高等数学多元函数微分法及其应用ppt课件.ppt

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1、1,多元函数微分法及其应用,第七章,习题课,一、关于多元函数极限的题类,二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类,三、关于偏导数、全微分计算的题类,四、关于多元函数微分学应用的题类,1.几何应用.,2.极(最)值,2,本章基本概念及其关系,连续性,偏导数存在,方向导数存在,可微性,1. 多元函数的定义、极限 、连续,定义域及对应规律,判断极限不存在及求极限的方法,函数的连续性及其性质,2. 几个基本概念的导出关系,3,【必须熟练掌握本章以下几个概念之间的关系】,4,一、关于多元函数极限的题类,二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多，计算也更困难：,【例1】,【解】,取路径 y = k x

2、，则,与k有关,故不存在.,【例2】,初等函数.(1,0)定义域内点.连续.代入法,【例3】,换元,化为一元函数的极限,5,【阅读与练习】,求下列极限,【解】,【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧,6,【例4】,【解】,由于,且,故原极限=0,夹逼准则,(4) 【法】,【法】,夹逼准则,7,二、关于多元函数连续、偏导数存在、可微的题类,1.一般来说，讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可偏导性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断.,连 续,可偏导,可 微,内含三条，缺一不可,包括高阶偏导数定义等,8,2.【二元函数在区

3、域内的偏导数】,9,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 处,3.【多元函数的偏导数】,10,4. 【偏导数的几何意义】,如图,11,12,【5.几何意义】,13,【例1】,【解】,14,【解】,15,【证】,原结论成立,【证完】,16,例4. 计算函数,在点 (2,1) 处的全微分.,解:,例5. 计算函数,的全微分.,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,?,17,作业 p100 同济p62, p69,18,三、关于高阶偏导数、全微分计算的题类,二阶纯偏导数,二阶混合偏导数,1. 【高阶偏导数的定义】,19,【定义式】,其余

4、类推,(2) 同样可得：三阶、四阶、以及n 阶偏导数。,(3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。,【解】,20,【解】,21,例3. 求函数,解 :,注意:此处,但这一结论并不总成立.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,的二阶偏导数及,22,(4)【问题】,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,即混合偏导数与求导次序无关.,23,2. 【多元复合函数求导法则】,(1) 【可导充分条件】内层函数偏导存在, 外层函数偏导连续,(2) 【复合函数求导链式法则】,全导数,24,例1. 设,解:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,25,【例2】,【解】,【注意】,26,例3.,解:,

5、机动 目录 上页 下页 返回 结束,27,【例4】,【解】,【分析】抽象函数无中间变量,引入记号f 1 , f 12等.,28,为简便起见 , 引入记号,例5. 设,f 具有二阶连续偏导数,求,解: 令,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,作业 p100 同济p69,p75,29,3.【全微分】 全微分各偏微分之和,u,v是自变量或中间变量,4.【隐函数的求导法则】,(1)公式法,(2)推导法(直接法)方法步骤,x、y、z 等各变量地位等同,公式不必记,要求掌握推导法,解由得到的方程(组), 解出要求的偏导数.,形式不变性,搞清哪个(些)是因变量、中间变量、自变量；,将方程(组)两边同时对

6、某个自变量求(偏)导；,其余自变量的偏导数同理可求.,30,例1. 设,解法1 利用隐函数求导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,再对 x 求导,31,解法2 利用公式,设,则,两边对 x 求偏导,机动 目录 上页 下页 返回 结束,32,例2. 设,解:,方程组两边对 x 求导，并移项得,求,练习: 求,机动 目录 上页 下页 返回 结束,答案:,由题设,故有,33,【例3】,【解】,【分析】,确定y=y(x), z=z(x), u=u(x)三方程两边同时对x求导.,于是可得,34,【例4】,【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.,【解】,公式法,x,y,z .地位等同,35,【解】 推导

7、法（直接法）,【例4】,【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.,z是x,y的函数,两边同时对y求导,36,【解】全微分法,【例4】,【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数.,（作业 p100 同济p89）,37,四、关于多元函数微分学应用的题类,1.【几何应用】,空间曲线有切线和法平面,退化情形,(P85; 同济p94),38,空间曲面有切平面和法线,退化情形,(P88; 同济p98),39,【例1】,【解】,方程、法线方程和向上法线的方向余弦.,切平面,法 线,向上法线方向与z 轴正向夹角为锐角，故所求方向余弦为,40,【解】,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面

8、，得,【分析】为隐式情形（待定常数法）,41,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程(1),切平面方程(2),42,【解】,切线方程,法平面方程,43,【例4】,【解】,【分析】,空间曲线方程为一般式，理论上化为参数式，再用隐函数求导的推导法（直接法）求导.,曲线方程为,切 线：,法平面：,（即P87例2同济p96例5）,（作业 p105 同济p100）,44,二元函数极值的判定定理,2.【极(最)值】,45,【解】,（此为隐函数的极值问题）,46,47,求出实数解，得驻点.,48,条件极值的求法,法:化为无条件极值（如例1）,法:拉格朗日乘数法,对三元以上的函数特别有用,（2）【拉格朗日乘数法】,49,【例1】,【解】,【分析】,50,得,用拉格朗日乘数法,51,（作业 p105 同济p118）,