线性代数及群论基础课件.ppt
《线性代数及群论基础课件.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《线性代数及群论基础课件.ppt(73页珍藏版)》请在三一办公上搜索。
1、1,1.4.4、线性代数及群论基础,4.1. 线性代数基础选讲4.2. 群论基础4.3. 群论应用举例,2,4.1. 线性代数基础选讲,什么是线性代数? 线性(linear),指量与量之间按比例、成直线的关系,在数学上可以理解为一阶导数为常数的函数;非线性non-linear则指不按比例、不成直线的关系,一阶导数不为常数。 线性代数(Linear Algebra)是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科。它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。,3,线性代数主要内容:,、行列式 、矩阵(本课介绍)、向量组的相关性、矩阵的秩 、线性
2、方程组、相似矩阵与二次型,4,在解析几何中,如图1把向量OP=(x,y)变为另一个向量OP=(x,y)或把点P (x,y)变为另一个点P (x,y),即在平面上绕原点O做角度的旋转变换,此时新变量(x,y)与旧变量的关系为:,(1),P (x,y),P (x,y),X,Y,Z,图 1,1.线性变换和线性变换的矩阵,O,这种把新变量经由旧变量线性表出,变量的这种代换通常称为线性变换。,5,2.线性变换定义,定义1 : 把新变量Y 1,Y2Ym用旧变量 X 1,X2Xn齐次线性表出的代换:,称为把变量X 1,X2Xn换位新变量Y 1,Y2Ym的线性变换,其中aij(i =1,2m; j = 1,2
3、n)是数。,6,把线性变换(2)的系数aij按原有的相对位置排成一个表就得一个m行n列的矩阵,称为线性变换(2)的矩阵。,a11 a12 a1n,a21 a22 a2n,am1 am2 amn,(3),. . . . . . . .,7,定义2,mn个数所排成的m行n列的表(3)称为一个m行n列的矩阵(简称mn型矩阵),横的各排称为矩阵(3)的行,而纵的排列称为矩阵(3)的列。Aij称为矩阵(3)的第i行第j列的元素,或矩阵(3)的(ij)元素。,通常用A代表矩阵(3),也可以把矩阵(3)记作(aij)或(aij)mn 或 A mn ,特别如果 m = n,则称(3)为n级方阵或n级矩阵。,8
4、,必须指出 从矩阵与行列式的记号外表来看,它们是很类似的,但它们是两个完全不同的概念。一般的说行列式是一个数量,只是为了方便,才把它写成正方阵列外加两条垂直线的形状,至于阵列,一般的说,它既不是数也不是一个函数,而是有某些元素所排成的矩形阵列本身。 例如:,是一个二级矩阵,,9,而行列式,23 4,之值等于-2,可以说矩阵A的行列式为-2,记作A=-2. 线性变换和它的矩阵是密切关联着的。它们之间存在一一对应的关系。有线性变换(2)的系数唯一的确定一个m行n列的矩阵A,反之,给定了一个m行n列的矩阵A,就有唯一的一个以A为它的矩阵的线性变换(2)。,10,二.矩阵的乘法,当在线性变换(2)之后
5、施行线性变换即连续施行两个线性变换:,Z1=b11y1+b12y2+b1mymZ2=b21y1+b22y2+b2mym Zp=bp1y1+bp2y2+bpmym,(4),11,或 ZK= bkiyi (k=1, 2, p) (4)它的对应矩阵是,i=1,m,12,把(2)中Y 1,Y2Ym的表示式代入(4)得到 Zk=bki ( aijxj)= ( bkiaij)xj (5) 因此,如果第一个线性变换中新变量的个数等于第二个线性变换中旧变量的个数,那么连续实行这两个线性变换的结果(简称两个线性变换的乘积)还是一个线性变换。如果用C=(Ckj)pxn代表线性变换(2)与(4)的乘积变换的矩阵,,
6、m,i=1,j=1,n,j=1,n,i=1,m,13,那么C元素Ckj就是在Zk的表示式(5)中xi的系数: Ckj = bkiaij=bk1a1j+bk2a2j+.+bkmamj (k=1,2,p;j=1,2.,n) 换句话说,矩阵c中位于第K行第j列的元素Ckj等于矩阵B中第K行元素与矩阵A中第j列的对应元素的乘积之和。,14,例1.求矩阵,B=,0 3 -12 1 0 2,与 A=,1 0-1 1 32 0 11 3 4,的乘积BA。,15,解:因为矩阵B是二行四列的,矩阵A是四行三列的,所以乘积BA有意义,它是二行三列的矩阵。其乘积:BA=C=(cij)23的元素,据公式(6)有: C
7、11=b11a11+b12a21+b13a31+b14a41 =1x4+0 x(-1)+3x2+(-1)x1=9,16,C12=b11a12+b12a22+b13a32+b14a42 =1x1+0 x1+3x0+(-1)x3 =-2 C13=b11a13+b12a23+b13a33+b14a43 =1x0+0 x3+3x1+(-1)x4=-1 C21=.=9 C22=.=9 C23=.=11,17,所以,C=BA=,1 0 3 -1,2 1 0 2,4 1 0-1 1 32 0 11 3 4,=,9 -2 -19 9 11,18,定义3:两个矩阵,B =(bkj)pxm,A =(akj)mxn
8、的乘积是指矩阵 C =(ckj)pxn 其中位于第k行第j列的元素Ckj等于矩阵B的第k行元素与矩阵A的第j列的对应元素乘积之和,即Ckj有(6)式决定。矩阵B与矩阵A的乘积A的乘积记作C=BA。,19,两个矩阵的乘积BA,只有在矩阵B的列数等于矩阵A 的行数时才有意义 根据上面的讨论,线性变换与矩阵的乘法之间有下面的关系: 设矩阵为A的线性变换中新变量的个数等于矩阵为B的线性变换中旧变量的个数,也就是说,矩阵B的列数等于矩阵A的行数,则连续施行这两个线性变换的结果是以BA为矩阵的线性变换。,注意:,20,例1.,0 -3 12 1 5-4 0 -2,3-2 2,=,814-16,21,例2.
9、求出连续施行线性变换,Y1 = -x1+3x2Y2 = -2x1+ x2+ x3Y3 = 3x1 - 2x3Y4 = 4x1+ x2+ 2x3,与,Z1 = 5y1 - y2 + 3y3 + y4,Z2 = 2y1 - y3 + 4y4,的结果,22,解:把它们的矩阵相乘,得到:,5 -1 3 12 0 -1 4,-1 3 0-2 1 13 0 -24 1 2,=,15 -511 10 10,23,因此所求线性变换为,Z1=10 x1+15x2-5x3Z2=11x1+10 x2+10 x3,24,三、矩阵等式,把矩阵乘法的定义3推广到元素含有变量的矩阵上去。这样,我们就可以把线性变换(2)写成
10、一个矩阵等式:,y1y2ym,=,a11 a12 a1na21 a22 a2nam1 am2 amn,x1x2xn,或简写为:y =Ax,(21),(21),25,其中A是变换(2)的矩阵,而,x =,x1x2xn,y =,y1y2ym,依次是n行的单列矩阵(也叫做n维列向量)和m行的单列矩阵(也叫做m维列向量)。,26,我们可以给 (21) 或 (21)以几何解释:线性变换,2)把n维向量x变为m维向量y 同理,我们可以把线性变换(4)写成 z = By (41) 其中B是变换(4)的矩阵,而z是由z1 , z2 , zp所组成的p行单列矩阵,或p维列向 量。连续施行线性变换(2)与(4)的
11、结果变换(21)与(41)的乘积是以BA,27,为其矩阵的线性变换 z=(BA)x 这样,我们用矩阵等式表示法重新证明了线 性变换的性质。结论:线性变换可以用矩形等式表示,连续施行 线性变换可以用矩阵乘积表示,28,一 . 对称操作 1. 对称性、对称操作和对称元素 对称性:经过一种操作不改变其中任何两点间的距离,而能够复原的性质。 对称操作:使物体作一种运动,完成这种运动之后,物体的每一点与物体原始取向时的等价点(或可能是同样的点)相重合。 对称元素:执行对称操作时所依赖的几何要 素,4.2. 群论基础,29,常见的对称操作和对称元素有: 旋转 旋转轴 (真轴) Cn 反映 对称面 (h v
12、 d ) 反演 对称中心 i 恒等操作 恒等元素 E 旋转反映 旋转反映轴 Sn (非真轴),30,2. 对称操作的矩阵表示,OP(x,y,z) OP (x,y,z) x= a11x + a12y + a13z y= a11x + a12y + a13z z= a11x + a12y + a13z,31,用矩阵表示:,xyz,xyz,a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33,=,32,恒等操作E :,xyz,xyz,0 00 1 00 0 1,=,33,(XY) :,34,(XZ) :,xyz,xyz,0 00 -1 00 0 1,=,x-y z,=,35,同理可得
13、i:,-1 0 0 0 -1 0 0 0 -1,i,由此可知,一个反映操作可用一个三维矩阵表示,(x,y,z)为基,36,37,Cz()表示op绕z轴转动一个角度,此时, 不变,改变。由图可知, p点可由如下球坐标表示:,旋转操作Cz(),x = cos y = sin z = cos,38,x= cos() = (coscossin sin) = cosx sin y y= sin() = (sincos cos sin) = sinx cosy z= z,当op转动角,39,用矩阵表示为:,由此可知,一个转动操作可用一个三维矩阵表示,(x,y,z)为基,40,在分子、原子结构中,x,y,z
14、 可视为px,py,pz轨道xy, xz, yz 视为dxy, dxz, dyz轨道;x2-y2 视为dx2-y2轨道; z2 视为dz2轨道;在四面体场中,x2+y2+z2 s轨道,在平面三角形(3h) , x2+y2 s轨道,化学上常常以原子轨道作为基,41,当确定时,上述变换矩阵有具体值, 如:,42,43,由此可知,一个转动操作可用矩阵表示, (x,y,z)为基.,44,二.群的定义,若干个固定元素的全体,在数学上称为集合,用符号G a, b, 表示。若集合具有下面四条性质时,则称G构成一个群。 1. 封闭性:AG , BG 则 AB=CG 2. 可结合性:A(BC)=(AB)C ,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 线性代数 群论 基础 课件
![提示](https://www.31ppt.com/images/bang_tan.gif)
链接地址:https://www.31ppt.com/p-1476680.html