数学建模讲座之七最优化模型课件.ppt
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1、29.11.2022,数学建模,最优化方法概述,1、最优化理论和方法是近二十多年来发展十分迅速的一个数学分支。2、在数学上,最优化是一种求极值的方法。3、最优化已经广泛的渗透到工程、经济、电子技术等领域。,29.11.2022,数学建模,在实际生活当中,人们做任何事情,不管是分析问题,还是进行决策,都要用一种标准衡量一下是否达到了最优。 (比如基金人投资)在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中,人们总是希望在有限的资源条件下,用尽可能小的代价,获得最大的收获。(比如保险),29.11.2022,数学建模,数学家对最优化问题的研究已经有很多年的历史。 以前解决最优化问题的数学方法只限
2、于古典求导方法和变分法(求无约束极值问题),拉格朗日(Lagrange)乘数法解决等式约束下的条件极值问题。 计算机技术的出现,使得数学家研究出了许多最优化方法和算法用以解决以前难以解决的问题。,29.11.2022,数学建模,几个概念,最优化是从所有可能方案中选择最合理的一种以达到最优目标的学科。最优方案是达到最优目标的方案。最优化方法是搜寻最优方案的方法。最优化理论就是最优化方法的理论。,29.11.2022,数学建模,经典极值问题,包括:无约束极值问题约束条件下的极值问题,29.11.2022,数学建模,1、无约束极值问题的数学模型,2、约束条件下极值问题的数学模型,其中,极大值问题可以
3、转化为极小值问题来进行求解。如求:,可以转化为:,29.11.2022,数学建模,1、无约束极值问题的求解,例1:求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间-3,4上的最大值与最小值。解:令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14 f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)解方程f(x)=0,得到x1= -2,x2=1,又由于f(-3)=23,f(-2)=34,f(1)=7,f(4)=142,综上得,函数f(x)在x=4取得在-3,4上得最大值f(4)=142,在x=1处取得在-3,4上取得最小值f(1)=7,29.11.2022,数学建模,29.11.2022,数学建模,用MA
4、TLAB解无约束优化问题,其中等式(3)、(4)、(5)的右边可选用(1)或(2)的等式右边. 函数fminbnd的算法基于黄金分割法和二次插值法,它要求目标函数必须是连续函数,并可能只给出局部最优解.,常用格式如下:(1)x= fminbnd (fun,x1,x2)(2)x= fminbnd (fun,x1,x2 ,options)(3)x,fval= fminbnd()(4)x,fval,exitflag= fminbnd()(5)x,fval,exitflag,output= fminbnd(),29.11.2022,数学建模,MATLAB(wliti1),主程序为wliti1.m: f
5、=2*exp(-x).*sin(x); fplot(f,0,8); %作图语句 xmin,ymin=fminbnd (f, 0,8) f1=-2*exp(-x).*sin (x); xmax,ymax=fminbnd (f1, 0,8),29.11.2022,数学建模,例2 有边长为3m的正方形铁板,在四个角剪去相等的正方形以制成方形无盖水槽,问如何剪法使水槽的容积最大?,解,先编写M文件fun0.m如下: function f=fun0(x) f=-(3-2*x).2*x;,主程序为wliti2.m: x,fval=fminbnd(fun0,0,1.5); xmax=x fmax=-fval
6、,运算结果为: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的边长为0.5m时水槽的容积最大,最大容积为2m3.,MATLAB(wliti2),29.11.2022,数学建模,命令格式为:(1)x= fminunc(fun,X0 );或x=fminsearch(fun,X0 )(2)x= fminunc(fun,X0 ,options); 或x=fminsearch(fun,X0 ,options)(3)x,fval= fminunc(.); 或x,fval= fminsearch(.)(4)x,fval,exitflag= fminunc(.); 或x,fval,ex
7、itflag= fminsearch(5)x,fval,exitflag,output= fminunc(.); 或x,fval,exitflag,output= fminsearch(.),2.多元函数无约束优化问题,标准型为:min,29.11.2022,数学建模,例 用fminsearch函数求解,输入命令: f=100*(x(2)-x(1)2)2+(1-x(1)2;x,fval,exitflag,output=fminsearch(f,-1.2 2),运行结果: x =1.0000 1.0000fval =1.9151e-010exitflag = 1output= iteration
8、s: 108 funcCount: 202 algorthm: Nelder-Mead simplex direct search ,29.11.2022,数学建模,有约束最优化最优化方法分类(一)线性最优化:目标函数和约束条件都是线性的则称为线性最优化。 非线性最优化:目标函数和约束条件如果含有非线性的,则称为非线性最优化。(二)静态最优化:如果可能的方案与时间无关,则是静态最优化问题。 动态最优化:如果可能的方案与时间有关,则是动态最优化问题,29.11.2022,数学建模,有约束最优化问题的数学建模,有约束最优化模型一般具有以下形式:,或,其中f(x)为目标函数,省略号表示约束式子,可以
9、是等式约束,也可以是不等式约束。,29.11.2022,数学建模,根据目标函数,约束条件的特点将最优化方法包含的主要内容大致如下划分:线性规划整数规划非线性规划动态规划多目标规划 对策论,最优化方法主要内容,29.11.2022,数学建模,两个引例,问题一:某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品,已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗,如下表所示,该工厂每生产一件产品I可获利2元,每生产一件产品II可获利3元。问应如何安排计划使该工厂获利最多?,29.11.2022,数学建模,解:该工厂生产产品I x1件,生产产品II x2件,我们可建立如下数学模型:,s.t.,29.11
10、.2022,数学建模,问题二: 某厂每日8小时的产量不低于1800件.为了进行质量控制,计划聘请两种不同水平的检验员.一级检验员的标准为:速度25件/小时,正确率98%,计时工资4元/小时;二级检验员的标准为:速度15件/小时,正确率95%,计时工资3元/小时.检验员每错检一次,工厂要损失2元.为使总检验费用最省,该工厂应聘一级、二级检验员各几名?,解 设需要一级和二级检验员的人数分别为x1、x2人,则应付检验员的工资为:,因检验员错检而造成的损失为:,29.11.2022,数学建模,故目标函数为:,约束条件为:,29.11.2022,数学建模,运用最优化方法解决最优化问题的一般方法步骤如下:
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