高等数学（下）曲线曲面积分课件.ppt

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1、,第十章,积分学 定积分二重积分三重积分,积分域 区间域 平面域 空间域,曲线积分,曲线域,曲面域,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分,对坐标的曲线积分,对面积的曲面积分,对坐标的曲面积分,曲面积分,曲线积分与曲面积分,格林公式,高斯公式与斯托克斯公式,第一节,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,二、对弧长的曲线积分的计算法,对弧长的曲线积分,第十章,一、对弧长的曲线积分的概念与性质,假设曲线形细长构件在空间所占,其线密度为,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,可得,为计算此构件的质量,1.引例: 曲线形构件的质量,采用,设 是空间中一条有限长的光滑曲线,义在 上的一个有界函数,都存在,

2、上对弧长的曲线积分,记作,若通过对 的任意分割,局部的任意取点,2.定义,下列“乘积和式极限”,则称此极限为函数,在曲线,或第一类曲线积分.,称为被积函数，, 称为积分弧段 .,曲线形构件的质量,和对,如果 L 是 xoy 面上的曲线弧 ,如果 L 是闭曲线 , 则记为,则定义对弧长的曲线积,分为,思考:,(1) 若在 L 上 f (x, y)1,(2) 定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例 ?,否!,对弧长的曲线积分要求 ds 0 ,但定积分中,dx 可能为负.,3. 性质,（k 为常数),( 由 组成),( l 为曲线弧 的长度),(5)对称性与二重积分类似,L关于y轴对称,轮换对称性,(

3、6)可将重心，转动惯量推广到曲线弧上,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路:,计算定积分,定理:,且,上的连续函数,是定义在光滑曲线弧,则曲线积分,求曲线积分,说明:,(1)因此积分限必须满足,(2) 注意到,因此上述计算公式相当于“换元法”.,如果曲线 L 的方程为,则有,如果方程为极坐标形式:,则,推广: 设空间曲线弧的参数方程为,则,例1. 计算,其中 L 是抛物线,与点 B (1,1) 之间的一段弧 .,解:,上点 O (0,0),例2. 计算,其中L为双纽线,解: 在极坐标系下,它在第一象限部分为,利用对称性 , 得,例3. 计算曲线积分,其中为螺旋,的一段弧.,解:,线,例4.

4、计算,其中为球面,被平面 所截的圆周.,解: 由对称性可知, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧, 对光滑曲线弧,内容小结,思考与练习,1. 已知椭圆,周长为a , 求,提示:,原式 =,利用对称性,2. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为,(1) 求它关于 z 轴的转动惯量,(2) 求它的质心 .,解: 设其密度为 (常数).,(2) L的质量,而,(1),故重心坐标为,第二节,一、对坐标的曲线积分的概念 与性质,二、 对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分之间的联系,对坐标的曲线积分,第十章,一、 对坐标的曲线积分的概念与性质,1. 引例: 变力沿曲线所作的功.,设一质点受如下变力作用,在 xoy

5、平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B,求移,“大化小”,“常代变”,“近似和”,“取极限”,变力沿直线所作的功,解决办法:,动过程中变力所作的功W.,2. 定义.,设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑,弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,都存在,在有向曲线弧 L 上,对坐标的曲线积分,则称此极限为函数,或第二类曲线积分.,其中,L 称为积分弧段 或 积分曲线 .,称为被积函数 ,在L 上定义了一个向量函数,极限,3. 性质,(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) 用L 表示 L 的反向弧 , 则,则,定积分是第二类曲线积分的特例.,说明:,对

6、坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !,二、对坐标的曲线积分的计算法,定理:,在有向光滑弧 L 上有定义且,L 的参数方程为,则曲线积分,连续,存在, 且有,如果曲线 L 的方程为,则有,例1. 计算,其中L 为沿抛物线,解法1 取 x 为参数, 则,解法2 取 y 为参数, 则,从点,的一段.,例2. 计算,其中 L 为,(1) 半径为 a 圆心在原点的,上半圆周, 方向为逆时针方向;,(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ).,解: (1) 取L的参数方程为,(2) 取 L 的方程为,则,则,例3. 计算,其中L为,(1) 抛物线,(2) 抛物线,(3)

7、 有向折线,解: (1) 原式,(2) 原式,(3) 原式,三、两类曲线积分之间的联系,设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为,已知L切向量的方向余弦为,则两类曲线积分有如下联系,例4.,将积分,化为对弧长的积,分,解：,其中L 沿上半圆周,1. 定义,2. 性质,(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧,(2) L 表示 L 的反向弧,对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!,内容小结,3. 计算, 对有向光滑弧, 对有向光滑弧,4. 两类曲线积分的联系, 对空间有向光滑弧 :,第三节,一、格林公式,二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件,格林公式及其应用,第十章,区域 D 分类,单连

8、通区域 ( 无“洞”区域 ),复连通区域 ( 有“洞”区域 ),域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左,定理1. 设区域 D 是由分段光滑曲线 L 围成,则有,( 格林公式 ),函数,在 D 上具有连续一阶偏导数,一、 格林公式,其中L是的取正向的边界曲线,说明：,（1）格林公式对光滑曲线围成的闭区域均成立；,（2）在一定条件下可以用二重积分计算曲线积分，也 可以用曲线积分计算二重积分。,（4）几何应用：,正向闭曲线L 所围区域 D 的面积,（在格林公式中，取,则有,),（3）对于复连通区域D，公式右端应包括D的全部边 界的曲线积分，且边界的方向对D来说都是正方向。,推论: 正向闭曲线 L 所

9、围区域 D 的面积,格林公式,例如, 椭圆,所围面积,例1.设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明,证: 令,则,利用格林公式 , 得,？,例2. 计算,其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,B(0,1) 为顶点的三角形闭域 .,解: 令, 则,利用格林公式 , 有,例3.计算,其中L是曲线,上从点(0,0)到点,的一段。,解：添加,为,围成的封闭区间,例4. 计算,其中L为一无重点且不过原点,的分段光滑正向闭曲线.,解: 令,设 L 所围区域为D,由格林公式知,在D 内作圆周,取逆时,针方向, 对区域,应用格,记 L 和 l 所围的区域为,林公式 , 得,二、平面上曲线积分与路径无

10、关的等价条件,定理2. 设D 是单连通域 ,在D 内,具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有,(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分,(3),(4) 在 D 内每一点都有,与路径无关, 只与起止点有关.,函数,则以下四个条件等价:,在 D 内是某一函数,的全微分,即,说明:,根据定理2 , 若在某区域内,则,2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:,及动点,或,则原函数为,若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;,取定点,1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;,例5. 计算,

11、其中L 为上半,从 O (0, 0) 到 A (4, 0).,解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段,它与L 所围,原式,圆周,区域为D , 则,例5. 验证,是某个函数的全微分, 并求,出这个函数.,证: 设,则,由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使,。,。,积分与路径无关,例6.计算,其中,为自点A(-1,0),沿,至B(2,3)的弧段（如图）,解：由题知,构造一个单连通域G，积分在G内与路径,则,G,无关，,内容小结,1. 格林公式,2. 等价条件,在 D 内与路径无关.,在 D 内有,对 D 内任意闭曲线 L 有,在 D 内有,设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数,

12、 则有,第四节,一、对面积的曲面积分的概念与性质,二、对面积的曲面积分的计算法,对面积的曲面积分,第十章,一、对面积的曲面积分的概念与性质,引例: 设曲面形构件具有连续面密度,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,求质,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).,定义:,设 为光滑曲面,“乘积和式极限”,都存在,的曲面积分,其中 f (x, y, z) 叫做被积,据此定义, 曲面形构件的质量为,曲面面积为,f (x, y, z) 是定义在 上的一,个有界函数,或第一类曲面积分.,若对 做

13、任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积,函数, 叫做积分曲面.,则对面积的曲面积分存在., 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,在光滑曲面 上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似., 积分的存在性.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,二、对面积的曲面积分的计算法,则曲面积分,说明:,可有类似的公式.,1) 如果曲面方程为,2) 若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS,的表达式 ,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的,二重积分.,例1. 计算曲面积分

14、,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,例2. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,例3.,设,计算,解: 锥面,与上半球面,交线为,为上半球面夹于锥面间的部分,它在 xoy 面上的,投影域为,则,内容小结,1. 定义:,2. 计算: 设,则,(曲面的其他两种情况类似),注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式,简化计算的技巧.,第五节,一、有向曲面及曲面元素的投影,二、 对坐标的曲面积分的概念与性质,三、对坐标的曲面积分的计算法,四、两类曲面积分的联系,对坐标的曲面积分,第十章,一、有向曲面及曲面元素的投影, 曲

15、面分类,双侧曲面,单侧曲面,莫比乌斯带,曲面分上侧和下侧,曲面分内侧和外侧,曲面分左侧和右侧,(单侧曲面的典型),其方向用法向量指向,方向余弦, 0 为前侧 0 为后侧,封闭曲面, 0 为右侧 0 为左侧, 0 为上侧 0 为下侧,外侧内侧, 设 为有向曲面,侧的规定,指定了侧的曲面叫有向曲面,表示 :,其面元,在 xoy 面上的投影记为,的面积为,则规定,类似可规定,设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个,意分割和在局部面元上任意取点,分,记作,P, Q, R 叫做被积函数;, 叫做积分曲面.,或第二类曲面积分.,下列极限都存在,向量场,若对 的任,二. 定义.,引例中, 流过有向曲面 的

16、流体的流量为,称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;,称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.,称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分;,若记 正侧的单位法向量为,令,则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式,3. 性质,(1) 若,之间无公共内点, 则,(2) 用 表示 的反向曲面, 则,三、对坐标的曲面积分的计算法,定理: 设光滑曲面,取上侧,是 上的连续函数, 则, 若,则有, 若,则有,(前正后负),(右正左负),说明:,如果积分曲面 取下侧, 则,例1. 计算,其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方,体的整个表面的外侧.,解:,利用对称性.,原式, 的顶部,取

17、上侧, 的底部,取下侧,解: 把 分为上下两部分,思考: 下述解法是否正确:,例2. 计算曲面积分,其中 为球面,外侧在第一和第八卦限部分.,四、两类曲面积分的联系,曲面的方向用法向量的方向余弦刻画,令,向量形式,例4. 设,是其外法线与 z 轴正向,夹成的锐角, 计算,解:,例5. 计算曲面积分,其中,解: 利用两类曲面积分的联系, 有, 原式 =,旋转抛物面,介于平面 z= 0,及 z = 2 之间部分的下侧.,原式 =,面积分,第一类 (对面积),第二类 (对坐标),二重积分,(1) 统一积分变量,代入曲面方程 (方程不同时分片积分),(2) 积分元素投影,第一类： 面积投影,第二类：

18、有向投影,(4) 确定积分域,把曲面积分域投影到相关坐标面,注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.,转化,内容小结,当,时，,（上侧取“+”, 下侧取“”),类似可考虑在 yoz 面及 zox 面上的二重积分转化公式 .,第六节,Green 公式,Gauss 公式,推广,一、高斯公式,二、通量与散度,高斯公式 通量与散度,第十章,一、高斯 ( Gauss ) 公式,定理1. 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲, 上有连续的一阶偏导数 ,函数 P, Q, R 在,面 所围成, 的方向取外侧,则有,(Gauss 公式),例1. 用Gauss 公式计算,其中 为柱面,闭域 的整个边界曲面的外侧.,解:

19、 这里,利用Gauss 公式, 得,原式 =,(用柱坐标),及平面 z = 0 , z = 3 所围空间,思考: 若 改为内侧, 结果有何变化?,例2. 利用Gauss 公式计算积分,其中 为锥面,解: 作辅助面,取上侧,介于 z = 0 及,z = h 之间部分的下侧.,所围区域为,则,利用重心公式, 注意,例3.,设 为曲面,取上侧, 求,解:,作取下侧的辅助面,用柱坐标,用极坐标,定义:,设有向量场,其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数, 是场内的一片有向,则称,曲面,有向曲面 的通量(流量) .,在场中点 M(x, y, z) 处,divergence,三、通量与散度,内容小结,1.

20、 高斯公式及其应用,公式:,应用:,(1) 计算曲面积分,(非闭曲面时注意添加辅助面的技巧),(2) 推出闭曲面积分为零的充要条件:,2. 通量与散度,设向量场,P, Q, R, 在域G内有一阶 连续,偏导数,则,向量场通过有向曲面 的通量为,G 内任意点处的散度为,二、环流量与旋度,斯托克斯公式,环流量与旋度,第七节,一、斯托克斯公式,第十章,一、 斯托克斯( Stokes ) 公式,定理1. 设光滑曲面 的边界 是分段光滑曲线,(斯托克斯公式),个空间域内具有连续一阶偏导数, 的,侧与 的正向符合右手法则,在包含 在内的一,则有,注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯公式

21、就是格林公式,故格林公式是斯托克斯公式的特例.,为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作:,或用第一类曲面积分表示:,例1. 利用斯托克斯公式计算积分,其中为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个,解: 记三角形域为, 取上侧,则,边界, 方向如图所示.,利用对称性,例2. 为柱面,与平面 y = z 的交线,从 z,轴正向看为顺时针, 计算,解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 ,且取下侧,利用斯托克斯公式得,则其法线方向余弦,三、 环流量与旋度,斯托克斯公式,设曲面 的法向量为,曲线 的单位切向量为,则斯托克斯公式可写为,令, 引进一个向量,定义:,沿有向闭曲线 的环流量.,或,于是得斯托克斯公式的向量形式 :,旋度 .,rotation,的外法向量,计算,解:,例3. 设,内容小结,1. 斯托克斯公式,3. 场论中的三个重要概念,设,梯度:,散度:,旋度:,则,方向倒数,通量,环流量,