正弦三角函数的图像与性质课件.ppt

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1、1.4 三角函数的图象与性质,1.4.1正弦函数、余弦函数的图象,1,2.任意给定一个实数x，对应的正弦值（sinx）、余弦值(cosx)是否存在？惟一？,问题提出,1.在单位圆中，角的正弦线、余弦线分别是什么？,sin=MP,cos=OM,2,4.一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？,3.设实数x对应的角的正弦值为y，则对应关系y=sinx就是一个函数，称为正弦函数；同样y= cosx也是一个函数，称为余弦函数，这两个函数的定义域是什么？,3,正、余弦函数的图象,4,知识探究（一）：正弦函数的图象,思考1：作函数图象最原始的方法是什么？,

2、思考2：用描点法作正弦函数y=sinx在0，2内的图象，可取哪些点？,思考3：如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出y=sinx在0，2内的图象？,5,x,y,1,-1,O,2,思考4：观察函数y=sinx在0，2内的图象，其形状、位置、凸向等有何变化规律？,6,思考5：在函数y=sinx，x0，2的图象上，起关键作用的点有哪几个？,7,思考6：当x2，4, -2，0,时，y=sinx的图象如何？,8,思考7：函数y=sinx，xR的图象叫做正弦曲线，正弦曲线的分布有什么特点？,9,思考8：你能画出函数y=|sinx|，x0，2的图象吗？,10,知识探究（二）：余弦函数的图象,思考1：

3、观察函数y=x2与y=(x1)2 的图象，你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？,11,思考2：一般地，函数y=f(xa)(a0)的图象是由函数y=f(x)的图象经过怎样的变换而得到的？,向左平移a个单位.,思考3：设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象，那么先要将余弦函数y=cosx转化为正弦函数，你可以根据哪个公式完成这个转化？,12,思考4：由诱导公式可知，y=cosx与 是同一个函数，如何作函数 在0，2内的图象？,13,思考5：函数y=cosx，x0，2的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？,14,思考6：函数y=cosx，xR的图象叫做余弦曲线，怎样画出余弦曲线，余弦曲线的分

4、布有什么特点？,15,理论迁移,例1 用“五点法”画出下列函数的简图： (1)y=1+sinx，x0，2； (2)y=-cosx，x0，2 .,16,y=1+sinx,17,y=-cosx,18,例2 当x0，2时，求不等式 的解集.,19,小结作业,1.正、余弦函数的图象每相隔2个单位重复出现，因此，只要记住它们在0，2内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线.,2.作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法.,20,3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想.,作业：P34练习：2

5、P46习题1.4 A组: 1,21,第一课时,1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,22,问题提出,1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？,23,2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺.这种现象在数学上称为周期性，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质.,24,函数的周期性,25,知识探究（一）：周期函数的概念,思考1：由正弦函数的图象可知, 正弦曲线每相隔2个单位重复出现， 这一规律的理论依据是什么？,.,思考2：设f(x)=sinx，则 可以怎样表示？其数学意义如何？,26,思考3：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=s

6、inx称为周期函数，2k为这个函数的周期.一般地，如何定义周期函数？,对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.,27,思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？,思考5：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.那么, 正弦函数的最小正周期是多少？为什么？,28,正、余弦函数是周期函数，2k（kZ, k0）都是它的周期，最小正周期是2,思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？,29,知

7、识探究（二）：周期概念的拓展,思考1：函数f(x)=sinx（x0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x0）是否为周期函数？,思考2：函数f(x)=sinx（x0）是否为周期函数？函数f(x)=sinx（x3k）是否为周期函数？,思考3：函数f(x)=sinx，x0，10是否为周期函数？周期函数的定义域有什么特点？,30,思考4：函数y=3sin(2x4)的最小正周期是多少？,思考6：如果函数y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(x)的周期是多少？,31,理论迁移,例2 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？,32,例3 已知定义在R上的

8、函数f(x)满足f(x1)=f(x1)，且当x0，2时，f(x)=x4，求f(10)的值.,33,小结作业,1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数T，使f(xT)=f(x)恒成立.,2.周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期.,3.周期函数的周期有许多个，若T为周期函数f(x)的周期，则T的整数倍也是f(x)的周期.,34,4.函数 和 的最小正周期都是 ，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用.,作业：P36练习：1，2，3.,35,1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,第二课时,36,问题提出,1.

9、周期函数是怎样定义的？,对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x +T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.,37,2.正、余弦函数的最小正周期是多少？函数 和 的最小正周期是多少？,3.周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究.,38,函数的奇偶性、单调性与最值,39,探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性,思考1：观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？,40,思考2：上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证

10、？,正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.,41,思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？,正弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数.,42,思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？,余弦函数在每一个闭区间上都是增函数；在每一个闭区间 上都是减函数.,43,思考5：正弦函数在每一个开区间（2k， 2k） (kZ)上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？,44,探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性,思考1：观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，

11、其最大值和最小值分别为多少？,思考2：当自变量x分别取何值时，正弦函数y=sinx取得最大值1和最小值1？,正弦函数当且仅当 时取最大值1, 当且仅当 时取最小值-1,45,思考3：当自变量x分别取何值时，余弦函数y=cosx取得最大值1和最小值1？,余弦函数当且仅当 时取最大值1, 当且仅当 时取最小值-1.,46,思考4：根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？函数y=Asinx（A0）的值域是什么？,思考5：正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？,正弦曲线关于点（k，0）和直线 对称.,-|A|，|A|,47,思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直

12、线对称？,余弦曲线关于点 和直线x=k对称.,48,理论迁移,49,例3 求函数 ，x2，2的单调递增区间.,例2 比较下列各组数的大小:,50,小结作业,1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握.,2.正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.一般地，y=Asinx是奇函数，y=Acosx（A0）是偶函数.,51,作业：P40-41练习：1，2，3，5，6.,3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理.,52,1.4.3 正切函数的图象与性质,53,问题提出,1.正、余弦函数的图象是通

13、过什么方法作出的？,2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？,3.三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质， 因此, 进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然.,54,正切函数的图象和性质,55,知识探究（一）：正切函数的性质,思考1：正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？,思考2：根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？,正切函数是周期函数，周期是.,56,思考3：函数 的周期为多少？一般地，函数 的周期是什么？,思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？,正切函数是奇函数,57,思考5

14、：观察下图中的正切线，当角x在 内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？,58,思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？,正切函数在开区间 都是增函数,思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？,59,思考8：当x大于 且无限接近 时，正切值如何变化？当x小于 且无限接近 时, 正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么?,正切函数的值域是R.,60,知识探究（一）：正切函数的图象,思考1：类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间 的图象，具体应如何操作？,61,思考2：上图中,直线 和 与正切函数的图象的位

15、置关系如何？图象的凸向有什么特点？,思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？,62,思考4：正切函数在整个定义域内的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？,正切曲线关于点 对称.,思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？一条平行于x轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？,63,理论迁移,例1 求函数 的定义域、周期和单调区间.,例2 试比较tan8 和tan( )的大小.,例3 若 ，求x 的取值范围.,64,小结作业,1.正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支相同形状的曲

16、线组成,且关于点 对称, 正切函数的性质应结合图象去理解和记忆.,2.正切曲线与x轴的交点及渐近线,是确定图象形状、位置的关键要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲线.,65,3.研究正切函数问题时,一般先考察 的情形, 再拓展到整个定义域.,作业:P45练习:2，3，4，6.,66,三角函数的图象与性质 习题课,67,例1 求下列函数的定义域和值域: (1) ； (2) .,例2 已知函数 的最小正周期为，当 时，求f(x)的最大值和最小值.,68,例3 确定下列函数的奇偶性：（1） ；（2） .,例4 已知函数 在区间 上是减函数，求a的取值范围.,69,例6 已知函数f(x)=cos2x+sinx+a，若对任意xR都有 成立，求实数a的取值范围.,例5 把函数 的图象向右平移a个单位得曲线C，若曲线C关于直线 对称，求a的最小值.,70,作业:P46习题1.4A组:2，10.P47习题1.4B组: 1，2.,71,