高等数学 向量及其运算PPT课件.ppt

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1、1,数量关系 ,第七章,第一部分 向量代数,第二部分 空间解析几何,在三维空间中:,空间形式 点, 线, 面,基本方法 坐标法; 向量法,坐标,方程（组）,空间解析几何与向量代数,2,7.1 向量及其运算,一、向量概念,二、向量的线性运算,三、空间直角坐标系,四、利用坐标作向量的线性运算,五、向量的模、方向解、投影,3,既有大小, 又有方向的量叫做向量.,向量,向量可用粗体字母、 或加箭头的书写体字母表示.,以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量, 记作AB,向量用一条有方向的线段(称为有向线段)表示.,向量的表示法,一、向量概念,4,如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 则说向量a和

2、b是相等的, 记为a=b.,相等的向量经过平移后可以完全重合.,向量的相等,与起点无关的向量, 称为自由向量, 简称向量.,自由向量,5,向量的模 向量的大小叫做向量的模.,单位向量 模等于1的向量叫做单位向量.,零向量,零向量的起点与终点重合, 它的方向可以看作是任意的.,6,向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反, 就称这两个向量平行.,向量a与b平行, 记作a/b.,零向量认为是与任何向量都平行.,7,共线向量与共面向量,当两个平行向量的起点放在同一点时 它们的终点和公共的起点在一条直线上 因此 两向量平行又称两向量共线,设有k(k3)个向量 当把它们的起点放在同一点时 如果k

3、个终点和公共起点在一个平面上 就称这k个向量共面,8,二、向量的线性运算,设有两个向量a与b, 平移向量, 使b的起点与a的终点重合, 则从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和, 记作a+b, 即c=a+b.,1.向量的加法,c=a+b,三角形法则,平行四边形法则,9,向量的加法的运算规律 (1)交换律a+b=b+a;,(2)结合律(a+b)+c=a+(b+c).,10,向量的减法 向量b与a的差规定为 b-a=b+(-a).,负向量,三角不等式 |a+b|a|+|b|, |a-b|a|+|b|, 等号在b与a同向或反向时成立.,与向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量, 记为-

4、a.,11,当=0时, |a|=0, 即a为零向量.,向量a与实数的乘积记作a, 规定a是一个向量, 它的模|a|=|a|, 它的方向当0时与a相同, 当0时与a相反.,2.向量与数的乘法,当=-1时, 有(-1)a =-a.,当=1时, 有1a=a;,12,(1)结合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a; (a+b)=a+b.,向量与数的乘积的运算规律,向量的单位化,于是a=|a|ea.,设a0, 则向量 是与a同方向的单位向量, 记为ea.,13,于是,解,由于平行四边形的对角线互相平分, 所以,14,例,证,15,定理1.,设 a 为非零向量 , 则,( 为唯一实

5、数), 取 ,且,再证数 的唯一性 .,则,取正号, 反向时取负号,16,则,例1. 设 M 为,解:,17,给定一个点O及一个单位向量 i 就确定了一条数轴Ox,并且轴上的点P与实数x有一一对应的关系: 点P实数x 实数x称为轴上点P的坐标,数轴与点的坐标,18,说明：,三、空间直角坐标系,空间直角坐标系,y轴,z轴,原点,x轴,在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴) 统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系 称为Oxyz坐标系,(2)数轴的的正向通常符合右手规则.,(1)通常把x轴和y轴

6、配置在水平面上, 而z轴则是铅垂线;,19,在空间直角坐标系中, 任意两个坐标轴可以确定一个平面, 这种平面称为坐标面.,坐标面,三个坐标面分别称为xOy 面, yOz面和zOx面.,卦限 坐标面把空间分成八个部分, 每一部分叫做卦限, 分别用字母I、II、III、IV等表示.,20,向量的坐标分解式,以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体 有,21,上式称为向量r的坐标分解式 xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量,点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系,任给向量r 存在点M及xi、yj、zk 使,有序数x、y、z称为向量r的坐标 记作r(x y z),有序数x、y

7、、z也称为点M的坐标 记为M(x y z),向量 称为点M关于原点O的向径,22,坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定的 特征 例如 点M在yOz面上 则x0 点M在zOx面上的点 y0 点M在xOy面上的点 z0 点M在x轴上 则yz0 点M在y轴上,有zx0 点M在z轴上的点 有xy0 点M为原点 则xyz0,坐标轴上及坐标面上点的特征,23,四、利用坐标作向量的线性运算,设,则,平行向量对应坐标成比例:,24,解,如同解二元一次线性方程组 可得,x2a3b,y3a5b,以a、b的坐标表示式代入 即得,x2(2 1 2)3(1 1 2),(7 1 10),y3(2 1 2)5(1 1 2

8、),(11 2 16),25,解,例3 已知两点A(x1 y1 z1)和B(x2 y2 z2)以及实数1,这就是点M的坐标,由于,26,说明: 由,得定比分点公式:,点 M 为 AB 的中点 ,于是得,中点公式:,27,1. 向量的模与两点间的距离公式,则有,由勾股定理得,因,得两点间的距离公式:,对两点,与,五、向量的模、方向角、投影,28,例4. 求证以,证:,即,为等腰三角形 .,的三角形是等腰三角形 .,为顶点,29,例5. 在 z 轴上求与两点,等距,解: 设该点为,解得,故所求点为,及,思考:,(1) 如何求在 xoy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?,(2) 如何求在空间

9、与A , B 等距离之点的轨迹方程 ?,离的点 .,30,提示:,(1) 设动点为,利用,得,(2) 设动点为,利用,得,且,例6. 已知两点,和,解:,求,31,2. 方向角与方向余弦,设有两非零向量,任取空间一点 O ,称 =AOB (0 ) 为向量,的夹角.,类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 .,与三坐标轴的夹角 , , ,为其方向角.,方向角的余弦称为其方向余弦.,32,方向余弦的性质:,33,例7. 已知两点,和,的模 、方向余弦和方向角 .,解:,计算向量,34,例8. 设点 A 位于第一卦限,解: 已知,角依次为,求点 A 的坐标 .,则,因点 A 在第一卦限 ,故,于是,故点

10、 A 的坐标为,向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹,35,3.向量在轴上的投影,设点O及单位向量e确定u轴,再过点M作与u轴垂直的平面交u轴于点M 则向量,Prjur或(r)u,36,向量a在直角坐标系Oxyz中的坐标ax ay az就是a在三条坐标轴上的投影 即 axPrjxa ayPrjya azPrjza,性质3 (a)u(a)u (即Prju(a)Prjua),性质2 (ab)u(a)u(b)u (即Prju(ab)PrjuaPrjub),性质1 (a)u|a|cos (即Prjua|a|cos) 其中为向量与u轴的夹角,投影的性质,37,解: 因,例. 设,求向量,在x 轴上的投影及在y,轴上的分向量.,在 y 轴上的分向量为,故在 x 轴上的投影为,38,练习1,设,求以向量,行四边形的对角线的长度 .,该平行四边形的对角线的长度各为,对角线的长为,解：,为边的平,39,2. 已知一个向量的终点为,它在x轴、y轴上的投影为,求此向量起点A的坐标。,解答提示：设,答案：,40,作业 P300 3 , 5, 13, 14, 15, 18, 19,