速率分布函数ppt课件.ppt

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1、气体动理论,第七章,麦克斯韦速率分布律,（Maxwells law of distribution of speeds）,4.5 麦克斯韦速率分布律,1、 速率分布函数,要深入研究气体的性质，,一步弄清分子按速率和按,能量等的分布情况。,不能光是研究一些平均值，,还应该进,整体上看，气体的速率分布是有统计规律性的。,麦克斯韦,（Maxwells law of distribution of speeds）,设总分子数为 N,N 表示速率在 v v + v 区间内的分子数。,N 与 v 、 v 有关 。, 表示速率处在 v v + v 区间内的分子数占总 分子数的百分率。,也与 v 、 v 有关

2、。, 分子速率在 v 附近单位速率区间内的分子数占总 分子数的比率。,下面列出了Hg分子在某温度时不同速率的分子数占总分子的百分比。,注意：以上速率分布情况只要在相同实验条件下多次重复实验，其结果一样。说明尽管每次任取一分子看，分子速率各不相同。但大量分子总体而言却遵循着确定的规律。,1）实验数据的图示化,从图中可以看出:,1)每个小长方形面积代表某速率区间的分子数 占总分子数的百分比N/N,2)所有小面积的和恒等于一。,3）当速率区间,，小矩形面积的端点,连成一函数曲线-分子速率分布函数。,2）分布函数 的意义,要搞清函数的意义，先要弄清纵坐标的意义。,按函数的定义,故,或：,当,占总分子数

3、的比例。”,率v 附近单位速率区间的概率。,由定义式,可看出 f (v)的意义是：,因为,所以,这称为速率分布函数的归一化条件。,即,对于一个分子来说，,f (v) 就是分子处于速,“ 在速率v 附近，,单位速率区间内的分子数,（function of distribution of speeds）,称 速率分布函数,思考：,1、若 表示速率分布函数，试说明下列各式的物理意义,（1）,（2）,（3）,（4）,（5）,2、麦克斯韦速率分布函数（1860年从理论上导出）,是分子的质量，,玻耳兹曼常数,速率分布曲线,以 v 为横坐标， 为纵坐标，画出的曲线称为速率分布曲线。,由上式可得到一个分子在

4、v v + dv 区间的概率为,分布曲线的物理意义, 小矩形的面积,表示速率处在 v v + dv 区间内的分子数占总分子数的百分率。,曲边梯形的面积,表示速率处在 v1 v2 区间内的分子数占总分子数的百分率。,曲线下的总面积,归一化条件,3、三种统计速率,可由求极值条件 求得,分布曲线极大值对应的速率叫最可几速率。,讨论两种情况：,（1）m0 一定,曲线高峰右移, 同时高度下降。,（2）T 一定，,2. 平均速率,若用dN表示速率在vv+dv 区间内的分子数，v 连续分布时，上式过渡到积分。,分立：,连续：,vi v，,对麦氏速率分布经计算得：,Ni dNv=N f (v)dv，,平均速率

5、（average speed）,平均速率,任意函数(v)对全体分子按速率分布的平均值：,3. 方均根速率,速率平方的平均值,方均根速率,三种速率中，最大，次之，最小,附录: 三种统计速率的计算,速率分布函数中令,则,速率平方的平均值,讨论思考题：试说明下列各式的物理意义,并非 之间的分子的平均速率,例1、图为同一种气体，处于不同温度下的速率分布曲线，试问（1）哪一条曲线对应的温度高？（2)如果这两条曲线分别对应的是同一温度下氧气和氢气的分布曲线，问哪条曲线对应的是氧气，哪条对应的是氢气？,解：,(1) T1 T2,(2) 绿：氧 白：氢,例2、处理理想气体分子速率分布的统计方法可用于金属中自由

6、电子( “电子气”模型 )。设导体中自由电子数为 N ,电子速率最大值为费米速率 ，且已知电子速率在 v v + d v 区间的概率为：,解：,（1）,（3）,例3、求速率在 v1 v2 区间内的分子的平均速率。,解：,讨论：,1、 用分子数N，气体分子速率v和速率分布函数,表示下列各量,（1）速率大于 的分子数；,（2）速率大于 的那些分子的平均速率；,（4）分子速率倒数的平均值。,（5）分子平均平动动能。,2、设某种气体的分子速率分布函数为f(v),则速率在v1v2区间的分子的平均速率为：,（3）多次观察某一分子的速率，发现其速率大于 的概率。,（A）2000 m/s，1000 m/s（B

7、）1000 m/s，2000 m/s（C）1000 m/s， 1000 m/s （D） 1000 m/s，1000 m/s,3、若气体分子的速率分布曲线如图所示，图中A、B两部分的面积相等，则图中 表示（ D ）,4、图示的曲线分别是氢气和氦气在同温度下的分子速率分布曲线，由图可知，氢气分子的最概然速率和氧气分子的最概然速率分别为（ ）,（A）最概然速率 （B）平均速率 （C）方均根速率 （D）速率大于和小于 的分子各占一半,5、 下列说法中正确的是（ ）,（A）N个理想气体分子组成的分子束，都以垂直于器壁的速度v与器壁作完全弹性碰撞。当分子数N小时，不能使用理想气体的压强公式；当N很大时就可

8、以使用它；,（B） 表示温度为T的平衡态下，分子在一个自由度上运动的平均动能；,（C）因为氢分子质量小于氧分子质量，故在相同温度下它们的速率满足 ；,（D）气体分子的速率等于最概然速率 的概率最大。,6、 某气体分子的速率分布曲线如选7-7图所示， 表示最概然速率， 表示速率分布在 之间的分子数占总分子数的百分率，当温度减低时，则（ A ）,（A） 减小， 也减小,（B） 增大， 也增大,（C） 减小， 增大,（D） 增大， 减小,7、 设为N个（N很大）分子组成的系统的速率分布函数。,（1）分别写出题图（a）、(b)中阴影面积对应的数学表达式并回答其物理意义；,（2）设分子质量为m，试用 表

9、示以下各量：, 分子动量大小的平均值； 分子平动动能的平均值。,4.6 玻耳兹曼分布律 (了解),1、麦克斯韦速度分布律（1859年导出）,分子动能,上式称为麦克斯韦速度分布律，满足归一化条件，即,上述麦克斯韦速率分布律，未考虑气体分子的速度方向，更详细的描述应指出气体分子是如何按速度分布的，如以 表示分子的速度， 分别表示速度沿x,y,z的分量，则理论表明，平衡态下，在速度分量区间 内的分子数dN与总分子数N的比率为,全“速度空间”捕捉粒子的概率为1,“速率区间 v v + v ” 对应“速度空间”中半径为 v 、厚度为 d v 的“球壳”，所以粒子在速率区间内的概率为,2、玻耳兹曼分布律,当系统在保守力场中处于平衡态时，坐标介于 内，同时速度介于 的分子数为,式改写一下,式对所有速度积分得体积元 内的总分子数,式中的中间项为麦克斯韦速度分布项，它满足归一化条件,令 ，式写成,称为分子数密度按势能分布的规律,重力场中分子数密度按高度分布的规律,n0 为 z = 0 处的分子数密度,由理想气体状态方程得：,理想气体状态方程的另一形式,等温气压公式,高度计原理,课外练习：,速率分布函数 P 94 96 页 5，6, 7，8，9， 11，14 ，21， 22,第四章作业：,P 94 96 页 1，3, 6， 8，14 ，21,