基本不等式及不等式的应用课件.pptx

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1、高考数学(浙江专用),7.4基本不等式及不等式的应用,考点一基本不等式(2014浙江文,16,4分)已知实数a,b,c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值是.答案,A组自主命题浙江卷题组,五年高考,解析b2+c22bc,即2(b2+c2)b2+c2+2bc=(b+c)2,b2+c2,由a+b+c=0,得b+c=-a,由a2+b2+c2=1,得1-a2=b2+c2=,a2,-a,故a的最大值为.,考点二不等式的综合应用1.(2014浙江,10,5分)设函数f1(x)=x2, f2(x)=2(x-x2), f3(x)=|sin 2x|,ai=,i=0,1,2,99.记Ik=|fk

2、(a1)-fk(a0)|+|fk(a2)-fk(a1)|+|fk(a99)-fk(a98)|,k=1,2,3,则()A.I1I2I3B.I2I1I3C.I1I3I2D.I3I2I1,答案Bai0,1,且a0a1a99,而f1(x)在0,1上为增函数,故有f1(a0)f1(a1)f1(a99),则I1=f1(a1)-f1(a0)+f1(a2)-f1(a1)+f1(a99)-f1(a98)=f1(a99)-f1(a0)=f1(1)-f1(0)=1.f2(x)在上为增函数,在上为减函数,而a49a50,且a49+a50=1,即有f2(a49)=f2(a50),故I2=f2(a1)-f2(a0)+f2

3、(a50)-f2(a49)+f2(a50)-f2(a51)+f2(a98)-f2(a99)=f2(a50)-f2(a0)+f2(a50)-f2(a99)=2f2-f2(0)-f2(1)=4=1-(0,1).,f3(x)在上为增函数,在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数,即f3(x)在a0,a24上为增函数,在a25,a49上为减函数,在a50,a74上为增函数,在a75,a99上为减函数.又f3(a24)=sin , f3(a25)=sin ,则f3(a25)f3(a24).f3(a49)=sin , f3(a50)=sin ,即有f3(a49)=f3(a50).f3(a74)=sin ,

4、 f3(a75)= sin =sin f3(a74).故有f3(a0)f3(a1)f3(a24)f3(a25),f3(a25)f3(a26)f3(a49)=f3(a50),f3(a50)f3(a75)f3(a99).从而I3=f3(a1)-f3(a0)+f3(a25)-f3(a24)+f3(a25)-f3(a26)+f3(a49)-f3(a50)+f3(a51)-f3(a50)+f3(a74)-f3(a73)+f3(a74)-f3(a75)+f3(a98)-f3(a99)=f3(a25)-f3(a0)+f3(a25)-f3(a50)+f3(a74)-f3(a50)+f3(a74)-f3(a99

5、)=2f3(a25)-2f3(a50)+2f3(a74)-f3(a0)-f3(a99)=-+=sin -sin +sin =.而sin sin =,sin =1.所以I2I1I3.,2.(2016浙江文,20,15分)设函数f(x)=x3+,x0,1.证明:(1)f(x)1-x+x2;(2),所以f(x).综上,f(x).,疑难突破(1)将证明f(x)1-x+x2转化为证明1-x+x2-x3成立,而左边=右边,从而问题得证.(2)运用放缩思想,由0 x1x3x,从而f(x)=x3+x+,而x+=x+-+=+,由(1)及f=得f(x),从而问题得证.,考点一基本不等式1.(2018江苏,13,5

6、分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,ABC=120,ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.,B组统一命题、省(区、市)卷题组,解析本题考查基本不等式及其应用.依题意画出图形,如图所示.易知SABD+SBCD=SABC,即csin 60+asin 60=acsin 120,a+c=ac,+=1,4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.一题多解1作DECB交AB于E,BD为ABC的平分线,答案9,=,DECB,=,=,=.=+.=,1=+2|,1=,ac=a+c,+=1,4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=

7、3时取“=”.一题多解2以B为原点,BD所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,则D(1,0).AB=c,BC=a,A,C.A,D,C三点共线,+c=0,ac=a+c,+=1,4a+c=(4a+c)=5+9,当且仅当=,即a=,c=3时取“=”.,2.(2018天津文,13,5分)已知a,bR,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为.答案解析本题主要考查运用基本不等式求最值.a-3b+6=0,a-3b=-6,2a+=2a+2-3b2=2=2=.当且仅当2a=2-3b,即a=-3,b=1时,2a+取得最小值,为.易错警示利用基本不等式求最值应注意的问题:(1)利用基本不等式求最值的前提是“一

8、正、二定、三相等”,这三个条件缺一不可.(2)在运用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件.,3.(2017山东文,12,5分)若直线+=1(a0,b0)过点(1,2),则2a+b的最小值为.,答案8,解析本题考查基本不等式及其应用.由题设可得+=1,a0,b0,2a+b=(2a+b)=2+24+2=8.故2a+b的最小值为8.,4.(2017天津文,13,5分)若a,bR,ab0,则的最小值为.,答案4,解析本题考查基本不等式的应用.a4+4b42a22b2=4a2b2(当且仅当a2=2b2时“=”成立),=4ab+,由于ab0,4ab

9、+2=4当且仅当4ab=时“=”成立,故当且仅当时,的最小值为4.规律方法利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致.,5.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sin A=2sin Bsin C,则tan Atan Btan C的最小值是.,答案8,解析sin A=2sin Bsin C,sin(B+C)=2sin Bsin C,即sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,亦即tan B+tan C=2tan Btan C,tan A=tan-(B+C)=-tan(B+C)=-=,又ABC为锐角三角形,tan A=0,

10、tan B+tan C0,tan Btan C1,tan Atan Btan C=tan Btan C=,令tan Btan C-1=t,则t0,tan Atan Btan C=22(2+2)=8,当且仅当t=,即tan Btan C=2时,取“=”.tan Atan Btan C的最小值为8.,考点二不等式的综合应用1.(2017天津理,8,5分)已知函数f(x)=设aR,若关于x的不等式f(x)在R上恒成立,则a的取值范围是()A.B.C.-2,2D.,答案A本题考查分段函数的应用及不等式恒成立问题.当x1时,关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-x2+x-3+ax2-x+3在R上恒成

11、立,即有-x2+x-3ax2-x+3在R上恒成立.由y=-x2+x-3图象的对称轴为x=,可得在x=处取得最大值-;由y=x2-x+3图象的对称轴为x=,可得在x=处取得最小值,则-a.,当x1时,关于x的不等式f(x)在R上恒成立等价于-+ax+在R上恒成立,即有-a+在R上恒成立,由于x1,所以-2=-2,当且仅当x=时取得最大值-2;因为x1,所以x+2=2,当且仅当x=2时取得最小值2,则-2a2.由可得-a2,故选A.思路分析讨论当x1时,运用绝对值不等式的解法和分离参数,可得-x2+x-3ax2-x+3,再由二次函数的最值求法,可得a的取值范围;讨论当x1时,同样可得-a+,再利用

12、基本不等式可得最值,从而可得a的取值范围,求交集即可得到所求范围.,2.(2017江苏,10,5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.,答案30,解析本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y=6+4x=4240.当且仅当x=,即x=30时,等号成立.易错警示1.a+b2(a0,b0)中“=”成立的条件是a=b.,2.本题是求取最值时变量x的值,不要混同于求最值.,3.(2014重庆,16,5分)若不等式|2x-1|+|x+2|a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是

13、.,答案,解析令f(x)=|2x-1|+|x+2|,易求得f(x)min=,依题意得a2+a+2-1a.,4.(2015课标,24,10分)设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(1)若abcd,则+ +;(2)+ +是|a-b|cd得(+)2(+)2.因此+ +.(2)(i)若|a-b|cd.由(1)得+ +.(ii)若+ +,则(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2.,因为a+b=c+d,所以abcd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab+是|a-b|c-d|的充要条件.,5.(2015湖南,16(3),6分)设a0,b0,且a+b=+.证明:(1)a+b2;(2)a2+a

14、0,b0,得ab=1.(1)由基本不等式及ab=1,有a+b2=2,即a+b2.(2)假设a2+a0得0a1;同理,0b1,从而ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,评析本题考查基本不等式的应用、一元二次不等式的解法、反证法等知识.难度不大.,考点一基本不等式1.(2018浙江嘉兴教学测试(4月),9)已知x+y=+8(x,y0),则x+y的最小值为()A.5B.9C.4+D.10,三年模拟,A组 20162018年高考模拟基础题组,答案Bx+y=+8x+y-8=+(x+y-8)(x+y)=(x+y)=5+45+2=9,当且仅当=,即y=2x时等号成立.令t=x+

15、y,则(t-8)t9t2-8t-90(t+1)(t-9)0t-1或t9.因为x,y0,所以t0,所以t9.故选B.,2.(2017浙江“超级全能生”3月联考,16)已知1=x2+4y2-2xy(x0,y0),则x+2y的取值范围为.,答案-2,-1),解析由1=x2+4y2-2xy知1+6xy=(x+2y)2,所以(x+2y)2=1+6xy=1+3x2y1+3,所以(x+2y)24,故-2x+2y2,又x1,故x+2y-1,因此-2x+2y-1.,3.(2017浙江镇海中学模拟卷三,15)已知正实数a,b,c满足a(a+b+c)=bc,则的最大值是.,答案,解析由基本不等式知,a(a+b+c)

16、=bc,即a2+(b+c)a-0,即+-0,所以,所以0,因此的最大值是.,4.(2017浙江绍兴质量调测(3月),16)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最小值为.,答案55,解析由题知,xy+5x+4y=(xy+2x+3y)+3x+y=42+3x+y,而(x+3)(y+2)=48,因此144=(3x+9)(y+2),因此3x+y13,当且仅当3x+9=y+2,即时,取等号.故xy+5x+4y=42+3x+y55,则xy+5x+4y的最小值为55.一题多解因为正实数x,y满足xy+2x+3y=42,所以y=,其中0 x21.则xy+5x+4y=3x+42=3+3

17、132+31=55,当且仅当即时,取等号.所以xy+5x+4y的最小值为55.,考点二不等式的综合应用1.(2018浙江湖州、衢州、丽水高三质检,10)已知a,b,cR,且a+b+c=0,abc,则的取值范围是()A.B.C.(-,)D.,答案A由题可知a0,将c=-(a+b)代入abc可得ab-(a+b),所以-1.所以=.当=0时,=0;当时,=-,设t=,则t(-,-2),此时=-;当(0,1)时,=,设t=,则t(1,+),此时=.,综上,的取值范围是,故选A.,2. (2018浙江诸暨高三上学期期末,16)已知a,b都是正数,且a2b+ab2+ab+a+b=3,则2ab+a+b的最小

18、值等于.,答案4-3,解析将a2b+ab2+ab+a+b=3变形为(ab+1)(a+b+1)=4,而2ab+a+b=2(ab+1)+(a+b+1)-32-3=4-3,当且仅当时取到等号.,3.(2017浙江模拟训练冲刺卷五,16)已知4yx0,且+m恒成立,则m的最小值是.,答案2,解析 由题意知,当4yx0时,m恒成立.=+=2(当且仅当x=2y时等号成立),m2,故m的最小值为2.,4.(2016浙江名校协作体测试,13)若存在正实数y,使得=,则实数x的最大值为.,答案,解析将条件变形为-=4y+5x,易知-5x=4y+4(当且仅当y=2时,等号成立),所以0,解得x(-,-1,故x的最

19、大值为.,一、选择题1.(2018浙江宁波模拟(5月),10)已知x,y均为非负实数,且x+y1,则4x2+4y2+(1-x-y)2的取值范围为()A.B.1,4C.2,4 D.2,9,B组 20162018年高考模拟综合题组(时间：30分钟 分值：42分),答案A解法一:令=z,则x+y+2z=1,满足x,y,z0,问题转化为求4(x2+y2+z2)的取值范围.设点A,B(1,0,0),C(0,1,0),点P(x,y,z)可视为长方体的一个三角截面ABC上的一个点,则|OP|2=x2+y2+z2,于是问题转化为求|OP|的取值范围.显然|OP|1,|OP|的最小值为O到平面ABC的距离,可以

20、利用等积法计算.因为VO-ABC=VA-OBC,于是可以得到|OP|,所以|OP|2,即4(x2+y2+z2).,解法二:因为x,y0,所以x2+y2(x+y)2,令t=x+y,则0t1.4x2+4y2+(1-x-y)24t2+(1-t)2=5t2-2t+14.当xy=0且t=1,即x=0,y=1或x=1,y=0时取等号.另一方面,4x2+4y2+(1-x-y)22t2+(1-t)2=3t2-2t+1.当x=y=时取等号.所以4x2+4y2+(1-x-y)2.,2.(2017浙江镇海中学阶段测试(一),7)已知x2+4xy-3=0,其中x0,yR,则x+y的最小值是()A.B.3C.1D.2,

21、答案A由x2+4xy-3=0,得y=,即有x+y=x+=.x0, x+2,即x+y,当且仅当x=,即x=1,y=时,x+y取得最小值.故选A.,3.(2016浙江镇海中学测试(三),4)已知2a+b+2ab=3,a0,b0,则2a+b的()A.最大值为2B.最大值为3-C.最小值为2D.最小值为3-,答案Ca0,b0,3-(2a+b)=2ab,即(2a+b)2+4(2a+b)-120,2a+b2,故选C.,二、填空题4.(2018浙江新高考调研卷三(杭州二中),16)已知x3y0或x3y0,则(x-2y)2+的最小值是.,答案8,解析(x-2y)2+(x-2y)2+=(x-2y)2+8,当4y

22、=x,x-2y=2时取等号.,5.(2018浙江新高考调研卷五(绍兴一中),15)已知a0,b0,ab+2a+b-3=0,则+的最小值为.,答案,解析由ab+2a+b-3=0可得(a+1)(b+2)=5,故+2=,当且仅当=时取等号.,6.(2018浙江台州第一次调考(4月),14)若实数x,y满足x2+4y2+4xy+4x2y2=32,则x+2y的最小值为,(x+2y)+2xy的最大值为.,答案-4;16,解析将x2+4y2+4xy+4x2y2=32整理,得(x+2y)2+(x2y)2=32,设则作出可行域.显然u的最小值为-4.设(x+2y)+2xy=t,即u+v=t,当u+v-t=0与圆

23、u2+v2=32相切时,u+v取得最值,此时=4,解得t=16或t=-16(舍),所以,u+v的最大值为16.,评析我们也可以利用柯西不等式求u+v的最大值,u+v=16,当且仅当=2,即u=2,v=2时取等号.,7.(2017浙江五校联考(5月),17)设实数x0,y0,且x+y=k,则使不等式恒成立的k的最大值为.,答案2,解析解法一:设x=m+t,y=m-t,其中m=,0tm.则原不等式化为,所以t2恒成立.由0,解得0m22+,所以m2的最大值为2+,所以k的最大值为2.解法二:由基本不等式,知k=x+y2,所以xy,当且仅当x=y=时,等号成立.=xy+-2=xy+-2,因此有,故k

24、4-16k2-160,解得k24+8,因此k的最小值为2.,8.(2017浙江镇海中学模拟卷四,16)已知正数x,y满足+=1,则+的最大值是.,答案,解析设u=,v=,则问题转化为“已知正数u,v满足u+2v=1,求+的最大值”.+=3-=3-(u+1)+2(v+1)=3-3-(5+4)=.当且仅当=,即u=v=时,取等号.,9.(2017浙江金华十校联考(4月),17)已知实数x,y,z满足则xyz的最小值为.,答案9-32,解析将变形为由|xy|知,|1-2z|,即-1-2z,解得2-z-2.所以xyz=(1-2z)z=-2z2+z在2-,-2上的最小值为9-32.,10.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,16)已知正数a,b满足3a+b=14,则+的最小值为.,答案3,解析由a,b0,得+a,+b,所以+a+b-=3,当且仅当即a=4,b=2时取等号.故+的最小值为3.,