信号与线性系统分析第4章ppt课件.ppt

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1、1,4.1 信号分解为正交函数,在线性空间中，任何矢量可用相互垂直的单位矢量表示。这组矢量称为正交矢量集。 一. 正交函数集 正交函数：函数1(t)和2(t)在区间(t1，t2)内正交，则,正交函数集：n个函数1(t)，n(t)在区间(t1，t2)内构成的正交函数集i(t)满足,2,Ki为常数，如果Ki1，则称该函数集为归一化正交函数集。 完备正交函数集：在正交函数集之外，不存在函数与之正交。一个完备的正交函数集通常包括无穷多个函数。 正交复函数的定义：,正交函数集例：（在区间t0，t0+T，且T=2）三角函数集：1，cos(nt)，sin(nt)；n1，2，3，复指数函数集：ejnt；n0，

2、1，2，,3,二. 信号分解为正交函数 对任一函数f(t)用n个正交函数的线性组合来近似,选择Cj时使实际函数与近似函数之间的误差最小，取均方误差,要使均方误差最小，就是求函数的极值。对上式求极值得,4,于是可得误差,均方误差总是大于等于0，增大n可使误差减小。,5,当n，误差为0，则有帕斯瓦尔(Parseval)方程,帕斯瓦尔方程物理意义：如果f(t)是电压或电流信号，则单位电阻上信号的总能量等于信号的各正交分量的能量之和。,因此f(t)在区间(t1,t2)可分解为无穷多项正交函数之和,6,4.2 傅里叶级数,周期信号在区间(t0，t0T)上可以展开成在完备正交信号空间中的无穷级数。三角函数

3、集或复指数函数集是完备的正交函数集，由其展开的级数统称为傅里叶级数。一. 周期信号的分解 设有周期信号f(t)，可分解为,an、bn称为傅里叶系数。可由下式求得,7,an是n的偶函数，即 anan ；bn是n的奇函数，即 bnbn 。 f(t)分解式的另一种形式,式中 A0=a0,8,例：将方波信号展开为傅里叶级数。,解：傅里叶系数为,9,傅里叶级数的展开式为,10,图示方波信号分解吉布斯(Gibbs)现象 ：当n时，在间断点处有9%的偏差。 如果方波信号如图所示,则傅里叶级数的展开式为,11,二. 奇、偶函数的傅里叶系数,根据傅里叶系数计算式，f(t)为偶函数，则系数为,f(t)为奇函数，则

4、系数为,12,任何函数都可分解为奇函数和偶函数两部分 f(t)fod(t)fev(t) 由于f(t)fod(t)fev(t)fod(t)fev(t)所以,例f(t)=et(t)，则,13,半波整流波形,14,全波整流信号 f1(t)=E|sin0t|,15,求半波整流信号f2(t)Esin(0t)(sin0t)的傅立叶级数。,半波整流信号是由奇函数和偶函数两部分组成的：,16,f(t)为奇谐函数：将f(t)移动T/2后，与原波形反相，即对称于横轴 f(t)f(tT/2),奇谐函数的傅里叶级数展开式中只含奇次谐波，不含偶次谐波。,17,三. 傅里叶级数的指数形式,因为cosx(ejxejx)/2

5、，所以,AnAnnn,18,Fn称为复傅里叶系数，计算式为,19,傅里叶级数小结：,20,4.3 周期信号的频谱,一. 周期信号的频谱 周期信号的傅里叶级数,An、Fn、 n与n 有关，也即与频率有关。An或|Fn|与之间的关系称为幅频特性，相应地可画出频谱图，称为幅度频谱。 n与之间的关系称为相位频谱。周期信号的频谱只在n处取值，是离散频谱。,21,Sa(x),二. 周期矩形脉冲的频谱,定义取样函数为,Sa(x)为偶函数,22,所以,在频谱图上n处，存在谱线，谱线间隔为 。,T不变：减小，幅度减小，一周内谱线增加，间隔不变。不变：T增加，幅度减小，谱线间隔变密。图示频谱图。信号能量集中在第一

6、个零点内，2/2f0 。定义周期矩形脉冲信号的频带宽度为：F=f0=1/ 。,23,三. 周期信号的功率 周期信号的归一化平均功率,这是功率形式的帕斯瓦尔恒等式。例：幅度为1，脉冲宽度为0.2，周期为1的矩形脉冲信号，信号功率为,24,其傅里叶系数为,第一个零点为0.2n=，即n=5。在频谱第一个零点内各分量的功率和为,第一个零点内分量所占总功率的比例为,25,4.4 非周期信号的频谱,一. 傅里叶变换 由傅里叶级数的指数形式及其系数可得,当T时，d，1/Td/2，n，离散频率变成连续频率，Fn为无穷小。上式成为,26,常用下面符号简记： F(j)F f(t)F f(t)表示对函数f(t)取傅

7、里叶变换，F(j)称为f(t)的频谱密度函数或频谱函数； f(t)F 1F(j) F 1F(j)表示对函数F(j)取逆变换 ，f(t)称为F(j)的原函数。对应关系简记为：f(t)F(j)频谱函数是的复函数 F(j)|F(j)|ej()R()jX()其中|F(j)|为幅度频谱，()为相位频谱。,27,比较：实函数f(t)，复函数F(j)，复变函数F(s)。傅里叶变换的三角函数形式,物理意义：非周期信号含有所有连续频率分量，但其幅值为无穷小，用密度代替幅度来表示。傅里叶积分由傅里叶级数推导而得，所以f(t)在无限区间上满足狄氏条件是傅里叶积分存在的条件。,|F(j)|是偶函数该项积分为0,28,

8、一些特殊函数的傅里叶变换(1) 门函数的频谱函数门函数 g(t)(t/2)(t/2),频谱图,傅里叶积分存在的充分条件是f(t)在无限区间上绝对可积,29,(2) 单边指数函数的频谱函数单边指数函数f(t)et(t) 0,幅度谱和相位谱分别为,30,(3) 双边指数函数的频谱函数双边指数函数f1(t)e|t| 0,(4) 另一形式的双边指数函数的频谱函数双边指数函数(0),31,二. 奇异函数的傅里叶变换,(1) 冲激函数的频谱,频谱密度恒为1，称为均匀谱或白色频谱。冲激函数的频谱也可由门函数推得,(t)1 ,32,(2) 冲激函数导数的频谱,即 (t)j 幅度谱|F(j)|，相位谱()/2

9、。根据广义函数导数的定义可得 F (n)(t)(j)n 。(3) 单位直流信号的频谱单位直流信号可看作双边指数函数f1(t) 当0时的极限,直流分量为有限值，频谱密度为无穷。,33,频谱函数是冲激函数，其强度为,所以,(4) 符号函数的频谱 符号函数定义为,34,sgn(t)可看作是双边指数函数f2(t)当0时的极限，其频谱函数为,通常表示为 sgn(t)2/j (5) 阶跃函数的频谱,35,常用函数的傅里叶变换：,36,4.5 傅里叶变换的性质,(1) 线性 若 fi(t) Fi(j) (i=1,2,n)则对任意常数ai (i=1,2,n)，有,傅里叶变换对,傅立叶变换后线性性质不变。,37

10、,(2) 奇偶性,分析频谱函数的奇偶性，及其与时间函数之间的关系。,频谱函数的实部和虚部分别为,频谱函数的模和相角分别为,38,f(t)是时间t的实函数：R()=R(), X()=X() |F(j)|=|F(j)|, ()=() 若f(t)是偶函数，则X()0，F(j)R()；若f(t)是奇函数，则R()0，F(j)jX()。f(t)的傅里叶变换为,F(j)R()jX () R()jX()F*(j)即 F f(t)F(j)F*(j) ,39,f(t)是时间t的虚函数，即f(t)=jg(t)，则有 R()=R(), X()=X()|F(j)|=|F(j)|, ()=() F f(t)F(j)=F

11、*(j) 类似可得f(t)为复函数的性质。无论f(t)为实函数或复函数，都有F f(t)=F(j)F f*(t)=F*(j)F f*(t)=F*(j),40,(3) 对称性,若f(t) F(j) 则 F(jt) 2f() 傅里叶逆变换式,将式中的自变量t换为t得,将上式中的t换为，换为t，即得,41,例：求取样函数Sa(t)=sint/t的频谱函数。门函数傅氏变换 g(t) Sa(/2)根据对称性 Sa(t/2) 2g()令2，则得 Sa(t) g2() 例：求函数f(t)=t的频谱函数。 (t) j jt 2()=2() t j2(),42,(4) 尺度变换,若 f(t) F(j) 则,如a

12、1，则表示在时域中信号对时间的压缩，对应其在频域中信号占有频带的扩展。证明：,令x=at，则当a0时,43,令x=tt0,(5) 时移特性,当a0时,若 f(t) F(j)则 f(t t0) e jt0F(j)，(t0为常数) 证明：,同理可得f(t+t0)的变换。,44,例：求图示五脉冲信号的频谱。,解：单脉冲信号的变换为 g(t)Sa(/2) 因为 f(t)g(t)+g(t+T)+g(tT)+g(t+2T)+g(t2T)所以 F(j)Sa(/2)(1+ejT+ejT+ej2T+ej2T) Sa(/2)1+2cos(T)+ 2cos(2T)当T4时波形见图4.5-4。,脉冲数n？,45,综合

13、尺度变换和时移特性有若 f(t) F(j) 则,由尺度变换可得反转特性: F f(t)F(j)例：求图示f2(t)、f3(t)函数的傅里叶变换。,46,解：f1(t)为门函数，其傅里叶变换为g2(t) 2Sa() 函数f2(t)可表示为 f2(t)=f1(t+1)f1(t1)其傅里叶变换,又f3(t)=f2(2t)，所以,47,f3(t)也可直接由综合变换式求得 f3(t)=g2(2t+1)g2(2t1) g2(t) 2Sa(),48,(6) 频移特性,若f(t) F(j)，且0为常数则,应用频移特性实现频谱搬移，将信号f(t)乘以载频信号cos0t或sin0t得到。因为,同理可得,49,例：

14、矩形调幅信号,50,(7) 卷积定理,时域卷积定理 若 f1(t) F1(j) f2(t) F2(j) 则f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j) 证明：,51,频域卷积定理 若f1(t) F1(j)f2(t) F2(j) 则,证明：,52,例：求斜升函数r(t)=t(t)的频谱。解：根据函数t和(t)的频谱，应用频域卷积定理,由此可得： F |t|=F t(t)+(t)(t),53,(8) 时域微分和积分,时域微分定理 若 f(t) F(j) 则 f(n)(t) (j)nF(j) 根据卷积的微分运算和时域卷积定理，则有 F f(t)=F f(t)*(t),=F f(t)F (t)=jF(

15、j),重复应用以上结果得时域微分定理。在交流电路分析时：,时域积分定理 若 f(t) F(j)则 f(1)(t) F(0)()+(j)1F(j) ,54,根据时域卷积定理，可得 F f(1)(t)=F f(1)(t)*(t)=F f(t)*(1)(t) =F f(t)F (t)=F(j)()+1/j =F(0)()+F(j)/j F(0)可以在频域中求，也可在时域中求：,55,例：求三角形脉冲的频谱函数。,对其求二次导数得冲激函数,56,f(t)的频谱函数为,因为F(0)=0，F(j)/j|=0=0，所以f(t)的频谱函数为,则三角形脉冲可表示为,57,则频谱函数应为,在时域积分定理中认为,实

16、际上,例：(t)与sgn(t)/2的导数都是(t)，但时值不同,58,(9) 频域微分和积分,频域微分若f(t) F(j)则 (jt)nf(t) F(n)(j) 或 tnf(t) jnF(n)(j) 证：F 1F(j)=F 1F(j)*() =2F 1F(j)F 1(),即 (jt)1f(t) F(1)(j)类推可得n次微分。时域函数有tn因子时，变换可考虑用频域微分性质。,59,频域积分若f(t) F(j)则,式中f(0)可以在时域中求，也可在频域中求,证明： F 1F(1)(j)=F 1F(j)*(1)() =2F 1F(j)F 1() = 2f(t)F 1(),60,时域函数有t1因子时

17、，且f(0)=0，可考虑用如下频域积分性质,因为,根据对称性,取反转,61,例：求r(t)=t(t)的频谱函数。,例：求Sa(t)=sint/t的频谱函数。,应用频域微分,应用频域积分,62,若 f1(t)F1()，f2(t)F2()则有相关定理 F R12()=F1(j)F2*(j) F R21()=F1*(j)F2(j)这是因为 F R12()=F f1()*f2() =F1(j)F2(j)=F1(j)F2*(j)相关定理中f1(t)、f2(t)应该是实函数。对于自相关函数则有 F R()=F(j)F*(j)=|F(j)|2,(10) 相关定理,63,傅里叶变换性质小结,线性 a1f1(t

18、)+a2f2(t) a1F1(j)+ a2F2(j)奇偶性 f(t)为实函数：R()、|F(j)|偶函数；X()、 ()奇函数。F f(t)=F(j)=F*(j)对称性 F(jt) 2f(),时移特性,尺度变换,64,时域卷积定理 f1(t)*f2(t) F1(j)F2(j),频域卷积定理,时域微分f(n)(t) (j)nF(j),时域积分,频域微分 (jt)nf(t) F(n)(j),频域积分,频移特性,65,若E、P有界，则f(t)称为能量信号或功率信号。能量谱 若f(t)为实函数，信号能量与频谱函数的关系,4.6 能量谱和功率谱,66,即,上式也是能量形式的帕斯瓦尔方程。可将上式改写为,

19、物理意义：在df频带范围内，信号具有的能量为无穷小量|F(j)|2df 。定义能量密度谱 E ()=|F(j)|2信号的能量谱是其自相关函数的频谱函数 E ()=F R()=|F(j)|2E ()反映了信号的能量在频域中的分布。,67,功率谱 定义函数 fT(t)=f(t)(t+T/2)(tT/2) FT(j)=F fT(t)如果f(t)是实函数，则信号平均功率为,当T时，fT(t)f(t)。定义功率密度谱为,功率谱P ()反映信号功率在频域中分布。,68,若f1(t)和f2(t)是功率信号，定义互相关函数为,若f(t)是功率信号，定义自相关函数为,其傅立叶变换为,69,即,R()P ()此即

20、维纳-欣钦关系，据此可用功率谱描述随机信号的频率特性。例：求信号f(t)=Sa(t)的能量。解：已知变换对,根据信号的能量与频谱函数关系式，Sa(t)的能量为,70,4.7 周期信号的傅里叶变换,一. 正、余弦函数的傅里叶变换,二. 一般周期函数的傅里叶变换 周期函数展开成傅里叶级数,式中=2/T。,71,周期函数的傅里叶变换,上式表明周期函数的F(j)和Fn之间关系。傅里叶变换得到的是频谱密度F(j)，傅里叶级数得到的是傅里叶系数Fn。 周期性单位冲激函数系列称为梳状函数,72,所以T(t)的傅里叶变换为,梳状函数的傅里叶系数为,73,周期信号fT(t)在一个周期内(T/2T/2)函数令为f

21、0(t)，则 fT(t)=f0(t)*T(t) (见P71)其傅里叶变换为,比较,可得,傅里叶变换中的一些性质、定理也可用于傅里叶级数。主周期信号f0(t)包含了周期信号fT(t)的全部信息。,74,则其傅里叶变换为,例：周期矩形脉冲信号,其傅里叶系数为,75,76,例：将图示周期信号展开成指数型傅里叶级数。,解：f1(t)的傅里叶变换为,f0(t)的傅里叶变换为,77,fT(t)的傅里叶系数为,fT(t)的傅里叶级数为,实际上,78,4.8 LTI系统的频域分析,一. 频率响应 系统的时域分析法用(t)或(t)作为基本信号，系统的频域分析法可用虚指数函数ejt作为基本信号。 在时域分析中，系

22、统的零状态响应为 yzs(t)=h(t)*f(t) 应用傅里叶变换的时域卷积性质 ，上式成为 yzs(t)=F 1H(j)F(j) 频域分析法就是应用频域函数分析系统的响应，将时域中的卷积运算变换为频域中的相乘运算。 由于在频域分析时，只能求系统的零状态响应，因此以下yzs(t)简写为y(t)。,79,LTI系统的冲激响应为h(t)，设激励为虚指数函数f(t)=ejt(t)，则系统的零状态响应 y(t)=h(t)*f(t),式中H(j)是h(t)的傅里叶变换，称为系统频率响应函数或系统函数。H(j)反映了响应y(t)的幅度和相位变化。 任意信号f(t)可以看作无穷多个虚指数信号ejt之和，即,

23、80,任意信号激励下的零状态响应的推导：,H(j) 也可定义为,|H(j)|称为幅频特性，()称为相频特性。,81,例：求系统y(t)+2y(t)=f(t)的零状态响应，f(t)=et(t)。解：对微分方程取傅里叶变换得 jY(j)+2Y(j)=F(j)由此得,激励的傅里叶变换,响应的傅里叶变换,取傅里叶逆变换得系统响应 y(t)=(ete2t)(t),82,例：电路如图所示，激励为us(t)=(t)，求零状态响应uC(t)。,解：电路频率响应函数为,激励的傅里叶变换,83,电路零状态响应uC(t)的频谱函数为,取傅里叶逆变换得 uC(t)=F 1UC(j)=(1et)(t)根据交流电路建立电

24、路方程的方式，得到频率响应函数，由H(j)可求得系统的零状态响应。,84,例：求图示系统的输出y(t)。已知,解：门函数的频谱函数为,取4，根据对称性可得 4Sa(2t)2g4()=2g4()即 F sin(2t)/t=g4()s(t)的频谱函数为F cos(3t)=(+3)+(3),85,根据系统图得y(t)=h(t)*x(t)=h(t)*f(t)s(t)取傅里叶变换得,86,取逆变换可得,87,二. 无失真传输,无失真传输的输出信号定义为：y(t)=Kf(ttd) 对上式取傅里叶变换得：Y(j)=KejtdF(j) 系统的频率响应函数为：H(j)=Kejtd 所以无失真传输的条件为 |H(

25、j)|=K ()=td ,88,无失真传输系统的冲激响应为 h(t)=K(ttd) 无失真传输系统的冲激响应还是冲激函数，但有强度变化和延时。 三. 理想低通滤波器的响应理想低通滤波器可看作频域中宽度为2c的门函数,根据对称性，由,得,89,令=2c，得,所以,理想低通滤波器的冲激响应,冲激响应在输入冲激之前就已出现，因而是非因果系统，这是由于理想化的结果，实际不可实现。,90,理想低通滤波器的阶跃响应为,式中Sa(x)为偶函数，其积分,定义正弦积分,所以,令 c(td)=x xc=c(ttd),91,物理可实现系统应满足的条件：时域（因果条件） h(t)0, t0 g(t)0， t0 频域(

26、Paley-Wiener准则) 幅频特性满足平方可积,而且满足,物理可实现系统，其H(j)可以在某些孤立点上为0，但不能在某个有限频带内为0。,92,4.9 取样定理,一. 信号的取样 取样利用取样脉冲序列s(t)从连续时间信号f(t)中取出一系列离散样本值fs(t)的过程。 fs(t)=f(t)s(t),fs(t)称为取样信号，s(t)称为开关函数，Ts为取样周期，s为取样角频率。,93,取样的目的：将模拟信号转换为数字信号。取样的要求：保持原有信号的所有信息。由频域卷积定理可得取样信号的频谱函数,开关函数可以为冲激函数系列或矩形脉冲系列。 冲激取样梳状函数,其频谱函数(见P169)也为周期

27、脉冲系列,94,如果连续信号f(t)为区间(m，m)内频带有限信号(简称带限信号)，则,95,当s2m时，不发生混叠现象，可以从取样信号中恢复原信号。否则就不能恢复原信号。 例：对信号f(t)=2sin0t+sin30t进行冲激取样，取样频率应为多少？因为m=30，所以s60 。 矩形脉冲取样 取样脉冲序列是幅度为1，脉宽为(Ts)的矩形脉冲序列 s(t) = pTs(t) 其频谱函数(见P168)为,96,则取样信号的频谱函数,97,二. 时域取样定理,为了从Fs(j)中无失真地恢复F(j)，选择一个理想低通滤波器(时延为0，幅度为Ts),输出信号频谱F(j)= Fs(j)H(j),98,低

28、通滤波器是幅值为Ts的门函数，其冲激响应为,由此得,令 c=s/2,99,100,101,时域取样定理 ：一个频谱在区间(m，m)以外为零的带限信号f(t)，可唯一地由其在均匀间隔Ts(Ts2m)上的样点值f(nTs)确定。奈奎斯特(Nyquist)频率：取样频率的下限fs2fm ；奈奎斯特间隔：取样间隔的上限TsTm/2。例1：求信号f(t)2+4cos(5t)+cos(10t)的取样频率。解：因为 m2fm10 rad/sf(t)最高频率 fm5/ Hz奈奎斯特频率 fs2fm10/ Hz奈奎斯特间隔 Ts 1/fs/10 s,102,例2：求信号f(t)Sa(100t)的取样频率。解：因

29、为 Sa(t/2) 2g()取200，其m100 rad/s，fm50/ Hz所以 fs100/ Hz， Ts/100 s频域取样定理 ：一个在时域区间(tm，tm)以外为零的有限时间信号f(t)的频谱函数为F(j)，可唯一地由其在均匀频率间隔fs(fs1/2tm)上的样点值F(jns)确定。,103,题4.20 (5)、(8),解(5)：设f1(t)tf(t)，f2(t)f1(1t)(1t)f(1t)，其频谱函数分别为,解(8)：设f1(t)f(32t)，f2ejtf1(t)ejtf(32t)，其频谱函数分别为,注意！,104,题4.21 (4),解：因为,给定频谱函数,105,106,题4

30、.21 (4),另一种解法： F(j)()(2)e-jg2(1)ej因为 Sa(t/2) 2g()令=2得,时移,频移,所以,107,题4.22 (b),解：图示频谱函数为,根据变换对 Sa(t/2) 2g()取0，则,所以,108,题4.33,解：因为 s(t)S(j)所以,频谱函数为,系统的频率响应为,109,题4.33,也可这样求,频谱函数为,110,题4.40,111,112,题4.47,解：因为,所以Fn=1。由于=1，频谱函数为,113,系统的响应为：,实际上,f(t)加入低通滤波器后输出只有前二项分量。,114,题4.48,(1) 时域压缩为1/3，频域展宽3倍，fn=300Hz

31、，所以 fs600 Hz(2) f2(t)的频谱函数为F(j)*F(j),115,卷积的频率范围为(2m400 Hz(3) 时域卷积对应频域相乘，两频谱函数的最高频率分别为100Hz和200Hz，取小fm=100Hz，所以 fs200Hz(4) f(t)+f2(t)，两频谱函数相加，取大fm=200Hz，所以 fs400Hz,116,题4.49,解：(1) F(j)=10()+2(+1)+(1) +(+21)+(21) (1=2f1),s2fs25f151,117,(2) 低通滤波器的截止角频率为2kHz fc 3kHz,118,题4.50,解：(1) 因为s= 20.8f1=0.81，取样信

32、号频谱函数,(2) 滤波(0.5f1f0.5f1)后频谱函数 Y(j)=10()+2(+0.21)+(0.21)+2(+0.41)+(0.41) y(t)=5+2cos(0.21t)+2cos(0.41t),119,题4.52,解：先分别求出X1(t)和X2(t)的频谱函数,120,输出信号的频谱函数,121,Y(j)的频谱图,122,习 题 4.6 (4); 4.9; 4.10; 4.12 4.13 (a), (b); 4.15; 4.17 (1), (2); 4.18 (1), (2); 4.18 (5); 4.19(a); 4.20 (3), (7), (9); 4.21 (3), (5); 4.22 (a); 4.25; 4.27; 4.28; 4.30 (2); 4.31; 4.34; 4.37; 4.38; 4.42; 4.45; 4.51,更多精品资请访问,更多品资源请访问,