第三章力学基础(应力分析)ppt课件.ppt

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1、第二章 金属塑性变形的力学基础 应力分析,河南科技大学材料学院,连续性假设。变形体内由连续介质组成，应力、应变位移都是坐标的连续函数。匀质性假设。变形体各点的组织、化学成分均匀且相同，即各点的物理性质不随坐标改变。,塑性理论/力学主要研究的是金属在塑性状态下的力学行为。为简化研究过程，常采用以下假设。,金属塑性成形基本假设,各向同性假设。各质点在各方向上的物理、化学性能相同，不随坐标而改变。初应力为零。受外力之前物体处于自然平衡状态，即变形时的内部产生应力仅由外力引起。体积力为零。重力、磁力、惯性力与外力相比很小，忽略不计。体积不变假设。变形前后体积不变。,金属塑性成形基本假设,从静力学角度对

2、应力分析，根据平衡条件 导出应力平衡微分方程。从几何学角度，根据连续性、匀质性假设，用几何学方法导出小应变几何方程。从物理学角度，根据试验和假设导出应力-应变关系，即本构方程。建立由弹性进入塑性状态并继续塑变必须具备的力学条件， 即屈服准则。,塑性理论的主要内容,外力与应力,体积力一般忽略不计，但在高速成形时惯性力不可忽略,内力：在外力作用下，物体内各质点之间产生相互作用的力。应力：单位面积上的内力，称为应力。,单向受力下的应力及分量,全应力S分解为平行于N方向为正应力 ，平行于截面为切应力 。即,单向受力下的应力及分量,单向拉伸时,过Q点任一斜面，该面法向与轴成，则斜面上有:,全应力正应力切

3、应力,即通过Q点的任意面上的应力及分量是的函数。,应力分量,x,y,z,xy z,xy yx yz zy zx xz,三个正应力分量,六个剪应力分量,多向受力下的应力及分量,Q,多向受力下的应力及分量,特点：用矩阵表示，行表示每个受力平面上的应力分量，列表示每个受力方向的应力分量；第一个下标表示作用面；第二个下标表示作用方向。,正面：单元体上外法线指向坐标轴正向的面。应力的符号：正面上的应力指向坐标轴正向时为正，指向坐标轴负向时为负。材料力学中切应力的符号规定：材料力学中顺时针作用在单元体上为正，逆时针为负（作莫尔圆时才用）。,多向受力下的应力及分量,切应力互等定理假设单元体处于平衡状态，则绕

4、单元体轴向的合力矩一定为零，则,过一点的两个正交面 上,如果有与相交边垂直的切应力分量,则两个面上的这两个切应力分量一定等值、方向相对或相离。,多向受力下的应力及分量,由切应力互等定理可知，只用6个独立的应力分量就可以表示空间一点的应力状态。,多向受力下的应力及分量,点的应力状态：受力物体内一点任意方位微分面上的受力情况。,O,点的应力状态,l=cos(N,x),m=cos(N,y),n=cos(N,z),斜截面外法线单位向量 N=(l m n),SABC=dA,SOBC=l dA,SOAC=m dA,SOAB=n dA,斜截面四面体的表面积分别为,四面体处于平衡状态，则,如何求解斜面上的应力

5、,Fz,Fx,Fy,如何求解斜面上的应力,全应力S在法线N向上投影即正应力，同时也是S在3轴上分量Si在N上的投影之和。即,如何求解斜面上的应力,即,例题说明已知某点应力张量为,求过该点与三个坐标轴等倾角的斜面上的正应力和剪应力 值,如何求解斜面上的应力,由于斜面与三个坐标轴等倾角，所以,正应力,剪应力,例题,张量与应力张量,如坐标系x、y、z可写成 、空间方向余弦l、m、n可写 （i=x,y,z） 、一点的应力状态 （i,j=x,y,z） 一个角标符号带有m个角标，每个角标取n个值，则该角标符号共有 个值。,角标符号：带有下角标的符号，可用来表示成组符号或数组。,张量与应力张量,哑标：算式的

6、某一项中重复出现的角标，表示求和，有哑标时可省去求和符号。,自由标：算式的某一项中不重复出现的角标。表示表达式的个数，方程两侧自由标必须相同。,例题,例1.,例2.,张量与应力张量,张量：坐标系改变时，可满足转换关系的若干分量组成的集合，如矩阵。张量的下角标数目即张量的阶数。 是二阶张量，矢量是一阶张量，标量是零阶张量。,应力状态,张量与应力张量,存在张量不变量，张量的分量可组成某函数，其值与坐标轴选取无关，即存在不变量。二阶张量有3个不变量。可叠加与分解。可分为对称张量、非对称张量、反对称张量。二阶张量存在三个主轴和主值，在主轴上，下标不同的分量为零，只留下两个下角标相同的3个分量，称为主值

7、。,张量的特点,张量与应力张量,应力张量：一点的应力状态一旦确定，虽然9个分量可随着坐标改变而变化，但该点的应力状态并未变。坐标变化前后的9个分量存在着线性变换关系。即一点应力状态的9个分量构成一个二阶张量 柱坐标下点的应力张量 当变形体是旋转体时，采用柱坐标系进行分析更方便： 设-径向， -周向， Z -轴向，,则,主应力,主平面切应力为零的微分面主应力（应力主值）主平面上的正应力主方向（应力主轴）主平面的法线方向 ， 即主应力方向。 以主应力表示的应力张量：,主应力,设l、m、n为主平面的方向余弦，则该面上的=0 ，S = ，S在三轴上的投影为：,又因为,由于,，因此l、m、n不同时为零,

8、则三元齐次方程组的系数矩阵一定等于零,展开方程组系数矩阵，可得,主应力,主应力,应力状态特征方程,式中,主应力,应力状态特征方程 的三个实根一般用1、 2 、3表示，即三个主应力。,将主应力1、 2 、3的值分别代入齐次线性方程组 中的任意二式，并与 联解，可得3组l, m, n，即3个互相垂直的主平面。,主应力,例题：已知点的应力状态 ，求其的主应力、主方向。（应力单位：MPa）,解：,代入应力特征方程得,解得,主应力,将主应力代入上式可得三组主方向：,应力状态特征方程与坐标系的选取无关，应力张量的第一、第二、第三不变量J1、J2、J3也不随坐标而变化。,主应力,主应力,当取三个应力主方向为

9、坐标轴时，一点的应力状态只有三个主应力，即,则任意斜面上全应力S在三个坐标轴上分量为 ，由 得,主应力,斜面正应力：,斜面切应力：,斜面全应力：,3个应力张量不变量为,主应力,利用应力张量不变量可以判别应力状态的异同。即J1、J2、J3 分别相同时，主应力相同，则应力状态必相同。,例如,ija与ijb为同一应力状态。,应力椭球面是主轴系统中应力状态的几何表达。,应力椭球面,各种应力状态,a）若1230三向应力状态。,b）若120,3=0二向应力状态。,c）若12=3圆柱应力状态（包括单向应力状态）。垂直于1 的方向均为主方向。,d）若1=2=3球应力（静水应力）状态。0,各方向均为主方向。,主

10、应力图,受力物体内一点的应力状态，可用作用在应力单元体上的主应力来描述，只用主应力的个数及符号来描述一点应力状态的简图称为主应力图。一般，主应力图只表示出主应力的个数及正、负号，并不表明所作用应力的大小。,主切应力与最大切应力,主切应力平面：切应力取极值的平面。,主切应力：主切应力平面上的切应力。,最大切应力：主切应力中最大者。,取应力主轴为坐标轴，则任意斜面的切应力为,主切应力与最大切应力,为求切应力的极值，将上式分别对l,m求偏导，并使之等于零。,主切应力与最大切应力,主平面，主切应力平面及其上的正应力与切应力如下表：,讨论： 前3组平面上切应力最小 ，是主平面； 后3组平面上切应力为极大

11、值，是主切平面，共有12个，它们分别与一个主平面垂直，与另外两个主平面成45角。,主切应力与最大切应力,主切应力与最大切应力,3个主切应力中的最大值称为该点的最大切应力 ，,若123,则,一般表示为,为代数值最大、最小的主应力。,若 时，任意斜面上的切应力均为0 ，0，即物体处于三向等拉或等压状态（即球应力状态）。,若三个主应力同时变大或减小一个相同值时，主切应力值不变。,设平均应力:,m 为不变量,与坐标无关。三个正应力分量可写成：,应力偏张量、应力球张量,设m为三个正应力分量的平均值，称为平均应力（或静水应力），即:,根据张量可叠加和分解的基本性质可得，,应力偏张量、应力球张量,上式中：,

12、应力球张量，表示球应力状态（静水应力状态），任何切面上的切应力都为零，各方向都是主方向，只产生体积变形，不产生形状变形。,应力偏张量，切应力分量、主切应力、最大切应力及主轴同原ij，只引起形状变形，不产生体积变形。二阶对称张量，同样存在三个不变量J1 ,J2 ,J3 。,应力偏张量、应力球张量,应力张量分解图示：,应力偏张量不变量分别为,对于主轴坐标系有:,J1表示该应力分量中不存在静水应力, J2与屈服准则有关, J3表示应变的类型 ， J30属伸长类应变, J3=0为平面应变, J30属压缩类应变。,应力偏张量、应力球张量,应力偏张量、应力球张量,例题：已知简单拉伸、拉拔及挤压变形区的应力

13、张量分别为,试分解为球张量和偏张量，并画出分解的主应力图。,（单位：10MPa）,八面体应力和等效应力,八面体：以受力物体内任意点的应力主轴为坐标轴，在无限靠近该点作等倾斜的微分面，其法线与三个主轴的夹角都相等，在主轴坐标系空间八个象限中的等倾微分面构成一个正八面体，正八面体的每个平面称八面体平面。,八面体应力：八面体平面上的应力称八面体应力。,八面体平面的方向余弦,八面体应力和等效应力,八面体平面,则,八面体应力和等效应力,八面体应力的特点,（1）8 是平均应力，即球张量，为不变量。,（2）8 是与球张量无关的不变量，只与偏张量第二 不变量J2有关，反映了三个主应力的综合效应。,（3） 任意

14、坐标系下的八面体应力为,主应力平面，主切应力平面，八面体平面都是一点应力状态的特殊平面。,八面体应力和等效应力,等效应力(广义应力、应力强度、综合应力）,取八面体切应力绝对值的 倍所得的参数，即等效应力/广义应力/应力强度。,3)等效应力并不代表某一实际平面上的应力，因而不能在某一特定的平面上表示出来；4)等效应力可以理解为代表一点应力状态中应力偏张量的综合作用。,1)等效应力是一个不变量；2)等效应力在数值上等于单向均匀拉伸(或压缩)时的拉伸(或压缩)应力1 ，即,八面体应力和等效应力,等效应力的特点,平面应力状态下的应力莫尔圆,平面应力状态：若变形体内与某方向轴（如Z轴）垂直的平面上（Z面

15、）无应力分量， 即 并所有应力分量与该方向轴无关，则这种应力状态即为平面应力状态。,平面应力状态的应力张量,平面应力状态下的应力莫尔圆,若已知平面应力状态的三个应力分量 ，如何求任意斜微分面AC上的正应力和切应力？,AC面的方向余弦,对于AC面,平面应力状态下的应力莫尔圆,主应力,主应力1与x轴之间的夹角,从某一平面顺（逆）转 的任意斜面上应力在莫尔圆上对应的是从相应的坐标点顺（逆）时旋转2 处的点的坐标。,应力平衡微分方程,应力分量是坐标的连续函数。,Q点: 坐标x，y，z， 应力状态ij 。过Q点x面上的正应力,Q点: 坐标x+dx,y+dy,z+dz,应力状态ij+dij。过Q点x面上的

16、正应力,泰勒级数,由于单元体处于平衡状态,应力平衡微分方程,应力平衡微分方程,同理，得平衡微分方程,即每个面上在x方向的应力对所在面偏导之和或一个方向所有应力对各自所在平面求偏导的和为0。,简记为,轴对称问题的平衡微分方程,dr,dz,应力平衡微分方程,轴对称问题的平衡微分方程,应力平衡微分方程,作业,1. 试说明应力偏张量和应力球张量的物理 意义。2. 等效应力有何特点？写出其数学表达式。3. 已知受力物体内一点的应力张量为 （MPa），试求外法线方向余弦为 的斜切面上上的全应力、正应力和切应力。,作业,4. 对于Oxyz直角坐标系，已知受力物体内一点的应力状态为 （单位MPa） 1）画出该点的应力单元体； 2）求出该点的应力张量不变量、主应力、主方向、主切应力、最大切应力、等效应力、应力偏张量及应力球张量。 3）画出该点的应力莫尔圆，并将应力单元体的微分面分别标注在应力莫尔圆上。,