ABM 的面积为定值,解决方法同(4).,(5)解: (i)如解图,当M在直线AB上方时,过点M做MMx轴于点M,交AB于M,设M(m,-m2-2m+3),则M(m,0),M(m,m+3),MM=-m2-3m,SABM = AOMM= m2 m,根据题意SABM =SABC =6,则 m2 m=6,即m2+
16、3m+4=0,此时方程无解,则不存在在这样的M;,例 2 题解图 ,解:(ii)当点M在直线AB的下方,如解图,过点C作平行于AB的直线,则这条直线上任意一点与AB构成的三角形面积与ABC的面积相等,从而点M在这条直线上.,例 2 题解图 ,直线AB的解析式为y=x+3,设过点C且与AB平行的直线解析式为y=x+b1,将点C(1,0)代入得b1=-1,所得直线解析式为y=x-1,此时存在两个点M,其坐标分别为(1 , 0),(-4,-5).,例 2 题解图 ,(6)在抛物线上是否存在一点H,使得SABH =S四边形AOBD,若存在,请写出相应的点H的坐标,若不存在,请说明理由;【思路点拨】设点
17、H(h,-h2-2h+3),利用(5)的方法,使用h表示出SABH,而S四边形AOBD 在(3) 中已经求得,列出方程求解即可.,解:(6) (i)当H在x轴上方时,过点 H 做 HHx轴于点H,交AB于点H,设H(h,-h2-2h+3),则H(h,0),H(h,h+3),HH=-h2-3h,SABH = AOHH= h2 h.根据题意SABH =S四边形AOBD = ,则 即h2+3h+5=0,此时方程无解,则不存在这样的H;,例 2 题解图 ,(ii)当H在x轴下方时,如解图,不妨设H在对称轴的右侧,HH=h2+2h-3,AHh+3,HH(h+3)-(-h2-2h+3)=h2+3h,SAH
18、H HHAH (h2+3h)(h+3),SBHH OHHH h(h2+3h),SABH =SAHH -SBHH (h2+3h),当SABH = 时,h2+3h-5=0,h= 或 (舍去),H,过点H作AB的平行线,则其与抛物线的另一个交点也满足要求,设其解析式为y=x+b,将H代入 +b,得b=-2,H点的坐标为( , )或( , ),(7)已知点P是第二象限内抛物线上一动点,设点P的横坐标为p,ABP的面积为S;求S关于p的函数关系式;求当p为何值时,S有最大值,最大值是多少;过P作PQAB于Q,当PQ平分SABP,求点P的坐标;当PQ将ABP的面积分为12的两部分,求点P的坐标;,【思路点
19、拨】利用(5)的方法写出S关于p的函数关系式即可;根据二次函数的性质求S的最大值,并求出p的取值;PQ平分SABP,即Q是AB的中点,据此可求PQ的解析式,联立抛物线解析式即可知P点坐标.当PQ将ABP的面积分为12的两部分时要SAPQSBPQ =12和SAPQSBPQ =21两种情况讨论求解,要注意验证结果是否合理.,解:(7)如解图,点P在抛物线上,点P的坐标为(p,-p2-2p+3),过P作PPy轴交直线AB于点P,则P(p , p+3),则PP(-p2-2p+3)-(p+3)=-p2-3p,SABP= 3PP p2 p.即S= p2 p.,例 2 题解图 ,将S= p2 p 转化为顶点
20、式得S= (p+ )2+ ,当p= 时S最大,最大值为 .,例 2 题解图 ,如解图,连接OQ,PQ平分ABP的面积Q是AB中点,PQAB,PQ垂直平分AB,OA=OB=3,QA=QB,由A(-3,0),B(0,3),易得点Q的坐标为(- ,- ),直线OQ的解析式为 y= -x.OA=OB,OQ是线段AB的垂直平分线,,例 2 题解图,P、Q、O三点共线.,此时点P的坐标为( , ),(i)若SAPQ:SPQB =21, 则SAPQSAPB =23,点Q在线段AB的三等分点,且靠近点B,,如解图,过Q作AO的垂线,垂足为点Q,则 ,易得点Q的坐标为(-1 , 2),PQAB,PQ平行于直线y
21、=-x,,例 2 题解图,设直线PQ的解析式为y=-x+q,将点(-1,2)代入得q=1,此时直线PQ的解析式为y=-x+1,与抛物线联立得,例 2 题解图,此时点P的坐标为(-2,3);,(ii)当点Q是AB的三等分点,且靠近点A,则易得点Q的坐标为(-2,1),此时直线PQ的解析式为y=-x-1,此时点P的坐标为( , ).,(8)若点R是抛物线上的一点,且位于对称轴的左侧,是否存在点R,使SRBC =3?若存在,请写出相应的点R的坐标,若不存在,请说明理由; 过R做y轴的平行线交BC的延长线于点F,过点R作RK垂直于BC的延长线于点K,则构造出RKFBOC,因为SRBC =3,即 BCR
22、K=3,利用三角形相似得到的比例关系和题中的已知线段长即可求出RF长.设R的横坐标为x,则F点的纵坐标可根据BC的解析式求得,R点的纵坐标可根据抛物线的解析,式求得,而RF的长等于F点的纵坐标减去R点的纵坐标,由此可列方程求出R点横坐标,即可知R点坐标.注意验证求得的R点是否是在对称轴的左侧.,【思路点拨】,(8) 不妨假设存在点R,使SRBC =3.过点R作RKBC,交BC的延长线于点K,作RHy轴,交BC的延长线于点F,如解图,则F =BCO,RKF =BOC = 90,RKFBOC, , BCRK=BORF.,解:,例2题解图,又SRBC =3,BO=1, BCRK= BORF=3,RF
23、=6.由B (1,0),C (0,3)可求出直线BC的解析式为:y=-3x+3.设R(x,-x2-2x+3),则F (x,-3x+3).RF=-3x+3-(-x2-2x+3)=x2-x.x2-x=6,解得x1=-2,x2=3(舍).R(-2,3).存在点R,使SRBC =3,点R的坐标为(-2,3).,例2题解图,类型三 图形判定问题,典例精讲,例3 如图,已知抛物线y-x2bxc与x轴交于点A、B(3,0),与y轴交于点C(0,3),直线l经过B、C两点 抛物线的顶点为D.(1)求抛物线和直线l的解析式;,例 2 题图 ,【思路点拨】所求抛物线经过B、C两点,将B(3,0)和C(0,3)代入
24、y-x2bxc中得到关于b,c的二元一次方程组,解出b,c的值即可;所求直线l经过B(3,0),C(0,3)两点,根据待定系数法求出直线l的解析式,解:(1)将B(3,0)、C(0,3)代入抛物线yx2bxc 得:-9+3b+c=0, 解得: b=2, c =3. c =3.抛物线的解析式:yx22x3 设直线l的函数关系是y=kx+z,据题意得 3k+z=0, z=3.解得: k=-1, z=3.直线l的函数关系是:y =-x+3.,(2)判断BCD的形状并说明理由.【思路点拨】判断三角形形状可考虑从边和角两个角度入手.本题中可求出B,C,D三点的坐标,因此从边长入手比较方便.分别求出三角形
25、的三边长,如果有两边相等,则三角形是等腰三角形,如果三边相等,则三角形是等边三角形.如果没有相等的边,则考虑使用勾股定理验证三角形是否是直角三角形.,解:(2)BCD是直角三角形.理由如下:由y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,可得D(1,4),根据题意可知B(3,0)、C(0,3),BC2=(3-0)2+(0-3)2=18, DC2=(1-0)2+(4-3)2=2, BD2=(3-1)2+(0-4)2=20,BC2+DC2=BD2, DCB=90,BCD是直角三角形.,例 2 题图 ,(3)如图,若点E是线段BC上方的抛物线上的一个动点,过E点作EFx轴于点F,EF交线段BC于点G,当
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