一维射影几何学课件.ppt

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1、1,第三章 一维射影几何学,3.1 点列和线束 3.2点列的交比,本章教材分析3.1 点列和线束一、一维基本图形二、一维基本图形示例3.2 点列的交比一、点列中四点的交比二、交比的性质三、有关交比的例题,2,3,第三章 一维射影几何学,本章内容,重点介绍一维射影几何学，讨论的是一维几何图形，即用一个独立参数描写的几何图形（即点列和线束）；引进射影不变量交比；讨论两个基本图形间的关系一维射影几何基本定理。此外，还要讨论两个特殊的一维射影对应：透视对应、对合对应。,本章教材分析,4,3.1 点列和线束,一、一维基本图形,(1) 点列(同一直线上点的集合),记号,l(A,B,C,) 或 l(P),底

2、,元素,(1) 线束(平面上过同一点的直线的集合),记号,L(a,b,c,) 或 L(p),束心,元素,（2）点列和线束统称为一维几何图形（流形），它们互为对偶图形。,5,（4）设有两线l(a)、m(b)，它们确定一个交点L，通过L的任意一条直线u可表为：,（3）取定直线l上的两点A(a)、B(b)a= b= ,则l上任一点M（x）可表为：,3.1 点列和线束,一、一维基本图形,6,3.1 点列和线束,(5)在一维几何基本图形中，a,b称为基底元素，为简便起见，参数就用表示， =0时表示基底元素a，规定=时表示基底元素b.,一、一维基本图形,例：,7,二、一维基本图形示例,3.1 点列和线束,

3、设有共线三点x=(-1,-1,1),y=(1,0,-2),z=(1,-2,-4),试将z表为x,y的线性组合。,8,3.2 点列的交比,一、点列中四点的交比,1.概念,交比 最根本的射影不变量,定义. 设A, B, C, D为点列l(P)中四点, 且A B. 把(AB,CD)表示为这共线四点构成的一个交比. 定义为,(3.1),易见，交比是简比的比：,证明思路分析：由于交比是简比的比，而简比又是分割比的相反数，可以先将这四点的齐次坐标化为非齐次坐标，再用A,B的非齐次坐标线性表示C,D的非齐次坐标，利用定比分割公式，易求点C、D分割A、B的分割比分别是：,9,3.2 点列的交比,一、点列中四点

4、的交比,(3.2),定理3.1. 设取A,B为基底，将这四点的齐次坐标顺次表为a, b, 则,10,3.2 点列的交比,定理3.2 设点列l(P)中四点A、B、C、D的齐次坐标为p+iq(i=1,2,3,4). 则,(3.3),一、点列中四点的交比,11,证明定理3.2. 重新选择A, B,为基点，参数表示C, D. 设,从中解出p, q, 得,于是， A, B, C, D的坐标可表示为,p+1q=r, p+2q=s.,由定理3.1，有,3.2 点列的交比,推论：设点列上四点A、B、C、D的齐次坐标为,12,3.2 点列的交比,一、点列中四点的交比,例1（习题3.4）：求四点(2,1,-1),

5、(1,-1,1),(1,0,0),(1,5,-5)顺这次序的交比。,13,3.2 点列的交比,一、点列中四点的交比,解：取(2,1,-1),(1,-1,1)为基点，将其余两点表为它们的线性组合。易求 (1,0,0) (2,1,-1)+ (1,-1,1)， (1,5,-5) (2,1,-1)- 3/2(1,-1,1)，故所求交比为：,例2：已知A、B分别是y轴、x轴上的无穷远点，C是斜率为1的直线上的无穷远点，且（AB,CD）=3,求D的坐标。,14,3.2 点列的交比,一、点列中四点的交比,解：按题设条件，点A,B,C的坐标分别为： A(0,1,0),B(1,0,0),C(1,1,0).取A、

6、B为基底，则由(1,1,0) (0,1,0)+ (1,0,0)得出 =1.设DA+B，于是 3=(AB,CD)= /=1/得=1/3，故D点的坐标为（1/3，1，0）或(1，3，0).,15,1.交比的组合性质 显然，共线四点的交比值与这四点在交比记号中的次序有关. 改变次序一般会改变交比值.因此，依次序不同，共线四点可以构成4!=24个交比.下面来探讨这24个交比的规律.,3.2 点列的交比,二、交比的性质,定理3.3.将某两点互换，同时互换其余两点，则交比不变。,定理3.4.只限于一对点之间的交换，则交比值转变为其倒数。即,定理3.5.交换中间两点，则交比值转化为1与原值之差: (AC,B

7、D)=1-(AB,CD),16,3.2 点列的交比,二、交比的性质,定理3.3定理3.5说明： （1）共线四点的排列虽有4!=24个，但其互异之值只有6个，若记(AB,CD)=，则6个互异交比值为 ：,1.交比的组合性质,（2）不考虑复点及四点重合的情况，当且仅当（AB,CD）=-1时，交比值为：-1,2.定义：若（AB,CD）=-1，则称C、D调和分割线段AB，或称C、D 对线段AB成调和共轭点偶。注意：在调和分割中，两对点的关系是完全对等的。 C、D调和分割线段AB时，一为内分点，另一为外分点。调和分割是交比研究的一个重要特例，由此，可引出交比的几何性质。,17,3.2 点列的交比,二、交比的性质,1.交比的组合性质,（1）三角形中一个角的内角和外角平分线和对边的交点，调和分割对边。 （2）一线段被它的中点和这直线上的无穷远点所调和分割。（详见教材P37）,18,3.2 点列的交比,二、交比的性质,2.交比的几何性质,19,3.2 点列的交比,二、交比的性质2.交比的几何性质证明定理3.6：（必要性）,20,3.2 点列的交比,二、交比的性质2.交比的几何性质证明定理3.6：（充分性）,例3,21,3.2 点列的交比,三、有关交比的例题,