变形工程力学课件.ppt

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1、1,第7章 杆的变形分析 刚度计算,7.1.1 拉压杆的变形和应变,纵向变形,反映变形的大小。,轴向线应变（线应变、应变）,反映了杆件横截面上任一点沿轴向的变形程度。,7.1 轴向拉压杆的变形,2, 横向变形（了解）,横向线应变,实验表明：,横向变形,第7章 杆的变形分析 刚度计算,7.1.1 拉压杆的变形和应变,7.1 轴向拉压杆的变形,3,7.1.2 胡克定律,实验证明：在弹性范围内,材料拉压时的胡克定律。,拉压杆的胡克定律,EA：杆的抗拉(压)刚度。反映了杆抵抗拉压变形的能力。,当轴力、截面分段不同时，分别计算变形，再求代数和。,轴力要代入符号。,4,例：阶梯杆直径分别为A1=4cm2，

2、 A2=8cm2，材料为Q235钢，E=200GPa ，求杆的总变形和最大轴向线应变。,40kN,8kN,20kN,200,200,FN2=20kN,FN1=40kN,解：,(1)分段求轴力，画轴力图。,（2）分别计算变形，求代数和。,60kN,（3）计算最大线应变。,B,A,C,5,7.2 圆轴扭转时的变形与刚度计算,相距 l 的两横截面的相对扭转角:,在长为 l 的轴上MT、GIP均为常量时：, 的单位为rad,GIP称为圆轴的抗扭刚度。反映了圆轴抵抗扭转变形的能力。,7.2.1 圆轴扭转时的变形,若轴上各段MT、G和IP 不同时，轴的总扭转角为,MTi 代入符号,6,圆形截面的极惯性矩和

3、扭转截面模量,抗扭转截面系数,7,解：,（1）画扭矩图：,例7.2 阶梯轴如图，已知AB段直径d1=40mm， BC段直径d2=70mm。材料的剪切弹性模量G=80GPa。求钢轴A、C两个截面的相对扭转角。,（2）求A、C两个截面的相对扭转角,8, 单位为 rad m,刚度条件：,7.2.2 圆轴扭转时的刚度计算, 根据载荷性质和工作条件等因素确定。,对精密稳定传动,对一般传动,对精度要求不高传动, 0.5 m, 1 m, 2 m,刚度计算：,工程实际中 常用单位为 m,注意：单位：Nm,9,解：,（1）画扭矩图,（2）校核强度：,强度满足要求。,（3）刚度校核,刚度满足要求。,10,例7.3

4、 传动轴为钢制实心轴， t=60MPa，G=80GPa， =1.5/m。要求按强度和刚度条件设计轴的直径。,95Nm,解：,（3）由刚度条件：,（2）由强度条件：,D 34mm,取：D 34mm,（1）画扭矩图,刚度条件起决定作用。,11,7.3 梁的弯曲变形和刚度计算,为保证弯曲构件正常的工作，不但要求构件具有足够的强度，在某些情况下，还要要求构件有足够的刚度，即弯曲变形不应过大，否则，将影响正常工作。,电葫芦爬坡，出现振动、噪音。,12,齿轮轴变形将导致齿轮不能正常啮合、齿面磨损、轴与轴承配合不好，出现噪音。,轧钢,轧辊变形，钢板沿宽度方向的厚度不均。,13,利用弯曲变形,缓冲、减震,汽车

5、叠板弹簧,求解静不定梁则必须考虑梁的变形。,测力矩扳手,14,（1）挠曲线：弯曲后的梁轴线。（弹性曲线）,对于平面弯曲，当外力位于梁纵向对称面内时，梁轴线在该平面内弯成一条平面曲线。,随梁的变形，横截面发生位移：,（2）挠度：,横截面绕中性轴产生的角位移，称为转角 。,某截面的形心在垂直于原轴线方向的位移为截面的挠度 。,7.3.1 梁弯曲变形的基本概念挠度和转角,（3）转角：,截面形心的水平位移忽略不计,15,在纵向对称面内建立坐标系,挠曲线方程,挠度：向上为正。,转角：逆时针为正。,挠度和转角的关系：, = f (x),讨论弯曲变形的关键在于：建立梁的挠曲线方程。,（4）挠度和转角的关系,

6、（挠度方程）,16,挠曲线的微分方程,挠曲线近似微分方程,对于平面曲线，,曲率为：,7.3.2挠曲线近似微分方程,引入曲率：,17,M0,M0, 0, 0,与M 的符号总是相同。,挠曲线近似微分方程,对于等直梁：,符号的处理,18,7.3.3 积分法求梁的变形,每段梁有C、D两个积分常数。,挠曲线近似微分方程,转角方程,挠曲线方程,根据支座处、分段处梁的已知位移情况，在规定坐标系中的数学表示式称为边界条件。,19,图示各梁的材料、几何尺寸完全相同，受力如图。,挠曲线方程不同。,弯矩方程相同,曲率相同,挠曲线近似微分方程相同,受力相同,原因：梁的约束条件不同。,在图示坐标系中：,20,边界条件,

7、支座处：满足支座约束特点。,积分法的重点：写边界条件。,边界条件的个数应等于梁段数的2倍。,分段处：构件不折断，不开裂。（连续光滑条件）,例：写出下列梁的边界条件。,建立坐标系x ，根据外力，梁分一段。,x0，,xl，,A点：,B点：,21,C,q,A,B,例7.4简支梁抗弯刚度为EI，求其挠度和转角方程、跨中点挠度和A截面的转角。,（1）列出弯矩方程,（2）列出挠曲线微分方程并积分,（3）确定积分常数,解：,0 xl,x0，,xl，,A点：,B点：,梁的挠度和转角方程,（4）求指定截面的挠度和转角,为梁的最大挠度和转角。,22,7.3.4 叠加法,材料力学讨论的是线弹性小变形，反力、内力、应

8、力、变形都是载荷的线性齐次函数，所以在计算反力、内力、应力、变形等都可以应用叠加法。,叠加法：几个载荷共同作用下所引起的某一物理量，等于各载荷单独作用时所引起的该物理量的总和。,利用叠加法求挠度和转角时，可查阅P129表格。,23,解,叠加,q单独作用,m单独作用,例7.5自习,24,例 求悬臂梁B端的挠度和转角。,C,B,A,q,解,叠加,q1单独作用,将载荷等效变换,q2单独作用,由受力可知B点挠度转角最大。,25,刚度条件,滑动轴承处,安装齿轮处,向心轴承处,1rad=57.3,7.3.5 梁的刚度设计,26,例7.7 起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，q=47.9kg/

9、m，Iz=7480cm4，l=9m。已知 =l/500， =170MPa， E=210GPa。,要求：校核其强度和刚度。,解：,受力情况：,q=479N/m,F=20kN,梁的最大应力：,q单独作用时，梁中点有最大弯矩,F单独作用时，梁中点有最大弯矩,叠加：, ,强度满足要求,27,例7.7起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，q=47.9kg/m，Iz=7480cm4，l=9m。已知 =l/500， =170MPa， E=210GPa。,要求：校核其强度和刚度。,解：,计算简图,受力情况：,q=479N/m,F=20kN,叠加得梁的最大挠度为：,max CF+ Cq=21.94m

10、m,刚度不满足要求.,q单独作用,F单独作用,需要加大截面，选定后需要校核刚度。,28,例7.7 起重20kN的单梁吊车，由No.28b工字钢制成，q=47.9kg/m，Iz=7480cm4，l=9m。已知 =l/500， =170MPa， E=210GPa。,要求：校核其强度和刚度。,解：,受力情况：,q=479N/m,F=20kN,梁的最大应力：,梁中点的最大弯矩, ,强度满足要求,梁的最大挠度为：,刚度不满足要求,需要加大截面，选定后需要校核刚度。,整理,说明：在很多情况下，构件自重对强度、变形的影响与载荷的影响相比很小，所以常常忽略重力。,29,7.4 提高梁弯曲强度和刚度的措施,弯曲

11、正应力强度条件,提高梁弯曲强度可从以下几个方面考虑：,1、合理安排梁的受力(降低最大弯矩）,2、选用合理的截面 (增大弯曲截面系数）,3、采用变截面梁,30,7.4.1合理安排梁的受力,(降低最大弯矩）,（1）合理安排载荷,31,（2）分散载荷(从使用方面考虑),若：,32,33,（3）调整支座位置（从设计角度）,合理的支座位置应使最大正弯矩和最大负弯矩数值相等。,合理布置支座位置，使 M max 尽可能小。,移动支座后，可降低梁内的最大弯矩。,34,双杠,当人在两支座中点时，,当人在自由端点时，,合理的设计应使：,35,（1）在面积相等（即用材相等）的情况下，尽量增大抗弯截面系数。,7.4.

12、2 合理选用截面的形状,即用最少的材料获取最好的抗弯效果。,矩形截面梁竖放比平放抗弯效果好。,36,中性轴处应力为零，离中性轴最远的上下边缘应力最大。,从理论上讲，可将材料布置的离中性轴远些。,z,37,当截面形状不同时，可以用Wz /A的比值来衡量截面形状的合理性和经济性。,(0.290.31)h,(0.270.31)h,0.205h,0.125h,0.167h,38,（2）在满足所需抗弯截面系数的前提下，选择适当截面，尽量减少面积，以达到减轻自重节约材料的目的。,d=137,250000,3950,20b号h200,250000,10400,b=72h=144,250000,要求的Wz（m

13、m3）,截面形状,所需尺寸（mm）,14800,截面面积（mm2）,39,采用关于中性轴对称的截面,采用关于中性轴不对称的截面,塑性材料,脆性材料,可调整各部分尺寸，使,（3）合理的截面形状要符合材料的力学性能,理想情况：,40,7.4.3采用变截面梁,变截面梁:截面尺寸沿梁轴线变化的梁,等强度梁:各个截面上的最大应力都等于材料的许用应力,设截面宽度不变，高度随截面位置变化，,则：,由,得,例:设计等强度矩形截面悬臂梁。,由,得,41,由于等强度梁加工困难，因此采用近似的、便于加工的变截面梁 。,汽车叠板弹簧,42,1、选择合理截面形状，增大惯性矩,2、改善梁的受力和支座位置,3、减小梁的长度

14、,4、增加支座（约束）,5、预加反弯度,要提高梁的弯曲刚度，应从影响变形、位移的因素入手。,7.5 提高弯曲刚度的一些措施,43,提高弯曲刚度的一些措施,由于钢材的E值接近，为提高弯曲刚度而采用优质钢，不会达到预期效果。,44,提高弯曲刚度的一些措施,2、改善梁的受力和支座位置,原材料的堆放：,45,3、减小梁的长度,减小外伸长度l，弯矩减小，变形相应减小。,减小外伸长度a、b，弯矩减小，变形相应减小。,提高弯曲刚度的一些措施,46,4、增加支座（约束）,提高弯曲刚度的一些措施,47,5、预加反弯度,提高弯曲刚度的一些措施,48,轴力FN,扭矩MT,内力分量,弯矩M,剪力FS,正应力均匀分布,切应力与距圆心距离成正比分布,应力分布规律,正应力与中性轴距离成正比,强度条件,49,变形公式,轴向线应变,单位长度扭转角,挠曲线曲率,截面位移,轴向线位移,挠度与转角,扭转角,刚度条件,变形刚度条件,变形刚度条件,位移刚度条件,