连续介质力学ppt课件.ppt

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1、连续介质力学基础,王新峰18号楼714房间Email: xinfengwnuaa.edu,评分标准,考试： 70平时： 30总计： 100,理论力学：,研究物体机械运动一般规律。刚体在空间的位置随时间的变化,静力学,：物体在力系作用下平衡的普遍规律。,运动学,：以几何的观点研究物体的运动，不考虑 作用于物体上的力。,动力学,：作用在物体上的与物体运动的关系。,材料力学：,研究简单结构（杆件）在简单载荷作用下的刚度、强度和稳定性。,基本假设：,连续性；均匀性；各向同性,扭转和弯曲的平面假设；,弹性力学：,基本假设：,假设材料是连续的,假设材料是完全弹性的,假设物体变形是微小的,假设材料是均匀性的

2、和各向同性的,连续介质力学：,是以连续介质假设为基础的众多力学学科的总称。,（如：流体力学、水利学、气体力学、 弹性力学、塑性力学、爆炸力学等）,力学是研究物质运动，以及引起该运动的力的学科。力学是建立在时间，空间，力，能量以及物质这些概念的基础之上的。,绪 论,连续介质,物质构造理论,离散体模型：物体是由大量的、具有确定物理性质的、彼此相互吸引而聚集在一起的几何点的集合所组成。,连续统模型：用场的概念去描述物体的几何点，而不必区分构成该物体的一个个粒子间的差异。,绪 论,连续介质,密度：,若所设空间内各点都能这也定义密度，则认为质量是连续分布的,绪 论,连续介质,如果一个物体的质量、动量、能

3、量密度在数学意义上存在，这个物质就是一个物质连续统（连续介质）。这样一个物质连续统的力学就是连续介质力学。,附加限制条件：只要始终保持含有足够多的粒子，而不至于使极限值不存在或者发生突跃,绪 论,连续介质,密度：,若所设空间内各点都能这也定义密度，则认为质量是连续分布的,绪 论,当n时，Vn的极限趋于一个有限的正数,连续介质力学中的“基元”,物体： 在某一确定的瞬时，物体具有一定的几何形状， 并具有一定的质量。 物体由质点构成，质点占据 非常小的确定空间，具有非常小的确定质量。,物体可以抽象成各种模型：如质点、刚体、弹塑性体、流体、颗粒等；按几何性质还可分为质点、一维的弦和杆、二维的板壳及三维

4、的块体。,绪 论,连续介质力学中的“基元”,质量： 质量是物体运动惯性的度量，对于有限体和理想 化的质点，它是个有限数。质量是物体的基本属 性，没有不具质量的物体。,质量服从质量守恒定律，不能被消灭，也不能无中生有。和物体的形态相对应，质量可分为点质量、线分布质量、面分布质量和体分布质量。,绪 论,连续介质力学中的“基元”,时空系： 时间和空间是运动物体的客观存在形式。空间 表示物体的形状、大小和相互位置关系；时间 表示物体运动过程的顺序。,为描述物体的运动，需要在时间和空间中选取一特定的标架，作为描述物体运动的的基准，这种标架称为时空系。,绪 论,连续介质力学中的“基元”,运动： 物体状态或

5、各种参数随时间的变化过程称为运动。,物体运动是构成物体质点的运动的有机总和。物体的运动须满足某些一般的规律，如质量、动量、能量和电荷等的守恒定律,绪 论,连续介质力学中的“基元”,动量： 动量是物体机械运动的度量，质点的线动量等于 其质量和运动速度的乘积。动量是矢量，服从矢 量运算规则，物体的总动量是各部分动量的矢量和,力： 物体线动量的变化率等与作用于其上的合力，力是改 变物体运动的原因。力是矢量，服从矢量运算规则。,绪 论,连续介质力学中的“基元”,功和能： 力和沿力方向的位移的乘积称为功。能量是一 个抽象的概念。能量是纯量服从能量守恒和转 化定律，它不能无中生有，也不能被消灭。系 统的总

6、能量是其各部分能量之和。,绪 论,连续介质力学中的“基元”,温度和热： 温度是物体冷热程度的度量。由于存在温 度差，从一个物体流向另一个物体的能量以 热的形式表现出来。,熵： 熵是在热力学第二定律的数学表述中引进的一个 状态函数，它是可加函数，系统的熵等于各部分 熵的和。它最重要的特性是：系统熵的变化永远 不小于系统由环境中得到的热量与得到此一热量 时热力学温度的比值。,绪 论,连续介质定义下的应力,温度和热： 温度是物体冷热程度的度量。由于存在温 度差，从一个物体流向另一个物体的能量以 热的形式表现出来。,熵： 熵是在热力学第二定律的数学表述中引进的一个 状态函数，它是可加函数，系统的熵等于

7、各部分 熵的和。它最重要的特性是：系统熵的变化永远 不小于系统由环境中得到的热量与得到此一热量 时热力学温度的比值。,绪 论,连续介质力学的基本方程,一、适用于所有物体，构成自然界的基本规律。,二、各种物体特有的规律，即各自的本构方程。,如质量守恒、能量守恒、牛顿运动定律和保证物体自身完整性的连续性条件或遵循一定规则的间断性条件等。,本构方程是各种介质相互区别的标志，是在相同环境中，物体具有不同运动的原因。,虽然不同的介质具有不同的本构关系，但本构关系本身必需满足一些共同的准则，如时空无差异性原则、热力学第二定律等。,绪 论,基元,基本规律,本构方程,连续介质力学体系,数学方法,实验方法,工程

8、实际问题,绪 论,主要研究内容,张量初步（张量的概念、坐标变换、张量运算等）,运动和变形（关于物体变形和运动的几何描述）,基本定律（如质量守恒、动量守恒等以及热力学定律）,本构关系（本构公理以及典型简单物质的本构方程）,绪 论,矢量与张量,矢量及其代数运算,矢量定义：,在三维Euclidean空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规则的实体。,矢量满足以下规则：,1、相等：两个矢量具有相同的模和方向则称两个矢量相等。,2、矢量和：按照平行四边形法则定义矢量和，同一空间的 两个矢量之和仍为该空间的矢量。,（矢量和满足交换律和结合律）,矢量与张量,矢量及其代数运算,3、数乘矢量：设a、b为实数，矢

9、量 乘实数a仍为同一空间 的矢量，记作 。,其含义是： 是与 共线且模为 的a倍。,数乘矢量和满足分配律和结合律,分配律,结合律,矢量与张量,矢量及其代数运算,由矢量关于求和与数乘的封闭性可知，属于同一空间的矢量组 （i=1，2，I）的线性组合 仍为该空间的矢量。,线性相关：指存在一组不全为零的实数使得,线性无关：指当且仅当ai=0时才有,维数：一个矢量空间所包含的最大线性无关矢量的数目称为 该矢量空间的维数。,矢量与张量,矢量的点积,定义两个矢量 与 的点积,矢量点积服从以下规则,交换律：,分配律：,正定性：,Schwartz不等式：,且当仅当 时,矢量与张量,矢量的叉积,两个矢量 与 的叉

10、积（也称矢积）是垂直于 ， 构成的平面的另一个矢量。,不满足交换律：,满足分配律：,二重叉积有恒等式：,不满足结合律：,矢量与张量,矢量的混合积,定义三个矢量 ， ， 的混合积是,并且有：,混合积的物理意义是以 ， ， 为三个棱边所围成的平行六面体的体积。,矢量与张量,指标记法,矢量,指标符号,通常xi，i=1,n表示一组n个变量,符号i是一个指标，采用指标的符号系统称为指标符号,求和约定,在同一项内的一个指标重复一次时表示对该指标在它的范围上遍历求和。被求和的指标称为哑标，未被求和的指标称为自由指标。,矢量与张量,哑标,哑标的符号可同时变换,但如aibici这样的式子在这个约定中是没有定义的

11、。利用求和约定时一个指标的重复不应超过一次。,矢量与张量,自由指标,无意义,在一个方程的每一项出现的自由指标必须是相同的。,矢量与张量,克罗内克符号(Kronecker delta),如果 ， ， 是相互正交的单位矢量，则有,矢量与张量,置换符号(Eddington张量),如果 ， ， 是相互正交的单位矢量且为右手系时,（i，j，k按1，2，3顺序轮换）,（i，j，k按1，2，3逆序轮换）,（i，j，k任意两个指标相同）,矢量与张量,恒等式,指标记法的变换,1、代换,2、乘法,3、因式分解,4、缩并,使两个指标相同从而对它求和的运算称为缩并,矢量与张量,算例,矢量与张量,坐标变换,平移变换,旋

12、转变换,x,y,o,P,x,y,A,B,C,D,矢量与张量,坐标变换,三维情况,具有同样原点的两个右手直角坐标系,基矢量分别为,一向量 可表示为,两边与 点乘为,若定义 则,若用 点乘有,矢量与张量,一般坐标变换,一组独立的变量x1, x2, x3 可以一点在某一参考标架中的坐标。通过方程 把变量x1, x2, x3 变成一组新的变量 这就规定了一个坐标变换。,逆变换,（1）在域R内，fi是单值连续函数，并且具有连续的一阶偏导数,（2）在域R的任意点处，雅克比行列式,矢量与张量,数量、向量和张量的解析定义,一个变量系称之为数量、向量或张量，取决于该变量系的分量是如何在变量x1, x2, x3

13、中定义的，以及当变量x1, x2, x3 变到 时，它们又是如何变换的。,如果变量系在变量xi中只有一个分量，在变量 中只有一个分量 ，并且在对应点， 和 相等，则称为数量场。,矢量与张量,数量、向量和张量的解析定义,如果变量系在变量xi中有三个分量 ，在变量 中有三个分量 ，并且这些分量满足如下规律，称为向量场或一阶张量场。,如果变量系在变量xi中有9个分量 ，在变量 中有9个分量 ，并且这些分量满足如下规律，称为二阶张量场。,矢量与张量,商法则,是一向量，设已知乘积A(i, j, k) （对i按求和约定求和）产生Ajk类型的张量， A(i, j, k) = Ajk 那么即证明A(i, j,

14、 k)是Aijk类型的张量。,转置张量,如果保持基矢量顺序不变，而调换张量分量的指标顺序，得到一个新的张量称为原张量的转置张量,矢量与张量,张量的对称化与反对称化,若调换张量分量指标的顺序而张量保持不变，则称该张量对于这两个指标具有对称性。,对称张量,即对称张量与其对应的转置张量相等,矢量与张量,张量的对称化与反对称化,若调换张量分量指标的顺序后所得到的张量与原张量相差一符号，则称该张量对于这两个指标具有反对称性。,反对称张量,矢量与张量,张量的对称化与反对称化,将任一张量 的分量指标中某两个指标顺序互换，得到张量 ，并按下式构成新张量,对称化运算,反对称化运算,将任一张量 的分量指标中某两个

15、指标顺序互换，得到张量 ，并按下式构成新张量,矢量与张量,张量分析,张量微分算子,梯度,矢量与张量,张量分析,微分,散度,矢量与张量,张量分析,旋度,矢量与张量,二阶张量,二阶张量的特征值、特征向量,正则与退化,行列式不为零的二阶张量称为正则张量，否则称为退化张量。,若 是一个矢量，此矢量在张量 的作用下变换为与自身平行的一个矢量，即：,即为特征向量,为特征值,矢量与张量,二阶张量,二阶张量的不变量,矢量与张量,几种特殊的二阶张量,零二阶张量与单位二阶张量,二阶张量的幂,矢量与张量,几种特殊的二阶张量,反对称二阶张量,所对应的特性方向的单位矢量称为反对称张量的轴,反对称张量的反偶矢量,矢量与张

16、量,二阶张量的分解,1、加法分解,球形张量,偏斜张量,当 i = j,当,当 i = j,当,矢量与张量,二阶张量的分解,2、乘法分解,定理：正则的二阶张量必定可以分解为一个正交张量与一个 正张量的点积。,右极分解,左极分解,应 力,应力的表示法,应 力,应力的表示法,应力正方向,应力始终被认为是位于面元外侧的部分对位于面元负侧的部分的单位面积上的作用力。,这样定义与常用的拉伸、压缩和剪切的定义一致。,应 力,运动定律,动量,B(t),S,动量矩,由牛顿运动定律,面力,体力,应 力,运动定律,总力,B(t),S,总力矩,运动方程,应 力,柯西公式,表示面元外部材料对内部材料作用的应力矢量 与表

17、示内部材料通过同一面元对外部材料的应力矢量 大小相等，方向相反,S,S,运动方程,应 力,柯西公式,应 力,平衡方程,对于非均匀应力场，每个应力分量都是位置的函数,在点(x1,x2,x3)处，应力11 (x1,x2,x3),在点(x1+dx1,x2,x3)处，应力11 (x1,x2,x3),应 力,平衡方程,x1方向合力为零,应 力,平衡方程,绕x3轴合力矩为零,绕x2轴合力矩为零,绕x1轴合力矩为零,应 力,坐标变换时应力分量的变化,则,应 力,应力边界条件,自由面边界条件：,主应力和主轴,引言,特定坐标系,特定的坐标轴称为主轴,相应的应力分量称为主应力,主轴所确定的平面称为主平面,主应力和

18、主轴,平面应力状态,主应力和主轴,平面应力状态,主应力和主轴,平面应力状态,主应力和主轴,主应力,物体内任意点处三个相互正交的平面满足该平面上的应力矢量与其垂直，则该组平面为主平面，其法线称为主轴，作用在平面上的正应力称为 主应力,I1，I2，I3称为应力张量的不变量,主应力和主轴,剪应力,若选主轴为坐标轴,主应力和主轴,应力偏量,应力偏量,平均应力,主偏应力,应力张量主轴与偏应力张量主轴重合,主应力和主轴,拉梅应力椭球,将应力张量主轴选为坐标轴,并且,运动与变形,物体的构形与坐标系,构形：物体在空间占据一定的区域，构成一空间几何图形称 为物体的构形。,B,初始构形,I3,X1,I1,b,现时

19、构形,X2,X3,I2,x1,x2,x3,i3,i2,i1,O,o,X(XK),x(xk),运动与变形,物体的构形与坐标系,转移张量,运动与变形,物体的构形与坐标系,运动与变形,物体的运动,物质描述,用物质坐标XK作为自变量来描述物体的变形和运动，称为物质描述或Lagrange描述,运动与变形,物体的运动,空间描述,用空间坐标xk作为自变量来描述物体的变形和运动，称为物质描述或Lagrange描述,运动与变形,I3,X1,I1,X2,X3,I2,x1,x2,x3,i3,i2,i1,O,o,X(XK),x(xk),物体的运动,运动与变形,变形梯度和变形张量,物质变形梯度张量,右Cauchy-Gr

20、een变形张量,运动与变形,变形梯度和变形张量,左Cauchy-Green变形张量,空间变形梯度张量,Piola变形张量,运动与变形,应变张量,Green或Lagrange应变张量,运动与变形,应变张量,Euler或Almansi应变张量,运动与变形,用位移表示的应变张量,运动与变形,小应变与小转动,（1）应变和转动都很小,（2）应变很小，转动较大,运动与变形,主应变和主方向,名义或Lagrange相对伸长,Euler相对伸长,线元伸长比,主应变,主方向,主应变,主方向,运动与变形,应变张量的坐标变换,运动与变形,变形张量的主值,特征向量,运动与变形,变形张量的主值,定义,运动与变形,变形张量

21、的主值,C-1的特征值是C的倒数,运动与变形,变形张量的主值,定义,运动与变形,变形张量的主值,B-1的特征值是B的倒数,运动与变形,变形张量的极分解,正交张量，代表纯转动,右Cauchy-Green伸长张量,左Cauchy-Green伸长张量,速度场与协调条件,速度场,在研究流体流动时通常关心的是速度场，物体中每个质点的速度。,每一点的速度可表示为：,刚体运动的速度分解定理,若不考虑变形,速度场与协调条件,速度场,考虑非刚体的连续介质,将 在P0点展成泰勒级数并取一阶,速度梯度张量,速度场与协调条件,速度场,变形速度张量Euler应变率张量伸长速率张量,旋率张量,速度场与协调条件,协调条件,

22、在小变形情况下：,用位移表示的应变张量：,速度场与协调条件,协调条件,给定偏微分方程组时的可积性问题,需满足：,称为可积性条件或协调方程,平面应变状态的协调方程,可积性条件,速度场与协调条件,三维应变分量的协调条件,圣维南协调方程,本构方程,材料性质的描述,描述材料性质的方程称为该材料的本构方程。,本章主要讨论无粘性流体、牛顿粘性流体和理想弹性固体的本构关系。,其他的本构方程还有描述热传导特性、电阻特性、电磁特性、质量传递、晶格增长等。,应力应变关系描述材料的力学性质，因此也是一种本构方程。,本构方程,无粘性流体,从力学上说，流体与固体的区别在于它不能在没有连续变形的情况下承受剪应力。,定义：

23、流体是一种理想物质，当它做拟刚体运动（包括静止状态）时， 不能承受剪应力。,液体：在承受广泛范围的载荷时，密度变化可以忽略。,一般可分为不可压缩流体和可压缩流体两种概念,不可压缩流体在它所充满的空间具有均匀的密度，称为均质流体。,本构方程,无粘性流体,在通过一点的所有平面上，不仅没有剪应力，而且正应力全部相等。因此，无粘性流体的应力张量是各向同性的，它的形式为：,P为压力,理想气体状态方程,对于实际气体或液体,对于不可压缩流体,本构方程,无粘性流体静力学方程,由平衡方程,如果令x3垂直向下为正，就有f1=f2=0, f3= g,如果流体作拟刚体运动（变形率=0），上式修改为包含加速度项,本构方

24、程,牛顿流体,牛顿流体是一种粘性流体，其剪应力和变形成正比，应力应变关系为：,若流体是各向同性的,本构方程,胡克弹性固体,本构方程,胡克弹性固体,由于应变势能与加载过程无关：,沿整个加载变形过程积分dW，应变势能密度为：,本构方程,胡克弹性固体,对应变势能密度取偏导数：,本构方程,胡克弹性固体,共21个独立的弹性常数,本构方程,胡克弹性固体,1、具有一个对称平面,y,z,x,o,共13个独立的弹性常数,本构方程,胡克弹性固体,2、正交各向异性,若还关于y轴对称,共9个独立的弹性常数,具有两个正交弹性对称面的材料一定对于和这两个平面垂直的的第三个平面具有对称性,本构方程,胡克弹性固体,3、横观各

25、向同性,1,2,1,2,共5个独立的弹性常数,本构方程,胡克弹性固体,4、各向同性,共2个独立的弹性常数,本构方程,胡克弹性固体,（ 和 称为拉梅常数）,（用应变表示应力的本构方程）,本构方程,胡克弹性固体,本构方程,胡克弹性固体,胡克定律的其他形式,K称为材料的体积模量,各向同性,各向同性概念,力学性质与方向无关的材料称为各向同性材料,各向同性张量：是一种在任意笛卡尔直角坐标系中其分量值不随坐标的正交转化而变化的张量。,材料是各向同性的，其本构在坐标的正交变换中保持不变,各向同性,零阶、1阶各向同性张量,所有标量都是各向同性的。但不存在一阶各向同性张量。,绕 轴旋转180度情况,同样过程，绕

26、x2轴旋转1800，可以得到A1=0,各向同性,2阶各向同性张量,每一个2阶各向同性张量都可一化为 的形式,绕 轴旋转180度情况,所以，2阶各向同性张量必须是对角张量,各向同性,绕 轴无限小旋转情况,2阶各向同性张量,各向同性,3阶各向同性张量,绕 轴无限小旋转情况,各向同性,3阶各向同性张量,取i=j=1，则有：,取k=2，有：,取k=3，有：,各向同性,由于 为各向同性张量,4阶各向同性张量,证明任何4阶各向同性张量可表示成如下形式：,如果具有对称性：,各向同性,4阶各向同性张量,指标1，2，3置换不会影响各向同性张量的分量值：,各向同性,4阶各向同性张量,绕 轴旋转180度情况,各向同

27、性,4阶各向同性张量,绕 轴无限小旋转情况,(a) pqrs四个全相等,(b) pqrs三个相等,(c) pqrs两个相等而另外两个不等,(d) pqrs两两相等,各向同性,4阶各向同性张量,(a) pqrs四个全相等,所有项均为零,(b) pqrs三个相等,(c) pqrs两个相等而另外两个不等,(d) pqrs两两相等,各向同性,4阶各向同性张量,设：,如果 ，则对应于 i=j，k=l情况,如果 ，则对应于 情况,如果 ，则对应于 情况,各向同性,各向同性张量材料,若弹性固体是各向同性的，其本构方程为：,对于各向同性粘性流体,各向同性,应力和应变主轴的重合,应力和应变主轴的方向余弦下列方程

28、确定：,对于弹性固体,对于粘性流体,场方程的推导,高斯定理,设 为空间有界闭区域，其边界面S是分片光滑曲面，曲面正侧记作S+，若向量函数F(x,y,z)=P (x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)的各分量在及S+上有连续一阶偏导数，则有：,或：,其中 是S+在点(x,y,z)处的单位法向量,场方程的推导,物质导数,空间导数：,是在给定的空间点上函数对时间的变化率。,场方程的推导,物质导数,物质导数：,是在给定的物质点上函数对时间的变化率。,质点速度,场方程的推导,物质导数,物质导数算子,场方程的推导,体元的物质导数,o,场方程的推导,体元的物质导数,场方程的推导,面元的物质导数

29、,o,场方程的推导,面元的物质导数,场方程的推导,线元的物质导数,线元平方的物质导数：,场方程的推导,体积分的物质导数,o,场方程的推导,体积分的物质导数,n为面元dS的单位外法线,场方程的推导,面积分的物质导数,函数T的面积分：,场方程的推导,线积分的物质导数,函数T的线积分：,场方程的推导,一、质量守恒、连续方程,在t时刻，占据空间体积为V的那部分连续介质的质量m为：,其中 为质量密度,1、欧拉形式的连续性方程：,（积分形式的连续性方程）,（微分形式的连续性方程）,场方程的推导,一、质量守恒、连续方程,2、拉格朗日形式的连续性方程：,由质量守恒：,由体元变换：,（微分形式的连续性方程）,场

30、方程的推导,一、质量守恒、连续方程,3、质量守恒的一个推论,证明：将上式坐标积分由欧拉变换到拉格朗日空间,两边取物质导数：,场方程的推导,二、动量守恒定律,总动量：,合力：,牛顿第二定律：,场方程的推导,二、动量守恒定律,在静平衡状态：,运动方程可简化为：,（平衡方程）,场方程的推导,三、动量矩守恒定律,总动量矩：,体力矩：,面力矩：,由柯西公式：,再由高斯定理：,场方程的推导,三、动量矩守恒定律,根据动量矩原理：,场方程的推导,三、动量矩守恒定律,场方程的推导,1、经典热力学的基本概念,系 统：,通常把被研究的若干物体组成的集合称为系统。,环 境：,系统周围的物体形成的集合称为环境。,孤立系

31、统：,系统和环境之间既无能量交换，又无物质交换。,封闭系统：,系统和环境之间只有能量交换，而无物质交换。,开放系统：,系统和环境之间既有能量交换，又有物质交换。,绝热系统：,系统和环境之间没有热量交换。,四、能量守恒、热力学第一定律,场方程的推导,介质的动能加内能随时间的变化率等于外力的功率,动能：,体力功率：,面力功率：,动能变化率,2、只考虑力学过程的情况,四、能量守恒、热力学第一定律,内能：,内能变化率,场方程的推导,2、只考虑力学过程的情况,四、能量守恒、热力学第一定律,场方程的推导,3、非全力学过程的情况,介质的动能加内能随时间的变化率等于外力的功率加上单位时间内供给介质的所有的其它

32、能之和,内能变化率,e为比内能,如果在非全力学过程中只考虑机械能和热能，则能量守恒原理即为热力学第一定律,单位时间单位面积上的热流矢量,单位时间单位质量获得的辐射热量,g,整体介质单位时间所得到的总热量,四、能量守恒、热力学第一定律,场方程的推导,四、能量守恒、热力学第一定律,3、 非全力学过程的情况,局部能量方程,场方程的推导,四、能量守恒、热力学第一定律,热力学第一定律表明不同形式的能力可以相互转化，其总和是守恒的。,由第一定律可知，不可能造出一部永动机，它不需要外界供给能量，却能永远对环境做功。,热力学第一定律并未说明自然过程自发进行的方向。,4、 结论,场方程的推导,五、状态方程、热力

33、学第二定律,1、状态参量与状态方程的概念,状态参量：,一个热力学系统在任何瞬间任何部位的状态都可以用一些确定的物理量来描述，这些物理量均称为状态参量。,运动学量,热力学量,状态方程：,许多状态参量之间存在着一定的函数关系，表征这种函数关系的关系式就称为状态方程。,（广义的状态方程）,状态方程是指热力学参量之间所满足的关系式。,（狭义的状态方程）,适用条件：,介质均匀且处于热力学平衡,如果系统内各处状态参量都相同，称为均匀系统,如果系统内状态参量不随时间变化，称为平衡系统,如果系统内状态参量随时间变化，这些变化的总和称为过程,场方程的推导,五、状态方程、热力学第二定律,2、热力学第二定律,a）任

34、何一指定的不可逆过程，所产生的热效果，无论利用什么 方法也不能完全恢复原状态而不引起其他变化。,b）不可能使热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化。,c）对循环做功的热机从单一热源取出热，使之变为有用功，而 又不引起其他变化，这是不可能的。,d）在系统任一给定的平衡态附近，总存在这样的状态，它不能 由给定的平衡态经过绝热过程达到。,场方程的推导,五、状态方程、热力学第二定律,2、热力学第二定律,绝对温度：T,为单位质量在所考虑的时间内增加的热量,系统增加的总热量,与外界交换的热量,系统内生成的热量,比熵（熵密度）：,场方程的推导,五、状态方程、热力学第二定律,2、热力学第二定律,a）对于可

35、逆过程，内部无生成热量,即：,对于孤立系统,b）对于不可逆过程，内部生成热量,即：,c）对于任何系统，总有,因此,熵增原理：对于孤立系统熵永远不减少,场方程的推导,六、熵不等式、热力学第一定律常见形式,1、熵不等式,积分形式,微分形式,内熵生成率,场方程的推导,六、熵不等式、热力学第一定律常见形式,2、热力学第一定律常见形式,场方程的推导,六、熵不等式、热力学第一定律常见形式,2、热力学第一定律常见形式,a）对于可逆过程，内部无生成热量,场方程的推导,六、熵不等式、热力学第一定律常见形式,2、热力学第一定律常见形式,b）对于不可逆过程，内部由生成热量,耗散函数,若过程不可逆并且绝热,一般不可逆

36、过程,真实流体与固体,一、流体,基于压力-体积关系，流体通常被分为气体与液体。,理想气体状态方程,阿伏伽德罗假说：,在相同温度和相同压力下，相同的气体体积包含了相同的分子数目。,阿伏伽德罗常数：,气体中的压力为气体分子碰撞表面时的反作用力。,K为波尔兹曼常数,真实流体与固体,一、流体,范德华方程,（实际气体状态方程 ）,a为范氏常数，其值与各气体性质有关，均为正值。一般情况下，分子间作用力越大，a值越大。,为另一范氏常数，恒为正值，其大小与气体性质决定。一般情况下，气体本身体积越大， 值也越大。 1mol气体的可压缩空间以(V-)表示。,真实流体与固体,二、粘性,粘性系数,牛顿粘性定律,气体动

37、力学解释,真实流体与固体,三、金属的塑性,单调拉伸情况,真实流体与固体,四、非线性弹性材料,橡胶应力应变曲线,肠系膜迟滞回曲线,真实流体与固体,五、非线性应力-应变关系材料,Kirchhoff应力张量,拟弹性应变能函数,Lagrange应变张量,如材料是各向同性的，则拟弹性应变能是应变不变量的函数。,血管壁,皮肤,真实流体与固体,六、线性粘弹性,粘弹性特征：迟滞、松弛、蠕变,麦克斯韦模型：,沃伊特模型：,标准线性模型：,真实流体与固体,六、线性粘弹性,麦克斯韦模型：,沃伊特模型：,标准线性模型：,若F(t) 为单位阶跃函数1(t)：,蠕变函数：,真实流体与固体,六、线性粘弹性,麦克斯韦模型：,

38、沃伊特模型：,标准线性模型：,真实流体与固体,六、线性粘弹性,麦克斯韦模型：,沃伊特模型：,标准线性模型：,若u(t) 为单位阶跃函数1(t)：,松弛函数：,真实流体与固体,六、线性粘弹性,麦克斯韦模型：,沃伊特模型：,标准线性模型：,真实流体与固体,六、线性粘弹性,线性累加模型：,蠕变函数,松弛函数,真实流体与固体,七、准线性粘弹性,真实流体与固体,八、非牛顿流体,牛顿流体是一种粘性流体，其剪应力和变形成正比，应力应变关系为：,如果是各向同性流体,如果是不可压缩流体,真实流体与固体,九、粘塑性材料,屈服函数,简单剪切情况,场方程的推导,场方程的推导,各向同性,应力和应变主轴的重合,主应力和主轴,剪应力,谢谢,