运筹学第二章线性规划ppt课件.ppt

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1、2022/11/26,1,CHAPTER2 线性规划及单纯形法 (LINEAR PROGRAMMING),LP的数学模型 图解法 单纯形法 单纯形法的进一步讨论人工变量法 LP模型的应用,本章主要内容：,2022/11/26,2,线性规划问题的数学模型,1. 规划问题,生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。,线性规划通常解决下列两类问题：,（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标,（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效

2、益（如产品量最多 、利润最大.）,2022/11/26,3,线性规划问题的数学模型,例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最大？,2022/11/26,4,线性规划问题的数学模型,例1.2 某厂生产两种产品，下表给出了单位产品所需资源及单位产品利润,问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？,解：,1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2,2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2,3.约束条件：,2022/11/26,5,线性规划问题的数学模型,例1.3 已知资料如下表所示，问如何安排生产才能使利润最大？,解：,1.决策变量：设产品I、II

3、的产量分别为 x1、x2,2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + 3x2,3.约束条件：,2022/11/26,6,线性规划问题的数学模型,例1.4 某厂生产三种药物，这些药物可以从四种不同的原料中提取。下表给出了单位原料可提取的药物量,解：,要求：生产A种药物至少160单位；B种药物恰好200单位，C种药物不超过180单位，且使原料总成本最小。,1.决策变量：设四种原料的使用 量分别为：x1、x2 、x3 、x4,2.目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4,3.约束条件：,2022/11/26,7,例1.5 某航运

4、局现有船只种类、数量以及计划期内各条航线的货运量、货运成本如下表所示：,问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？,线性规划问题的数学模型,2022/11/26,8,解：,设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4）， z 为总货运成本,则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4,线性规划问题的数学模型,2022/11/26,9,线性规划问题的数学模型,2. 线性规划的数学模型由三个要素构成,决策变量 Decision variables 目标函数 Objective function约束条件 Constraints,其特征是：（1）问

5、题的目标函数是多个决策变量的线性函数，通常是求最大值或最小值；（2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不等式或等式。,怎样辨别一个模型是线性规划模型？,2022/11/26,10,线性规划问题的数学模型,3. 建模条件,(1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且能够用极值（max 或 min）来表示；,(2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够用决策变量的线性等式或线性不等式表示；,(3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找出最优方案。,2022/11/26,11,线性规划问题的数学模型,4. 建模步骤,(1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选

6、择的量。一般情况下，题目问什么就设什么为决策变量；,(2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束；,(3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。,2022/11/26,12,线性规划问题的数学模型,目标函数：,约束条件：,5. 线性规划数学模型的一般形式,简写为：,2022/11/26,13,线性规划问题的数学模型,向量形式：,其中：,2022/11/26,14,线性规划问题的数学模型,矩阵形式：,其中：,2022/11/26,15,线性规划问题的数学模型,6. 线性规划问题的标准形式,特点：目标函数求最大值；(2) 约束条件为等式方程，且右端常数项bi都

7、大于或等于零；(3) 决策变量xj为非负。,2022/11/26,16,线性规划问题的数学模型,（2）如何化标准形式,目标函数的转换,如果是求极小值即 ，则可将目标函数乘以(-1)，可化为求极大值问题。,也就是：令 ，可得到上式。,即,若存在取值无约束的变量 ，可令 其中：,变量的变换,2022/11/26,17,线性规划问题的数学模型,约束方程的转换：由不等式转换为等式。,称为松弛变量,称为剩余变量,常量 bi0 的变换:约束方程两边乘以（1）,2022/11/26,18,线性规划问题的数学模型,例1.6 将下列线性规划问题化为标准形式,用 替换 ，且,解:（）因为x3无符号要求 ，即x3取

8、正值也可取负值，标准型中要求变量非负，所以,2022/11/26,19,线性规划问题的数学模型,(2) 第一个约束条件是“”号，在“”左端加入松驰变量x4，x40,化为等式；(3) 第二个约束条件是“”号，在“”左端减去剩余变量x5，x50；(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右端常数项化为正数； (5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z=-z,得到max z=-z，即当z达到最小值时z达到最大值，反之亦然;,2022/11/26,20,线性规划问题的数学模型,标准形式如下：,2022/11/26,21,例1.7 将下列线性规划问题化为标准形式,为无约束（

9、无非负限制）,线性规划问题的数学模型,2022/11/26,22,解:,标准形式如下：,线性规划问题的数学模型,2022/11/26,23,例1.8 将线性规划问题化为标准型,解：,线性规划问题的数学模型,无约束,2022/11/26,24,线性规划问题的数学模型,7. 线性规划问题的解,线性规划问题,求解线性规划问题，就是从满足约束条件(2)、(3)的方程组中找出一个解，使目标函数(1)达到最大值。,2022/11/26,25,线性规划问题的数学模型,可行解：满足约束条件、的解为可行解。所有可行解的集合为可行域。 最优解：使目标函数达到最大值的可行解。 基：设A为约束条件的mn阶系数矩阵(m

10、n)，其秩为m，B是矩阵A中m阶满秩子矩阵（B0），称B是规划问题的一个基矩阵，简称基。设：,称 B中每个列向量Pj ( j = 1 2 m) 为基向量。与基向量Pj 对应的变量xj 为基变量。除基变量以外的变量为非基变量。,2022/11/26,26,线性规划问题的数学模型,基解：某一确定的基B，令非基变量等于零，由约束条件方程解出基变量，称这组解为基解。在基解中变量取非0值的个数不大于方程数m，基解的总数不超过 基可行解：满足变量非负约束条件的基本解，简称基可行解。 可行基：对应于基可行解的基称为可行基。,2022/11/26,27,线性规划问题的数学模型,例1.10 求线性规划问题的所有

11、基矩阵。,解: 约束方程的系数矩阵为25矩阵,r(A)=2，2阶子矩阵有10个，其中基矩阵只有9个，即,2022/11/26,28,图解法,线性规划问题的求解方法,一 般 有两种方法,图 解 法单纯形法,两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标,适用于任意变量、但必需将一般形式变成标准形式,下面我们分析一下简单的情况 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。,2022/11/26,29,解题步骤,4. 确定目标函数值增大（或减小）方向；,1. 作出平面直角平面坐标系；,2. 根据约束条件找出可行域；,3.

12、作出目标函数线；,图解法,5. 让目标函数线沿着增大（或减小）方向平行移动，与 可行域相交且有最大（或最小）目标函数值的顶点，即为最优值。,2022/11/26,30,图解法,max Z = 2X1 + X2 X1 + 1.9X2 3.8 X1 - 1.9X2 3.8s.t. X1 + 1.9X2 10.2 X1 - 1.9X2 -3.8 X1 ，X2 0,例1.11 用图解法求解线性规划问题,2022/11/26,31,图解法,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8 (),X1 + 1.9X2 = 10.

13、2(),4 = 2X1 + X2,20 = 2X1 + X2,17.2 = 2X1 + X2,11 = 2X1 + X2,Lo： 0 = 2X1 + X2,（7.6，2）,D,max Z,min Z,此点是唯一最优解，且最优目标函数值 max Z=17.2,可行域,max Z = 2X1 + X2,2022/11/26,32,图解法,max Z=3X1+5.7X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 - 1.9X2 = -3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),（7.6，2）,D,L0： 0=3X1+5.7X2,ma

14、x Z,（3.8，4）,34.2 = 3X1+5.7X2,蓝色线段上的所有点都是最优解这种情形为有无穷多最优解，但是最优目标函数值max Z=34.2是唯一的。,可行域,2022/11/26,33,图解法,min Z=5X1+4X2,x1,x2,o,X1 - 1.9X2 = 3.8 (),X1 + 1.9X2 = 3.8(),X1 + 1.9X2 = 10.2 (),D,L0： 0=5X1+4X2,max Z,min Z,8=5X1+4X2,43=5X1+4X2,（0，2）,可行域,此点是唯一最优解,2022/11/26,34,图解法,2,4,6,x1,x2,2,4,6,无界解(无最优解),m

15、ax Z=x1+2x2,例1.12,x1+x2=4(),x1+3x2=6(),3x1+x2=6(),max Z,min Z,x1,x2,O,10,20,30,40,10,20,30,40,50,50,无可行解(即无最优解),max Z=3x1+4x2,例1.13,2022/11/26,36,由图解法得到的启示,(1) 线性规划问题解的情况：唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解,(3) 最优解或最优解之一一定是在凸集的某个顶点,(2) 线性规划问题的可行域是凸集,(4) 解题思路是，先找出凸集的任一顶点，计算其目标函数值，再与周围顶点的目标函数值比较，如不是最大，继续比较，直到找出最大为止

16、。,图解法,2022/11/26,37,图解法,学习要点：1. 通过图解法了解线性规划有几种解的形式（唯一最优解；无穷多最优解；无界解；无可行解）2. 作图的关键有三点： (1) 可行解区域要画正确 (2) 目标函数增大(或减小)的方向不能画错 (3) 目标函数的直线怎样平行移动,2022/11/26,38,连接几何形体中任意两点的线段仍完全在该几何形体之中。 有限个凸集的交集仍然是凸集。,单纯形法基本原理,2022/11/26,39,单纯形法基本原理,凸集：如果集合C中任意两个点X1、X2，其连线上的所有点也都是集合C中的点，称C为凸集。,顶点：如果凸集C中不存在任何两个不同的点X1，X2，

17、使X成为这两个点连线上的一个点,2022/11/26,40,单纯形法基本原理,定理1：若线性规划问题存在可行解，则该问题的可行域是凸集。定理2：线性规划问题的基可行解X对应可行域(凸集)的顶点。定理3：若问题存在最优解，一定存在一个基可行解是最优解。（或在某个顶点取得）,2022/11/26,41,单纯形法的计算步骤,单纯形法的思路,找出一个初始基可行解,是否最优,转移到另一个基可行解（找出更大的目标函数值）,最优解,是,否,循环,核心是：变量迭代,结束,单纯形举例.ppt,2022/11/26,42,单纯形法的计算步骤,例1.12 用单纯形法求下列线性规划的最优解,解：1）将问题化为标准型，

18、加入松驰变量x3、x4则标准型为:,2022/11/26,43,单纯形法的计算步骤,2）求出线性规划的初始基可行解，列出初始单纯形表。,检验数,2022/11/26,44,单纯形法的计算步骤,3）进行最优性检验,如果表中所有检验数 ，则表中的基可行解就是问题的最优解，计算停止。否则继续下一步。,4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表,确定换入基的变量。 一般选择最大的一个检验数，即： ，其对应的xk作为换入变量。确定换出变量。根据下式计算并选择 ，选最小的对应基变量作为换出变量。,2022/11/26,45,单纯形法的计算步骤,用换入变量xk替换基变量中的换出变量

19、，得到一个新的基。对应新的基可以找出一个新的基可行解，并相应地可以画出一个新的单纯形表。5）重复3）、4）步直到计算结束为止。,2022/11/26,46,单纯形法的计算步骤,入基,bi /ai2，ai20,40,10,出基,将3化为1,5/3,1,18,0,1/3,0,1/3,10,1,1/3,30,30,0,5/3,0,4/3,乘以1/3后得到,1,0,3/5,1/5,18,0,1,1/5,2/5,4,0,0,1,1,2022/11/26,47,单纯形法的计算步骤,例1.13 用单纯形法求解,解：将数学模型化为标准形式：,不难看出x4、x5可作为初始基变量，列单纯形表计算。,2022/11

20、/26,48,单纯形法的计算步骤,20,x2,2,1/3,1,5,0,1,20,75,3,0,17,1,3,1/3,0,9,0,2,25,60,x1,1,1,0,17/3,1/3,1,25,0,1,28/9,-1/9,2/3,35/3,0,0,-98/9,-1/9,-7/3,2022/11/26,49,变成标准型,单纯形法的计算步骤,例1.14 用单纯形法求解,2022/11/26,50,约束方程的系数矩阵,为基变量,为非基变量,I 为单位矩阵且线性独立,单纯形法的计算步骤,2022/11/26,51,2022/11/26,52,2022/11/26,53,2022/11/26,54,单纯形法

21、的计算步骤,学习要点：1. 线性规划解的概念以及3个基本定理2. 熟练掌握线性规划问题的标准化 3.熟练掌握单纯形法的解题思路及求解步骤,2022/11/26,55,单纯形法的进一步讨论人工变量法,人工变量法：前面讨论了在标准型中系数矩阵有单位矩阵，很容易确定一组基可行解。在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作桥梁的求解方法称为人工变量法。,2022/11/26,56,单纯形法的进一步讨论人工变量法,例1.10 用大M

22、法解下列线性规划,解：首先将数学模型化为标准形式,系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。,2022/11/26,57,单纯形法的进一步讨论人工变量法,故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：,其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。,2022/11/26,58,单纯形法的进一步讨论人工变量法,2022/11/26,59,单纯形法的进一步讨论人工变量法,例1.11 用大M法解下列线性规划,解：首先将数学模型化为标准形式,系数矩阵中不存在单位矩阵，无法建立初始单纯形表。,

23、2022/11/26,60,单纯形法的进一步讨论人工变量法,故人为添加两个单位向量，得到人工变量单纯形法数学模型：,其中：M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以理解为它能大于给定的任何一个确定数值；再用前面介绍的单纯形法求解该模型，计算结果见下表。,2022/11/26,61,单纯形法的进一步讨论人工变量法,2022/11/26,62,单纯形法的进一步讨论人工变量法,2022/11/26,63,单纯形法的进一步讨论,通过大法或两阶段法求初始的基本可行解。但是如果在大法的最优单纯形表的基变量中仍含有人工变量，那么该线性规划就不存在可行解。,无可行解,2022/11/26,64,C,-

24、3 -2 -1 0 0 0 -M -M,CB,XB,b,x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8,0-M-M,x4x7x8,643,1 1 1 1 0 0 0 01 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1,6/1-3/1,Z,-7M,-6-4M,-15-M,-3+M -2+M -1-2M 0 -M -M 0 0,0-M-2,x4x7x2,343,1 0 2 1 0 1 0 -11 0 -1 0 -1 0 1 00 1 -1 0 0 -1 0 1,3/14/1-,Z,Z,-3+M 0 -3-M 0 -M -2 0 2-M,-3-M-2,x1x7x2,313,1 0

25、 2 1 0 1 0 -10 0 -3 -1 -1 -1 1 10 1 -1 0 0 -1 0 1,0 0 3-3M 3-M -M 1-M 0 -1,例,单纯形法的进一步讨论,运算到检验数全负为止，仍含有人工变量，无可行解。,2022/11/26,65,单纯形法的进一步讨论,无可行解是指原规划不存在可行解，从几何的角度解释是指 线性规划问题的可行域为空集； 无界解则是指线性规划问题存在可行解，但是可行解的目 标函数达不到最优值，即目标函数在可行域内趋于无穷大。 判别方法：无界解判定定理 在求解极大化的线性规划问题过程中，若某单纯形表的检验 行存在某个大于零的检验数，但是该检验数所对应的非基变量

26、 的系数列向量的全部系数都为负数或零，则该线性规划问题 无界解,无界解,2022/11/26,66,因 但 所以原问题无界解,单纯形法的进一步讨论,2022/11/26,67,退化,即计算出的 （用于确定换出变量）存在有两个以上相同的最小比值，会造成下一次迭代中由一个或几个基变量等于零，这就是退化（会产生退化解）。 为避免出现计算的循环，勃兰特(Bland)提出一个简便有效的规则（摄动法原理）： 当存在多个 时，选下标最小的非基变量为换入变量；(2) 当值出现两个以上相同的最小值时，选下标最小的基变量为换出变量。,单纯形法的进一步讨论,2022/11/26,68,无穷多最优解,若线性规划问题某

27、个基本可行解所有的非基变量检验数都小于等于零，但其中存在一个检验数等于零，那么该线性规划问题有无穷多最优解。例：最优表：非基变量检验数，所以有无穷多最优解。,单纯形法的进一步讨论,2022/11/26,69,单纯形法的进一步讨论,单纯性法小结:,2022/11/26,70,线性规划模型的应用,一般而言，一个经济、管理问题凡是满足以下条件时，才能建立线性规划模型。,要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数 存在着多种方案 要求达到的目标是在一定条件下实现的，这些约束可用线性等式或不等式描述,2022/11/26,71,线性规划模型的应用,常见问题,合理利用线材问题：如何下料使用材最少

28、。配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润。投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大。产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要。运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小。,2022/11/26,72,线性规划模型的应用,(1)设立决策变量； (2)明确约束条件并用决策变量的线性等式或不等式表示； (3)用决策变量的线性函数表示目标，并确定是求极大（Max）还是极小（Min）； (4)根据决策变量的物理性质研究变量是否有非负性。,建立线性规划模型的过程可以分为四个步骤：,2022/11/26,73,线性规划在经济管理中的应用,例

29、：现有一批某种型号的圆钢长8米，需要截取2.5米长的毛坯100根，长1.3米的毛坯200根。问如何才能既满足需要，又能使总的用料最少？,解：为了找到一个省料的套裁方案，必须先设计出较好的几个下料方案。其次要求这些方案的总体能裁下所有各种规格的圆钢，以满足对各种不同规格圆钢的需要并达到省料的目的，为此可以设计出4种下料方案以供套裁用。,1. 合理下料问题,2022/11/26,74,线性规划在管理中的应用,设按方案、下料的原材料根数分别为xj (j=1，2,3,4)，可列出下面的数学模型：,2022/11/26,75,线性规划在管理中的应用,2.人力资源分配问题,例1.11 某昼夜服务的公交线路

30、每天各时间段内所需司机和乘务人员人数如下表所示：,设司机和乘务人员分别在各时间段开始时上班，并连续工作8小时，问该公交线路应怎样安排司机和乘务人员，即能满足工作需要，又使配备司机和乘务人员的人数减少?,2022/11/26,76,线性规划在管理中的应用,解：设xi表示第i班次时开始上班的司机和乘务人员人数。,此问题最优解：x140， x230， x330， x420， x50， x630，一共需要司机和乘务员150人。,2022/11/26,77,3.连续投资问题,某投资公司拟制定今后五年的投资计划，初步考虑下面的四个投资项目：,2022/11/26,78,问题: 现有投资金额100万元，如何

31、使得第五年年末能够获得最大的利润。,2022/11/26,79,模型的分析：,2022/11/26,80,第1年：将100万元资金全部用于项目A和项目D的投资，即,2022/11/26,81,2022/11/26,82,2022/11/26,83,连续投资问题的数学模型:,2022/11/26,84,第1年：项目A为716981.1元和项目D为283018.9元第2年：项目C的投资金额为300000元，第3年：项目D 的投资为424528.3元和项目B为400000元，第4年：投资项目A的金额为450000元。第5年年末该公司拥有总资金为1437500元，即收益率为43.75%。,连续投资方案:,