高等数学函数、连续与极限第一章ppt课件.pptx

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1、,第一章,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,Advanced mathematics,函

2、数、连续与极限,高等数学,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第一章,第二节 数

3、列的极限定义与计算,第三节 函数的极限定义与计算,第四节 极限的证明与性质,第五节 两个重要极限,第六节 无穷小的概念与比较,第七节 函数的连续性及其性质,第一节 集合与函数,课 前 导 读,集 合,习惯上，用大写英文字母 表示集合，用小写字母 表示集合的元素.,3,具有某种确定性质的对象的全体称为集合（简称集），组成集合的个别对象称为集合的元素.,表示 是集 的元素（读作 属于 ）， 表示 不是集 的元素（读作 不属于 ）.,集合按照元素的个数分为有限集和无限集 ，不含任何元素的集合称为空集，记为 .,课 前 导 读,函 数,4,设 和 是两个变量， 是一个非空数集.,如果按照某个法则 ，对

4、每个数 ，变量 总有唯一确定的值与之对应， 则称此对应法则 为定义在 上的函数，,与 对应的值 称为 在 处的函数值， 记作 ，即 .,变量 称为自变量， 称为因变量. 数集 称为定义域， 称为函数的值域.,一、 集合的概念,设 是两个集合，,图1-1,若 的每个元素都是 的元素(见图 1-1 )， 则称 是 的子集，记作或 ）.,读作“ 包含于 ”（或“ 包含 ”）；若 且 ，则称 与 相等，记作 ； 对于任何集合 ，规定 .,一、 集合的概念,我们把自然数的全体组成的集合称为自然数集，记作 . 由整数的全体构成的集合称为整数集，记为 .,用 表示全体有理数构成的有理数集， 表示全体实数构成

5、的实数集. 显然有 .,如果是正整数集，则记为 + ，负整数集记为 ，以此类推.,注： 在本书中所讨论的数集除特别说明外均为实数集.,1. 集合及其运算,由同时包含于 与 的元素构成的集合（见图 1-2），称为 与的交集（简称交），记作 ，即 且 ；,由包含于 或包含于 的所有元素构成的集合（见图 1-3），称为与 的并集（简称并），记作 ，即 或 ；,集合的基本运算有四种：并、交、差、补.,设 是两个集合.,图1-2,图1-3,1. 集合及其运算,由包含于 但不包含于 的元素构成的集合（见图 1-4），称为 与 的差集（简称差），记作 ，即 且 ；,特别地，若我们所讨论的问题在某个集合（称为

6、基本集或全集，一般记为 ）中进行，,图1- 4,图1-5,集合 是 的子集,1. 集合及其运算,关于集合的余集，我们有如下性质.性质1（对偶性质） 设 是一个基本集， 是它的两个子集，则,1. 集合及其运算,设,即为 面上全体点的集合， 常记作 .,图1-6,则 ，如图 1-6所示.,除了集合的四种基本运算，我们还可以定义两个集合的乘积.,2.区间,数集 称为开区间，记作,（见图1-7），即,和 称为开区间 的端点，其中 为左端点， 为右端点，且 ， . 类似地，数集 称为闭区间，记作 （见图1-8），,即 , = | .,图1-7,设 和 都是实数，且 ，,图1-8,和 也称为闭区间 的端点

7、，且 ， .,a,b,x,(a,b),a,b,a,b,x,2.区间,数集 及 称为半开区间，分别记作 和 (见图1-9和图1-10）.,以上这些区间都称为有限区间，数 称为这些区间的长度. 从数轴上看，这些区间是长度为有限的线段.,图1-9,图1-10,a,b),(a,b,a,b,x,a,b,x,2.区间,这些区间在数轴上表示长度无限的半直线，如图1-11 1-14所示.,图1-11,此外，对于这样的集合： ， ， ， ，我们引进记号 （读作正无穷大）及 （读作负无穷大），则可类似的表示无限的半开区间或开区间：,图1-12,图1-13,图1-14,全体实数的集合 也记作 ，它也是无限的开区间.

8、,a,+),a,b,x,(a,+),(,b),(,b,a,x,b,x,b,x,3. 邻域,图1-15,设 与 为两个实数，,且 ，数集 称为点 的 邻域， 记作 ，即 ，其中 称作 的中心， 称作 的半径.,因此， 也就是开区间 .,见图1-15，显然，这个开区间以点 为中心，而长度为 .,+,在数轴上， 表示点 与点 的距离，,因此点 的 邻域 在数轴上就表示与点 距离小于 的点 的全体.,由于 等价于 ，,即 ，所以,3. 邻域,有时用到的邻域需要将邻域中心去掉（见图1-16），点 的 邻域去掉中心 后，称为点 的去心 邻域，记作 ，即,这里 就表示 .,为了方便，有时将开区间 称为 的左

9、邻域，而将开区间 称为 的右邻域.如果不强调半径，以点 为中心的任何开区间称为点 的邻域，记作 .,-,+,图1-16,二、常用函数,( 是常数),y=x,y,y=x2,y= x,x,1,1,o,y=x3,(1,1),y= 1 x,图1-17,1. 基本初等函数,当 时， 的定义域是 ；,() 幂函数:,当 时， 的定义域是 ；,当 时， 的定义域是 （见图1-17）；,当 时， 的定义域是 , 幂函数的最小定义域是 .,1. 基本初等函数,(2) 指数函数：如图1-18、1-19所示，由于对任意 x , 0 ，且 ,故指数函数的图像在 x 轴的上方，且通过点(0,1).,图1-18,图1-1

10、9,当 时 是单调增加函数；当 时 是单调减少函数.以 为底的指数函数记为 ，在工程技术上经常用到这个指数函数.,() 对数函数:,1. 基本初等函数,图1-20,图1-21,当 时， 是单调减少函数(见图1-21). 当 时的对数函数记为 ，称为自然对数函数.,对数函数 的定义域是 ,其图像位于 轴的右方且通过点 . 当 时， 是单调增加函数(见图1-20)；,1. 基本初等函数,对数具有以下运算性质：对任意的 ， ,（i） （ii） （iii）,和 互为反函数，它们的图像关于直线 对称，且有 ，进一步，我们在以后的计算中经常会用到 和 .,1. 基本初等函数,() 三角函数正弦函数 ，余弦

11、函数 ，正切函数 ，余切函数 ，正割函数 和余割函数 统称为三角函数.,图1-22,图1-23,的定义域是 R， 值域是-1，1， 最小正周期是 2， 它是奇函数(见图1-22)；,的定义域是 R，值域是-1，1 ，最小正周期是 2，它是偶函数(见图1-23)；,2,2,2,2,2,2,1. 基本初等函数,的定义域是 ，值域是 ，最小正周期是 ，在定义域上是奇函数（见图1-24）；,图1-24,图1-25,的定义域是 ，值域是 ，最小正周期是 ，在定义域上是奇函数（见图1-25）；,-,2,3,3 2, 2, 2,x 2 +k,k Z,x,2,3,3 2, 2, 2,x k,k Z,x,y,y

12、,1. 基本初等函数,正割、余割函数与余弦、正弦函数的关系式为,1. 基本初等函数,() 反三角函数定义在区间 上的正弦函数的反函数记作 ，,定义域为 ，值域为 ，称为反正弦函数(见图1-26).,y,2,2,1,1,O,x,图1-26,1,1,1. 基本初等函数,定义2在区间 上的余弦函数的反函数记作 ，,图1-27,定义域为 ，值域为 ，称为反余弦函数(见图1-27).,y,-1,1,O,x,1. 基本初等函数,定义3在区间 上的正切函数 的反函数记作 ，定义域是 ，值域为 ， 称为反正切函数，在整个定义域上是单调递增函数(见图1-28)；,图1-28,定义在区间 上的余切函数 的反函数为

13、 ，定义域是 ， 值域为 ，称为反余切函数， 在整个定义域上是单调递减函数(见图1-29).,三角函数的反函数统称为反三角函数.,图1-29,x,O,2.几类特殊的函数,例1函数 ，其中 C 为某确定的常数. 它的定义域为 ，值域为 ，它的图形是一条平行于 x 轴的直线(见图1-30)，这个函数称为常数函数.,图1-30,例2函数 的定义域为 ，值域 ，它的图形如图1-31所示， 这个函数称为绝对值函数.,图1-31,2.几类特殊的函数,例3函数 的定义域为 ，值域 ，它的图形如图1-32所示,这个函数称为符号函数.,y,1,O,-1,图1-32,2.几类特殊的函数,例4设 为任一实数，,比如

14、， ， ， ,-2,-1,0,1,2,3,-1,-2,1,2,y=x,x,y,图1-33,函数 的定义域为 ，值域为整数集 ，它的图形如图1-33所示.,不超过 的最大整数称为 的整数部分， 记作 .,可以看出， 它的图形在 的整数值处出现跳跃， 而跃度为，,这个函数称为取整函数.,一般地， 有 ，当,2.几类特殊的函数,在例、例 等例子中看到， 有时一个函数要用几个式子表示， 这种自变量在不同变化范围中， 对应法则用不同的式子来表示的函数称为分段函数.,分段函数在实际问题中经常出现， 我们应重视对它的研究.,2.几类特殊的函数,例5函数 是一个分段函数, 它的定义域 . 当 时， 对应的函数

15、值 ；,当 时， 对应的函数值 .它的图形如图1-34所示.,例如 ，则 ； ，则 .,y,y=f (x),y=x-1,1,O,1,y=x3,x,1,图1-34,3. 初等函数,我们把由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次函数复合所构成的， 并可以用一个算式表示的函数统称为初等函数.,例如 都是初等函数， 本书中讨论的函数基本上都是初等函数.,3. 初等函数,例6设 ，求 和 .,解,3. 初等函数,例 求函数 的定义域.,解 所给函数由 复合而成.,从而 ，,的定义域是 ，,因此， 函数 的定义域为 .,即 ，,解这个关于 的不等式， 得 ，,3. 初等函数,例8设 的定义域是 ，

16、求 的定义域.,解 函数 由 复合而成.,因为 的定义域为 ，,故必有 的值域是 ，,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF3

17、12C4A0BE75FDF5C,内容导航,第一章,第一节 集合与函数,第三节 函数的极限定义与计算,第四节 极限的证明与性质,第五节 两个重要极限,第六节 无穷小的概念与比较,第七节 函数的连续性及其性质,第二节 数列的极限定义与计算,课 前 导 读,36,数列 : 我们把这无穷多个数排成的序列称为数列， 其中 称为数列的首项， 称为数列的第 n 项， 或称为数列的一般项(通项).,等差数列 : 公差 ，通项公式为 ，前 n 项求和公式为 .,等比数列 : 公比 ， 通项公式为 ，前 n 项求和公式为 .,一、数列极限的概念,一尺之棰， 日取其半， 万世不竭.庄子 天下篇,一尺长的木棍， 每天

18、截掉一半， 每天截取的长度按照天数可排成一个数列:,. 数列极限的引入,1 2 ， 1 2 2 ， 1 2 3 ， 1 2 ，,. 数列极限的引入,解决实际问题时， 经常用到极限方法. 极限方法作为高等数学中的一种基本方法， 很有必要做进一步详细的讨论. 先看下面的 个数列.,它们的一般项依次为,. 数列极限的引入,在几何上，数列 可看作数轴上的一个动点， 如图1-35所示 ，,它依次取数轴上的点 ， ， ， ， ,x3,x2,x1,x4,x5,x6,xn,x,图1-35,按函数的定义， 数列 可看作自变量为正整数 的函数， 即 ，它的定义域是全体正整数，当自变量 依次取 时，对应的函数值就排

19、列成数列 .,. 数列极限的引入,现在我们所关心的问题是:() 给定一个数列后，该数列的变化趋势如何？ 随着 的无限增大， 能否无限接近某个常数?() 如果能无限接近某个确定的数， 则该常数是多少?,数列()的一般项 将无限接近于常数1.,可以看出，在前面所列的4 个数列中， 当 时，,数列()的一般项 将无限接近于常数0.,而数列()的一般项 却在无限增大， 它不接近于任何确定的数值.,数列()的一般项 始终交替地取值为1 和-1， 不接近于任何确定的数值.,据此， 我们可以认为， 数列()和()是“有极限”的，,而数列()和()是“无极限”的.,. 数列极限的引入,从上述各例观察可以看到，

20、 数列的一般项变化趋势有两种情况: 无限接近于某个确定的常数和不接近于任何确定的常数. 这样就可以得到数列的描述性定义.,如果当数列 的项数 无限增大时，,它的一般项 无限接近于一个确定的常数 ，,记作 或,则称 为数列 的极限.,此时也称数列 收敛于 ，,例如， .,. 数列极限的引入,如果当数列 的项数 无限增大时，,它的一般项 不接近于任何确定的常数， 则称数列 没有极限，或称数列 发散，,习惯上记作 不存在. 例如， 不存在.,例如 .,此时，习惯上也称数列 的极限是无穷大，,记作 . ，,2. 数列极限的定义,在上述极限的描述性定义中， 我们都是用“无限增大”和“无限接近”来描述极限

21、概念的. 为了给极限一个精确的定义， 关键是要给予“无限增大”和“无限接近”以定量的刻画.,一般来说， 两个数 a、b 的接近程度可用 b - a 来度量.,我们以数列 为例.,2. 数列极限的定义,考虑 ，显然， 越大， 就越“接近” 1 .,这个数1 就是 的极限.,只要 足够大，就可以小于任何给定的正数.,这时 ， ， 均能使不等式 成立.,如果要求 ， 即 ，只要 ，,这时 ， ，均能使不等式 成立.,同样，如果要求 ，,即 ，只要 ，,一般地， 不论给定的正数 多么小，,总存在一个正整数 ，,使得对于 时的一切 ，,不等式 均成立，,这就是数列 当 时无限“接近”于1 的精确刻画，,

22、2. 数列极限的定义,设 为一数列，,定 义,如果这样的常数 不存在， 就称数列没有极限，或称数列发散.,，或 .,或者称数列 收敛于 ， 记作,如果存在一个常数 ，,对于任意给定的正数 ，,总存在一个正整数 ，,使得对于 时的一切 ， 不等式 均成立，,则称常数 是数列 的极限，,2. 数列极限的定义,我们用“ ”表示“任意的”， 用“ ”表示“存在”， 就可以用更简洁的语言来描述数列的极限. 如果 ， ， 当 时， 恒有 ，则 .,() 正整数 与任意给定的正数 有关. 对于给定的 ， 相应的 不是唯一的， 即只要其存在， 并没有要求其达到最小；,() 由定义也可看出， 的极限是否存在仅与

23、它的发展趋势有关. 只要从某项 开始， 即可， 与前有限项的变化无关.,若在数轴上标出 ， ， ， ，及 ，,2. 数列极限的定义,下面给出“数列 的极限为 ”的几何解释.,再作 的 邻域 (见图1-36) ，,就会发现， 当 时，点 均落在 内， 至多有有限个( 个)落在 外., +1, +2, 3, 4,图1-36,2. 数列极限的定义,例已知 ，证明 .,必须指出， 数列的定义可用于验证 是数列 的极限， 但却无法用于求极限.,要使,证明 ，,即 ，,故数列 的极限为0，,取 ，,则当 时， 恒有 ，,2. 数列极限的定义,例2已知 ，证明 .,证明 ,即 ，,由例2的证明可以发现：对于

24、任意的 ，都有 . 请感兴趣的读者自行证明.,(不妨设 ，想想为什么可以这样假设. ) 要使,恒有 ，,等式两端同时取对数， ，,从而 ，,取 ，,则当 时，,故数列 的极限为0，,二、数列极限的计算,极限的定义只能用来验证极限， 而不能计算数列的极限， 所以下面给出数列极限的运算法则.,定理(数列极限的运算法则)若 ， ，则,定理的证明见第一章第四节.,二、数列极限的计算,例3求下列函数的极限：,（1）,（3）,（5）,（2）,（4）,（6）,二、数列极限的计算,解,() 将分子、分母同时除以 ， 则有,（1）,题,二、数列极限的计算,（2）利用等差数列求和公式， 可得,解,（2）,题,二、

25、数列极限的计算,解,（3）,（3）,题,利用数列的交换法则， 可得,（4）,二、数列极限的计算,题,（4）,解,由 1 （1） = 1 1 1 ，可知,二、数列极限的计算,解,（5）,（5）,题,先将分子有理化，再利用数列极限的运算法则， 可得,二、数列极限的计算,题,（6）,利用等比数列求和公式， 可得,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D687

26、9568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第一章,第一节 集合与函数,第二节 数列的极限定义与计算,第四节 极限的证明与性质,第五节 两个重要极限,第六节 无穷小的概念与比较,第七节 函数的连续性及其性质,第三节 函数的极限定义与计算,课 前 导 读,59,这一节介绍函数极限的定义. 在前一节， 我们探讨了数列的极限. 数列的通项可以看成一类特殊的函数 ，,本节将介绍自变量趋

27、于无穷大（ ）和自变量趋于固定值 （ ）时的两种函数的极限.,那么数列极限就变成了 ，这里 .,如果我们把函数的定义域扩充到 ， 那么就变成了函数的极限 .,一、自变量趋于无穷大时的极限,自变量趋于无穷大，包括三种情况: 且 无限增大， 则记作 ； 且 无限增大，则记作 ；如果 既可以取正值， 又可以取负值且 无限增大， 则记作 . 我们先观察函数 ，和 的图像.,对于函数 的图像(见图1-37)，,y,1,O,1,x,(1,1),y,x, 2, 2,O,1, xR,无限增大时， 曲线无限接近于 x 轴，即 .,对于 函数的图像(见图1-38)，,当 且 无限增大时， 曲线无限接近于,直线 ，

28、 而当 且 无限增大时， 曲线无限接近于直线 .,图1-37,图1-38,一、自变量趋于无穷大时的极限,一般地， 我们假设函数 在 ( 为某一正数)时有定义，,定义,如果在 过程中，对应的函数值 无限接近确定的常数 ，,则称 为函数 当 时的极限. 精确地说，就有如下定义.,设函数 当 大于某一正数时有定义，,如果存在常数 ，,对应的函数值 都满足不等式 ，,一、自变量趋于无穷大时的极限,定义 也可简述为以下形式.,若 ， ， 当 时， 恒有 ，则 .,如果 ， ， 当 时， 恒有 ， 则 .,同样，我们也可以定义当 时的函数 的极限.,若 且 ，,当 且 时，我们就得到 时的函数 的极限定义

29、.,即 时，,有 ，,或记为 ，,一、自变量趋于无穷大时的极限,下面看一下极限 的几何解释.,对任意给定的 ， 作直线 及 ，,总存在 ，,当 时， 的图形必位于这两直线之间（见图1-39）.,-X,o,X,x,y,A+,A,A-,图1-39,一、自变量趋于无穷大时的极限,显然可以得到下面的结论.定理 且 .,注一般地， 如果 或 ，,同理， 不存在， 因为 .,很容易看出， .,直线 称为函数 图形的水平渐近线.,直线 和 称为函数 图形的水平渐近线.,那么称直线 为函数 图形的水平渐近线.,一、自变量趋于无穷大时的极限,例 证明 .,证明,对 ，要使 ，,只需 ，,即 ，,即,恒有 ，,取

30、 ，,则当 时，,二、自变量趋于有限值时的极限,我们先看两个实例， 再给出当 ( 为有限值)时函数极限的定义.,观察以下两个函数的图像，可以发现， 对于函数 ，当 x 越来越接近1 时，f (x) 无限接近于常数 2，,即当 x 从1 的左侧或右侧趋向于 1时， 可以无限接近于零(见图1-40)；,类似地， 对 ，尽管 在 f x =1 处无定义， 但当 从 1 的左侧或右侧趋向于 1 时， 仍无限接近于常数 2， 即 可以无限接近于零(见图1-41).,x,y,1,1,O,-1,2,y=x+1,1,O,-1,1,2,y,y= 21 x1,图1-40,图1-41,二、自变量趋于有限值时的极限,

31、一般地，当 时， 无限接近于确定的数值 ， 则称 为 在 时的极限.,所谓“ 无限接近于确定的数值”，,实质上等价要求 能任意小，,二、自变量趋于有限值时的极限,综上所述， 得到 时函数极限的定义.,定义2,记作,设函数 在点 的某一去心邻域内有定义，,如果存在常数 ，,于任意给定的正数 (不论它多么小)，,对,总存在正数 ，,使得当 满足不等式,时，,对应的函数值 都满足不等式 ，,则称 为函数,在 时函数的极限，,注 这里 与 、 有关.,二、自变量趋于有限值时的极限,的几何解释如下.,任意给定一正数 ， 作平行于 轴的两直线: 及 . 存在 ，当 时，曲线 位于两条直线 及 之间(见图1

32、-42).,x,O,=(), 0 , 0, 0 +,A+,A,A-,函数极限的几何解释(趋于定点),图1-42,二、自变量趋于有限值时的极限,例证明 .,证明 ,要使,只要取 ，,，,则当 时，有 ，,二、自变量趋于有限值时的极限,例 3证明当 时， .,证明 ，不妨设 ，要使 ，即 ，只要,取 ，则当 时，恒有,注 一般地， 我们有 0 .,即,二、自变量趋于有限值时的极限,例 4证明 .,证明 ，要使,即 ，,又要求 ，即 ，,注 同样的方法可以证明 .（这个结论可以推广到更一般的 次根式）,取 ，,二、自变量趋于有限值时的极限,上述 中的“ ”是指 可以取 左侧的点( )而趋于 ， 也可

33、以取 右侧的点( )而趋于 . 有时我们只需考虑 从 的一侧(左侧或右侧)趋于 ， 这时就需要将上述情况分别讨论.,如果 仅从 的左侧趋于 (记作 )时， 趋于 ， 则称 为 在 时的左极限，记作 .,如果 仅从 的右侧趋于 (记作 )时， 趋于 ， 则称 为 在 时的右极限，记作 .,显然有 .因此如果 、 中有一个不存在， 或两个虽存在但不相等， 则 不存在.,二、自变量趋于有限值时的极限,例如， 函数,由于 ，,y,y=x-1,y=x+1,-1,-1,1,1,x,O,则 不存在（见图1-43所示）；,图1-43,，,，,再比如， 不存在，因为,.,三、函数极限的计算方法,极限的定义只能用

34、来验证函数的已知极限， 那么如何计算(求)函数的极限呢？,要讨论极限的求法， 首先要建立相关的一些运算规则，比如极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则等.,有了这些工具， 我们就可求函数的极限了. 我们以 x x 0 为例， 讨论函数极限的性质.,三、函数极限的计算方法,定理 (函数极限的四则运算法则) 设 ， ，则,定理 的证明见第一章第四节.,（1）,（2）,（3）,三、函数极限的计算方法,推论若 ， 存在， 则,上述极限中将“ ”改为“ ”，结论仍然成立.（证明过程有所差别）,三、函数极限的计算方法,按照四则运算法则，我们很容易计算下列极限.,（1）,（3）,（2）,三、函数极限的计

35、算方法,注 （1）设 ，则,三、函数极限的计算方法,（2）设 ，其中 、 为多项式，则,三、函数极限的计算方法,例 5求 .,解 因为 ，即分母的极限为零， 所以不能直接应用极限运算法则.,我们先利用多项式的因式分解， 约去公因式后， 再利用函数极限的四则运算法则进行运算.,三、函数极限的计算方法,例计算,解 因分母的极限为零， 要先对函数做必要的变形， 因分子中含有根式， 通常用根式有理化， 然后约去分子、分母中的公因子.,三、函数极限的计算方法,定理(复合函数的极限运算法则) 设函数 是由函数 与 复合而成的， 在点 的去心邻域内有定义，,若 ， ，且存在 ，当 时，有 ， 则,三、函数极

36、限的计算方法,例 7求极限 .,解,记 ，,由于 ，,故,.,三、函数极限的计算方法,例 8求极限 .,由于 ，故,解,记 ，,三、函数极限的计算方法,例 9求极限 .,解一,解二,故原式,令,则当 时，,三、函数极限的计算方法,例 10 () 求极限 ； （2）求极限 .,解 （1）当 时， 分母 的极限为零， 故不能直接应用商的极限运算法则.但若采取将分母有理化，即将分子与分母同时乘 ， 则得,（2）当 时， 分子与分母都没有极限，,极限运算法则，,故也不能直接应用商的极,需先将分子、分母同时除以 .,三、函数极限的计算方法,例 11 已知 , 求 之值.,解 因,故,解得,e7d1955

37、23061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F0784C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第一章,第一节 集合与函数,第二节 数列的极限定义与计算,

38、第三节 函数的极限定义与计算,第五节 两个重要极限,第六节 无穷小的概念与比较,第七节 函数的连续性及其性质,第四节 极限的证明与性质,课 前 导 读,90,这一节介绍数列及函数极限性质， 读者可以深入理解和熟悉极限的定义，同时为引入新的极限计算方式打下基础.,本节可作为对极限要求较高的专业的选学内容.,一、利用极限定义证明,例1 已知 ，证明数列 的极限为 1 .,要使 ，,则当 时，,即 ，取 ，,恒有 ，,故数列 的极限为 1 .,一、利用极限定义证明,例2 证明 .,即,即,取 ，,则当 时，,一、利用极限定义证明,例3 证明 .,证明,，要使,只要 ，,取 ，,则当 时，有,二、 数

39、列极限的性质,定理(极限的唯一性)数列 不能收敛于两个不同的极限.,证明 （反证法） 假设同时有 及 ，,由 可知，,由 可知 ，,取 ，当 时， ， 同时成立，矛盾.,因此， 数列 不能收敛于两个不同的极限.,取 .,不妨设 ，,恒有,，,当 时，,，,恒有,当 时，,二、 数列极限的性质,定理 2 ( 收敛数列的有界性 )如果数列 收敛， 则该数列一定有界.,证明,不妨设 ，,数列 有界是指存在 ， 使一切 满足 .,因此，取 ，,如果数列无界， 则其一定发散；,则 任何 ，有 .,则 ， ，,当 时，,恒有 .,取 ，,即数列 有界.,则对一切 ，均有 ，,数列 有界 ，但发散.,如果数

40、列有界， 则其未必收敛.,例如，,二、 数列极限的性质,定理 3 ( 收敛数列的保号性 ) 如果 且 (或 )， 则存在 ，当 时， 均有 (或 ).,证明,设 ，由 ，对 = a 2 .,推论如果 满足： ，当 时， (或 )， 且 ， 则 (或 ).,，当 时， 恒有 .,即,同理可证 的情景.,二、 数列极限的性质,定理 4 如果数列 收敛于 ，,在数列 中任意抽取无限项并保持这些项在原数列 中的先后次序，,取 ，,故子数列 也收敛于 .,， ，当 时，恒有 .,则当 时，,，,则它的子数列 也收敛于 .,二、 数列极限的性质,由定理 可以得到， 若数列 的某个子列发散或某两个子列收敛于

41、两个不同的数值， 则数列 必发散.,可以证明: 若数列 的奇数子列 和偶数子列 均收敛于 ，则数列 收敛且极限为 ，反之亦然.,例如， 的奇数子列 收敛于 ，偶数子列 收敛于，可知数列 发散.,三、函数极限的性质,我们仅就 的情况给出性质.,定理(函数极限的唯一性)如果 存在， 那么该极限唯一.,证明过程与数列极限的唯一性的证明相似， 略.,三、函数极限的性质,定理（函数极限的局部有界性）如果 ，那么存在常数 和 ， 使得当 时， 有 .,记 ，,取 ，则,， ，当 时， 恒有 .,则 .,三、函数极限的性质,定理 7(函数极限的局部保号性)如果 ，且 (或 )， 那么存在 ，使得当 时，有

42、(或 ).,证明,设 ，A 0，,取= 2 ，,则,同理可证 情形.,恒有 .,则 ，,当 时，,三、函数极限的性质,推论如果 （ ），那么存在 ，使得当 时， 有 .,推论如果函数 满足: 存在 ，使得当 时， (或 )，且 ， 那么必有 (或 ).,从定理 的证明中可知， 在其条件下， 还可有更强的结论:,同时有下述结论.,证明(反证法)略.,三、函数极限的性质,定理(函数极限与数列极限的关系)若 存在 ， 为 的定义域内的任一收敛于 的数列， 且 ，则 收敛，且 .,证明 设 ，则,故 ， ， 当 时， 恒有 ，,又 ，,对上述 ， ， 当 时， 恒有 .,从而有 .,进而得到 .,，

43、，当 时， 恒有 .,则,即 ，,且 ，,三、函数极限的性质,注根据本定理， 可知取一数列 ，若 的极限不存在， 则 不存在，,或取两数列 ， ， 若 与 的极限不相同， 则 不存在.,因此， 函数 当 时极限不存在.,三、函数极限的性质,例证明函数 当 时极限不存在(见图1-44).,图1-44,证明取 ，,取 ，,，,.,四、极限运算法则的证明,定理(数列极限的运算法则) 若 ， ，则,（1）,；（加减法则）,（2）,（3）,（4）,；（乘法法则）,；（交换法则）,；（除法法则）,四、极限运算法则的证明,证明我们仅证明()； 其余的法则请感兴趣的读者自行证明.,令 ，于是 ， 当 N 时，

44、,，由于 ，取 ， ，当 1 时， 恒有 ，,再由 ，取 ， ，当 2 时， 恒有 .,同时成立. 于是， 当 N 时，,和,. 因此有()式成立.,四、极限运算法则的证明,定理10 (函数极限的四则运算法则) 设 ， ， 则,（1）,我们仅证明().,（2）,（3）,四、极限运算法则的证明,由 可知，M0， ， 当 时，必有 .,又已知 ，则对 2| | 0 ， ， 当 时， 恒有 .,证明对 0 ，,若 ，则 ， 4 0，当0| 0 | 4 时， 恒有 .,因此， ，取 ，当 时，恒有,故 .,若 则取 2 0， ， 当 时， 恒有 .,从而 .,因此，取 ，当 时， 及 同时成立，,四、

45、极限运算法则的证明,定理11(复合函数的极限运算法则)设函数 是由函数 与 复合而成的 . 在点 的去心邻域内有定义，若 ，且存在 ， 当 时， 有 ， 则 .,证明 对于 ，,又 ，,则 .,由于 ，,故 ，当 时，,恒有, .,则对上述 ， ， 当 时， 恒有,e7d195523061f1c01da5a1f0837ac25283df40ff0a16bfd61AE6AB84AD7EB485CA8019BF267F2027DE2BF09650313B56A435BB3664F8B916CA3777391AC088C283181605E184D6D6879568EB73EB808A103F078

46、4C8DFC3E9CDD14B61FDDA6A8A6237D2DFE3BBAEC8979D824A43E015648F6CB3D1F8D3E352A4BDC9925C075CFF312C4A0BE75FDF5C,内容导航,第一章,第一节 集合与函数,第二节 数列的极限定义与计算,第三节 函数的极限定义与计算,第四节 极限的证明与性质,第六节 无穷小的概念与比较,第七节 函数的连续性及其性质,第五节 两个重要极限,课 前 导 读,112,这一节介绍两个重要极限的计算方法. 在正式介绍极限之前，我们需要回忆一下三角函数的相关公式及二项式定理.,半角公式：,倍角公式：,课 前 导 读,113,和差化

47、积公式：,二项式定理：,在介绍两个重要极限之前，需要先介绍两个推导重要极限的夹逼准则和单调有界收敛准则.,一、夹逼准则,准则如果数列 、 及 满足（1） ，当 时， ；（2） ， ，,证明 ，,因此， ，,那么数列 的极限存在，且,又由 ，,即 ，故 .,由 可知，,，当 时，恒有 ，,，当 时，恒有,，即,取 ，当 时，,有,一、夹逼准则,利用数列收敛的夹逼准则， 可以计算某些数列的极限.,即有,解 设 ，,例1,我们需要先对数列,则可知 为 项之和.,的通项进行适当的“放缩”.,因为 ，,由夹逼准则得,一、夹逼准则,准则 可以推广到函数的极限.准则如果函数 ， ， 满足:() 当 （或 ）

48、时， ；() ， ， (见图1-45),则 存在， 且 .,=(),=(),=(), 0,图1-45,准则的证明留作习题.,一、夹逼准则,例2 已知 ，证明 .,解 由于 ，,由准则1可得,，,且,，,一、夹逼准则,例 3 求极限,解 当 时, ，,.,因此，当 时, ，,由夹逼定理可得 ，,当 时，有 ，,由夹逼定理可得 ，.,从而,1,二、第一重要极限,观察正弦函数的图像(见图1-46)， 可知当 时， ， 那么这两个函数的比值 的极限是否存在? 结果如何?,图1-46,y=sin x,x,4,3 2, 2,- 2,2,- ,-1,3,设圆心角 （ ）.,二、第一重要极限,下面就用函数的夹

49、逼准则来证明一个重要的结论:,图1-47,证明 时，函数 均有定义.,首先，建立一单位圆（见图1-47），,D,A,B,C,O,x,这样， ， ， ，,等式两端除以 1 2 ，得 ，,由 ，得 ，,因此， ；,注由以上证明过程可推得结论 lim x0 cos x =cos0 ，类似地还可以得到 lim 0 sin =sin 0 .,因为,二、第一重要极限,上式若用“ ” 代替 “ ”， 则上式形式不变， 表明 时， 上式仍成立.,，,且当 时，,由函数夹逼准则得 ，,故 .,，由夹逼定理可得 .,二、第一重要极限,（1）,我们由第一重要极限很容易得到下列结果(可以作为公式使用).,；,（2）,

50、（3）,（4）,（5）,；,；,（当 时 ）；,（当 时 ）；,二、第一重要极限,例计算下列极限： （1） ； （2） ；,解() 令 ，,（3） ； （4） ；,当 时， ，,因此,二、第一重要极限,题 （2） ；,可得,可以先变形为 ，,再由 时 ，,二、第一重要极限,题 （3）,二、第一重要极限,解 () 利用和差化积公式可得,题 （4）,注最后一个等号应用了结论 .,三、单调有界收敛准则,如果数列 满足条件 ，,在讨论数列极限的性质时曾指出， 收敛数列必有界， 但有界数列未必收敛，,则称数列 是单调增加的；,如果数列 满足条件 ，,则称数列 是单调减少的；,单调增加或单调减少的数列简称