第17章章勾股定理教材分析用课件.ppt

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1、1,探索,第十八章 勾股定理教材分析,人教社义务教育课程标准实验教科书八年级下,2,教材的作用与地位,一、教材分析,1.是几何中最重要的定理之一;2.是解直角三角形的主要依据之一；3.是直角三角形的一条非常重要的性质，揭示了直角三角形三条边之间的数量关系；4.将形与数密切联系起来，在数学的发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用；5.勾股定理的逆定理也是判定一个三角形是直角三角形的重要依据。,3,本章的知识结构,一、教材分析,探索,实际问题（直角三角形边角计算）,勾股定理,实际问题（判定直角三角形）,勾股定理的逆定理,互逆定理,4,新课标对本章的要求,一、教材分析,探索,5,教学目标

2、,一、教材分析,探索,【知识与技能】1.能说出勾股定理的内容,并能进行简单的计算和实际应用；2.会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；3.通过具体的例子，了解定理的含义，了解逆命题、逆定理的概念，知道原命题成立其逆命题不一定成立。,6,一、教材分析,探索,教学目标,【过程与方法】 经历”观察猜想归纳验证”的数学发现过程,发展合情推理的能力,体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.,7,一、教材分析,探索,教学目标,【情感与态度】1.通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值,对学生进行爱国主义教育；2.通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心.,8,教学重点与难点,一

3、、教材分析,探索,重点：勾股定理及其逆定理的探索 勾股定理及其逆定理的简单应用,难点：利用数形结合的方法验证勾股定理,9,课时安排,一、教材分析,181 勾股定理 4课时,本章教学时间约需8课时，具体安排如下:,182 勾股定理的逆定理 3课时,探索,数学活动小结 1课时,10,勾股定理 第一节,二、教学内容分析及建议,探索,内容: 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。,建议1.注重使学生经历探索勾股定理的过程 2.要求学生认识一些简单、常用的勾股数和两个基本图形,11,勾股定理 第二节,二、教学内容分析及建议,探索,内容: 会用勾股定理进行简单的计算；树立数形

4、结合的思想、分类讨论思想,重要的题目类型1.“知二求一型” 在教学注意变换题目所给的条件2.知一及两边关系型的(但此处应避免使用一元二次方程的题型)3.分类讨论的题型4.数形结合的题型,12,勾股定理 第二节,二、教学内容分析及建议,探索,1)知二求一型,建议:在教学中注意引导学生理解勾股定理的条件、结论及适用范围和作用,掌握公式变形的各种形式，.变换题目所给的条件,可以是边的条件,也可以是角的条件,使学生达到灵活运用的目的.但应注意计算不要太复杂,13,勾股定理 第二节,二、教学内容分析及建议,探索,2)知一边及另两边关系型,建议: 这个题型也是相当重要的,应注意引导学生利用方程思想解决问题

5、,但此处应避免使用一元二次方程解决问题的题型,14,勾股定理 第二节,二、教学内容分析及建议,探索,3)分类讨论的题型,1.对三角形边的分类: 已知一个直角三角形的两条边是3cm和4cm，求第三条边的长,2.对三角形高的分类: 已知：在ABC中，AB15cm，AC13cm，高AD12cm，求SABC,15,勾股定理 第二节,二、教学内容分析及建议,探索,4)数形结合的题型,建议: 这个题型的教学帮助学生认识基本图形,能说出基本图形的性质,16,勾股定理 第三节,二、教学内容分析及建议,探索,内容: 会用勾股定理解决简单的实际问题。,建议: 注意引导学生把实际问题转化成数学问题，即知道两直角边，

6、求斜边，从而用勾股定理解决问题,17,勾股定理 第三节,二、教学内容分析及建议,探索,内容: 会用勾股定理解决简单的实际问题。,分析及建议: 注意引导学生把实际问题转化成数学问题，在变化过程中发现不变量,找出基本图形,18,勾股定理 第三节,二、教学内容分析及建议,探索,内容: 会用勾股定理解决简单的实际问题。,建议: 引导学生构造基本图形,在数轴上找到相应的点,是对实数学习的一个补充,应重视.,19,勾股定理 第四节,二、教学内容分析及建议,探索,内容: 会用勾股定理解决较综合的问题。,1）结合等腰三角形的知识,已知：如图AD是ABC的高，AB=10，AD=8，BC=12 求证：ABC是等腰

7、三角形.,20,勾股定理 第四节,二、教学内容分析及建议,探索,内容: 会用勾股定理解决较综合的问题。,2）结合折叠的问题,如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD等于（ ）,21,勾股定理 第四节,二、教学内容分析及建议,探索,内容: 会用勾股定理解决较综合的问题。,3）网格问题 如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ）,B. 2 C.,D.,分析及建议: 注意引导学生发现面积是不变的,从而确定新正方形的边长,22,勾股定理 第四节

8、,二、教学内容分析及建议,探索,内容: 会用勾股定理解决较综合的问题。,4）简单的斜化直的问题已知：如图，在ABC中，B=45，C=60，AB=3,求（1）BC的长；（2）SABC,23,勾股定理的逆定理,二、教学内容分析及建议,探索,第一节内容: 体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理；,教学建议:1)在教学中不但要使学生掌握勾股定理逆定理的运用,还应掌握公式变形后的各种形式.例如:如果三条线段长a,b,c满足a2=b2- c2,这三条线段组成的三角形是不是直角三角形2)注意它和勾股定理的条件和结论,勾股定理是由形到数,而勾股定理的逆定理是由数到形,补充了直角三角形的判定方法.3

9、)注意及时总结.并归纳直角三角形的边角关系的有关定理,纳入知识体系,24,二、教学内容分析及建议,探索,第二节内容: 理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。灵活应用勾股定理及逆定理解决问题。,关于原命题、逆命题、逆定理的概念及关系的教学建议 学生已经见过一些互逆命题，在前面感性认识的基础上，结合本节课的两个定理提出逆命题和逆定理的概念，这些概念是第一次学习，要求不要过高。,第三节内容: 灵活应用勾股定理及逆定理解综合题，进一步加深勾股定理与其逆定理之间关系的认识。,勾股定理的逆定理,25,二、教学内容分析及建议,探索,1）如图，在ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC

10、=17。求ABC的面积。,分析及建议 这是一道综合运用勾股定理及其逆定理的题目,要先应用勾股定理的逆定理判定ADC为直角，再利用勾股定理即可，用这个题型使学生更清楚地认识勾股定理和逆定理的区别，分清它们的条件和结论。,勾股定理的逆定理,题型分析,26,二、教学内容分析及建议,探索,2) 如图，已知等腰ABC的底边BC=20cm，D是腰AB上一点，且CD=16cm，BD=12cm，求ABC的周长.,分析及建议 本题仍是综合运用勾股定理及其逆定理的题目,并结合图形的特点,要注意引导学生利用方程思想解题,题型分析,勾股定理的逆定理,27,二、教学内容分析及建议,探索,勾股定理的逆定理,题型分析,已知

11、：如图,四边形ABCD，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且ABBC.求S四边形ABCD.,点评：本题要恰当的添加辅助线，利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可。,28,二、教学内容分析及建议,探索,勾股定理的逆定理,题型分析,3)如图，点P是正三角形ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，则点P与点P之间的距离为 ，APB= .,点评：本题要构造直角三角形，难度较大，可以选作。,29,二、教学内容分析及建议,探索,勾股定理的逆定理,题型分析,借用以上这样的题型，让学生进一步体会勾股定理及其逆定理之间的关系,30,错解在RtABC中，因

12、为C90，AB15cm，BC12cm，所以由勾股定理，得AB2AC2+BC2，所以AC2AB2BC2,第一类,三、勾股定理学习中常见错解,探索,忽视利用勾股定理的解题格式,例1已知在RtABC中，C90，AB15cm，BC12cm，求AC的长,即AC的长是9cm,31,三、勾股定理学习中常见错解,探索,例2已知在ABC中，若ABBCAC，且AB10，BC8试求偶数AC的长错解在ABC中，因为ABBCAC，所以AB是斜边，由勾股定理，得AB2AC2+BC2，即AC2AB2BC2，又因为AB10，BC8，所以AC,即偶数AC的长是6剖析勾股定理适用的范围必须是在直角三角形中才能成立然而本题中并没有

13、说明是直角三角形，所以不能利用勾股定理求解,忽视勾股定理的存在条件,第二类,32,即第三条边的长是5cm,例3已知一个直角三角形的两条边是3cm和4cm，求第三条边的长错解因为直角三角形的两条边是3cm和4cm，所以由勾股定理，得第三条边，即斜边是,四、勾股定理学习中常见错解,探索,第三类,忽视直角三角形边的分类讨论,33,剖析受勾3股4的影响，误以为已知的3cm和4cm就是两条直角边，求第三条边的长就是斜边，当然是5了事实上，这里也并没有指明已知的两条边就是直角边，所以4cm可以是直角边，也可以是斜边，即应分情况讨论,例3已知一个直角三角形的两条边是3cm和4cm，求第三条边的长,四、勾股定

14、理学习中常见错解,探索,第三类,忽视直角三角形边的分类讨论,34,所以BCBD+ CD9+514故SABC,错解如图1，在RtADB和RtADC中，分别由勾股定理，得BD,四、勾股定理学习中常见错解,第四类,忽视对图形中高的分类讨论,例4已知：在ABC中，AB15cm，AC13cm，高AD12cm，求SABC,CD,BCA D,141284（cm2）,探索,35,四、勾股定理学习中常见错解,第四类,忽视对图形中高的分类讨论,例4已知：在ABC中，AB15cm，AC13cm，高A D12cm，求SABC,剖析由于给定的条件中并没有给出图形，所以求解时除了要考虑如图1的情况外，还要考虑如图2的情况

15、即要画出所有可能的图形错解时正是漏掉了如图2的情形,探索,36,错解如图3，作BDAC于D，则在RtABD和RtCBD中，分别由勾股定理，得BD2AB2AD2BC2CD2，即AB2AD2BC2(ACAD)2，所以82AD262(8AD)2，即AD,四、勾股定理学习中常见错解,第五类,例5已知：等腰三角形中，一边长是6cm，另一边是8cm，求一腰上的高,忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论,，所以BD,37,四、勾股定理学习中常见错解,探索,第五类,例5已知：等腰三角形中，一边长是6cm，另一边是8cm，求一腰上的高,忽视对等腰三角形底和腰的分类讨论,剖析对于已知等腰三角形的两边应分类讨论，漏解的原

16、因可能是只对图3中的一种情况计算，而忽视了如图4的情形,38,附1:勾股定理的历史,探索,课外拓展,人们对勾股定理的认识经历了从特殊到一般的过程，这在世界许多地区的数学原始文献中都有反映最早发现“勾三股四弦五”这一特殊关系的是古埃及人，这一事实可以追溯到公元前25世纪，中国古代数学家也较早独立发现并证明过勾股定理，而对它的应用更有许多独到之处。勾股定理一般情况的发现和证明，那要归功于古希腊的毕达哥拉斯。 勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年首先发现的。其实，我国古代得到人民对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。如果说大禹治水因年代

17、久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理，应该是非常恰当的。在稍后一点的九章算术一书中，勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“勾股各自乘，并，而开方除之，即弦。”,39,附1:勾股定理的历史,探索,课外拓展,古埃及人曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。 从古巴比伦的泥版书中，一块泥版上，刻的一个奇特数表（勾股数表）来看，古巴比伦人已认识了一般直角三角形的勾股定理。,40,附1:勾股定理的历史,探索,我国古代称直角三角形

18、中短的一条直角边为勾，长的一条直角边为股，斜边为弦，所以之一定理通常称为勾股弦定理，简称勾股定理。在周髀算经中叙述了西周开国时期（约公元前一千一百多年）周公和商高的对话，商高说：“股折矩以勾广三，股修四，经隅五。”说明已认识到这一定理的特例，所以又叫商高定理。,课外拓展,41,附1:勾股定理的历史,探索,课外拓展,我国有记载的最早勾股定理的证明，是三国时，我国古代数学家赵爽在他所著的勾股方圆图注中，用四个全等的直角三角形拼成一个中空的正方形来证明的。,每个直角三角形的面积叫朱实，中间的正方形面积叫黄实，大正方形面积叫弦实，这个图也叫弦图。也是2002年8月20日28日 在我国首都北京举办的第2

19、4届国际数学家大会会标. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会,42,附1:勾股定理的历史,探索,课外拓展,在西方，这个定理叫“毕达哥拉斯定理”，一般认为是古希腊数学家毕达哥拉斯于公元前五百五十年左右发现并证明的。相传，毕达哥拉斯发现这一定理时，曾宰牛百千，广设盛宴，表示庆贺，对这个定理的重视可想而知。,43,附2:有关勾股定理的资料,探索,毕达哥拉斯,44,附2:有关勾股定理的资料,探索,周髀算经,周髀算经是解释“盖天说”的天文学著作，大约成书于公元前一世纪。书中有矩（一种量直角、画矩形的工具）的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容。,周髀算经是解

20、释“盖天说”的天文学著作，大约成书于公元前一世纪。书中有矩（一种量直角、画矩形的工具）的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容。,45,附2:有关勾股定理的资料,探索,赵 爽,周髀算经是解释“盖天说”的天文学著作，大约成书于公元前一世纪。书中有矩（一种量直角、画矩形的工具）的用途，勾股定理及其在测量上的应用，相似直角三角形对应边成比例定理等数学内容。,赵爽是三国时期东吴的数学家（公元三世纪初），曾注周髀算经。他所作的周髀算经注中有一篇勾股方圆图注全文五百余字，并附有六幅插图，这篇注文简洁的总结了东汉时期勾股算术的重要成果，最早给出并证明了有关勾股弦三边及其和

21、、差关系的二十多个命题，它的证明主要是依据几何图形面积的换算关系。,46,附3:勾股定理的证明,探索,课外拓展,勾股定理是几何中一个非常重要的定理，自古以来人们进行了大量的长期的研究，目前世界上可查到的证明方法有几百种。,47,附3:勾股定理的证明,探索,证明方法一,火柴盒的倒下,48,附3:勾股定理的证明,探索,证明方法二,赵爽勾股方圆图注中的证明方法,49,附3:勾股定理的证明,探索,证明方法三,课本P80中的证明方法,50,附3:勾股定理的证明,a2+b2=c2,探索,证明方法四,51,“总统”证法,(a + b)(b + a)=c2 + 2ab a2 + 2ab + b2=c2 +2 ab a2 + b2=c2,a,a,b,b,c,c,附3:勾股定理的证明,探索,证明方法五,