自动控制原理胡寿松第七章ppt课件.ppt

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1、1,第七章 线性离散系统的分析与校正,本章主要内容,1、离散系统的基本概念2、信号的采样与保持3、Z变换理论4、离散系统的数学模型5、离散系统的稳定性与稳态误差6、离散系统的动态性能分析7、数字控制系统的校正设计,2,第七章 线性离散系统的分析与校正,第一节 离散系统的基本概念,控制系统中有一处或几处信号是一串脉冲或数码，这些信号仅定义在离散时间上，这类系统称为离散时间系统，简称离散系统。,2）数字控制系统或计算机控制系统:信号是数字序列（时间上离散、幅值上离散）,两类离散系统：,1）采样控制系统或脉冲控制系统:信号是脉冲序列（时间上离散）,3,第七章 线性离散系统的分析与校正,时间上幅值上都

2、连续的信号称为模拟信号。,时间上离散而幅值连续的信号称为离散模拟信号或脉冲序列。,时间上幅值上都离散的信号称为数字信号。,1、采样控制系统,4,第七章 线性离散系统的分析与校正,把连续信号转变为脉冲序列的过程称为采样过程，简称采样，实现采样的装置称为采样器或采样开关。,采样器可以用一个周期性闭合的开关来表示，其闭合周期为T，每次闭合时间为h。h通常远小于采样周期T，因此，可近似认为h趋近于0。,5,第七章 线性离散系统的分析与校正,把脉冲序列转变为连续信号的过程称为信号复现过程，实现复现的装置称为保持器。,6,第七章 线性离散系统的分析与校正,2、数字控制系统,A/D转换器：把连续模拟信号转换

3、为离散数字信号的装置。包含两个过程：采样和量化,7,第七章 线性离散系统的分析与校正,1010111,8,第七章 线性离散系统的分析与校正,量化是把离散信号表示成最小位二进制的整数倍，也称编码过程。,D/A转换器：把离散数字信号转换为连续模拟信号的装置。也包含两个过程：解码和复现,一般要求A/D转换器要有足够的字长和足够小的量化单位。,解码是把离散数字信号转换为离散模拟信号。复现是将离散模拟信号转换为连续模拟信号。,9,第七章 线性离散系统的分析与校正,1010111,10,第七章 线性离散系统的分析与校正,3、离散控制系统的特点,1）数字控制系统的控制算法易于实现和复用，数字传感器提高了测量

4、的灵敏度。,2）数字信号的传递可以有效的抑制噪声，提高了系统的抗干扰能力。,4、离散系统的研究方法,采用Z变换法建立离散系统的数学模型，类比连续系统的许多方法，如：稳定性分析、稳态误差计算、时间响应分析及系统校正方法等，经过适当改变后应用于离散系统。,11,第七章 线性离散系统的分析与校正,第二节 信号的采样与保持,1、采样过程和离散信号的数学表达式,理想采样开关S：,采样器可以用一个周期性闭合的采样开关S来表示。,12,第七章 线性离散系统的分析与校正,理想单位脉冲序列,采样过程可以看成是一个幅值调制过程。,13,第七章 线性离散系统的分析与校正,14,第七章 线性离散系统的分析与校正,采样

5、信号e*(t)的数学表达式：,采样信号e*(t)的拉氏变换式：,15,第七章 线性离散系统的分析与校正,采样信号e*(t)的拉氏变换式是s的超越函数，不便于进行研究，通常采用z变换代替拉氏变换，把离散系统的s超越方程变换为z的代数方程。,采样信号e*(t)的频谱：,16,第七章 线性离散系统的分析与校正,代入采样信号表达式：,对采样信号表达式取拉氏变换：,采样信号的付氏变换：,17,第七章 线性离散系统的分析与校正,18,第七章 线性离散系统的分析与校正,2、香农采样定理,如果采样器的输入信号e(t)具有有限带宽，最高频率为h，则使信号e(t)完满地从采样信号e*(t)中恢复过来的条件是：,连

6、续信号e(t)的频谱是单一连续频谱，而采样信号e*(t)的频谱是以采样角频率s为周期的无穷多个频谱之和。,19,第七章 线性离散系统的分析与校正,香农采样定理给出了采样周期（或频率）选择的基本原则。采样周期选得越小，控制效果越好，但增加了计算成本，难以实现复杂控制规律。采样周期选得过大，会降低系统的动态性能，甚至可能导致系统失稳。一般工程实际中取：,3、信号保持,保持器是把数字信号转换为连续信号，从数学上来说，保持器的任务是解决采样点之间的插值问题。,20,第七章 线性离散系统的分析与校正,保持器是具有外推功能的元件，通常采用多项式外推公式描述保持器：,称为m阶保持器。工程上常用零阶保持器。,

7、零阶保持器：,零阶保持器是一种按常值外推的保持器。,保持器的数学描述,21,第七章 线性离散系统的分析与校正,零阶保持器的输出特性,22,第七章 线性离散系统的分析与校正,23,第七章 线性离散系统的分析与校正,（3）时间滞后，平均迟后时间 T/2,零阶保持器的特性：,（1）低通,（2）相角滞后,工程中，零阶保持器可以用输出寄存器来实现，实现非常简单。,24,第七章 线性离散系统的分析与校正,第三节 z变换理论,z变换只适用于离散函数，或者说只能表征连续函数在采样时刻的特性，而不能反映其在采样时刻之间的特性。,z变换实际上是采样函数拉氏变换的变形，因此又称为采样拉氏变换,一、Z变换的定义,25

8、,第七章 线性离散系统的分析与校正,26,第七章 线性离散系统的分析与校正,二、Z变换的性质,1、线性定理,2、实数位移定理,27,第七章 线性离散系统的分析与校正,实数位移定理相当于s变换中的微分和积分定理，应用它可将描述离散系统的差分方程转化为z域的代数方程。,3、终值定理,与连续系统相类似，在离散系统分析中，常用终值定理求取系统输出序列的稳态误差。,28,第七章 线性离散系统的分析与校正,三、求Z变换的方法,部分分式法：先求出已知连续函数的拉氏变换，然后将其展开成部分分式的形式，使每一部分分式对应简单的时间函数，其相应的z变换是已知的，于是可方便求出整个函数的z变换。,29,第七章 线性

9、离散系统的分析与校正,解 将E(s)展成部分分式形式：,查表得：,所以：,30,第七章 线性离散系统的分析与校正,第四节 离散系统的数学模型,线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。,n阶后向差分方程为：,1、差分方程模型,31,第七章 线性离散系统的分析与校正,2、差分方程求解,常用方法有迭代法和z变换法。,1)迭代法:如果已知输出序列的初值，则利用递推关系可以一步一步算出输出序列。,n阶前向差分方程为：,32,第七章 线性离散系统的分析与校正,例 已知差分方程y(k)=x(k)+5y(k1)6y(k2) 输入序列x(k)=1，初始条件为y(0)=0,y(1)

10、=1，试用迭代法求出输出序列y(k)，k =0，1，2，10。,解：根据初始条件及递推关系，得,y(0)=0y(1)=1y(2)=x(2)+5y(1)-6y(0)=6y(3)=x(3)+5y(2)-6y(1)=25y(10)=x(10)+5y(9)-6y(8)=86526,33,第七章 线性离散系统的分析与校正,2）Z变换法：利用z变换的实数位移定理，将差分方程化为以z为变量的代数方程，然后进行z反变换，求出各采样时刻的响应。,对差分方程进行z变换；解出方程中输出量的z变换Y(z)；求Y(z)的z反变换，得差分方程的解y(k)。,Z变换法的具体步骤是：,34,第七章 线性离散系统的分析与校正,

11、差分方程的解可以提供系统在给定输入作用下的输出响应，但不便于研究系统参数变化对系统性能的影响，因此引入另一种数学模型：脉冲传递函数。,3 脉冲传递函数（z传递函数）,1）脉冲传递函数的定义,在零初始条件下，线性定常离散系统的离散输出信号z变换与离散输入信号z变换之比，称为该系统的脉冲传递函数（或z传递函数）。,35,第七章 线性离散系统的分析与校正,注意，多数实际采样系统的输出信号是连续信号，在这种情况下，可以在输出端虚设一个采样开关，并设它与输入采样开关以相同的采样周期T同步工作。这样就可以采用脉冲传递函数的概念。,2)脉冲传递函数的求法,由定义求取；由G(s)求取；由离散系统结构图求取。,

12、36,第七章 线性离散系统的分析与校正,例：求下列差分方程所示系统的脉冲传递函数。,解：取Z变换并由位移定理得：,例：已知开环传函，求G(z)。,37,第七章 线性离散系统的分析与校正,由离散系统结构图求取脉冲传递函数：求传递函数的方法与连续系统不完全相同，还与采样开关的位置和数量有关。,38,第七章 线性离散系统的分析与校正,2、串联环节的开环系统脉冲传递函数,串联形式1：串联环节之间有采样开关,39,第七章 线性离散系统的分析与校正,有采样开关隔开的两个环节串联时，其等效脉冲传函等于两个脉冲传函的乘积,串联形式2：串联环节之间没有采样开关,40,第七章 线性离散系统的分析与校正,没有采样开

13、关隔开的两个环节串联时，其等效脉冲传函等于两个传函的乘积后的Z变换,3、带有零阶保持器的开环系统脉冲传递函数,41,第七章 线性离散系统的分析与校正,42,第七章 线性离散系统的分析与校正,43,第七章 线性离散系统的分析与校正,比较两例开环系统脉冲传递函数可知，两者极点相同，零点不同。零阶保持器不影响系统脉冲传递函数的极点。,4、闭环系统脉冲传递函数,在采样系统中，由于设置采样器方式是多种多样的，所以闭环系统的结构形式不是唯一的。,下图是比较常见的一种采样闭环系统结构图。图中输入端和输出端的采样开关是为了便于分析而虚设的。,44,第七章 线性离散系统的分析与校正,闭环脉冲传递函数：,闭环误差

14、脉冲传递函数：,45,第七章 线性离散系统的分析与校正,46,第七章 线性离散系统的分析与校正,E13.2、E13.4,本节作业,47,第七章 线性离散系统的分析与校正,第五节 离散系统的稳定性与稳态误差,在线性连续系统中，判别系统的稳定性是根据特征方程的根在s平面的位置。若系统特征方程的所有根都在s平面左半平面，则系统稳定。对线性离散系统进行了Z变换以后，对系统的分析要采用Z平面。为了把连续系统在s平面上分析稳定性的结果移植到z平面上，需要弄清这两个复平面的相互关系。,1、s域到z域的映射关系,48,第七章 线性离散系统的分析与校正,得如下映射关系：,49,第七章 线性离散系统的分析与校正,

15、s,50,第七章 线性离散系统的分析与校正,2、离散系统稳定的充要条件,当且仅当离散系统的特征根均位于z平面的单位圆内，或者所有特征根的模均小于1，则相应的线性离散系统是稳定的。,3、离散系统的稳定性判据,劳斯判据只能判别特征方程的根是否在s平面虚轴的左半部。为了利用劳斯判据，需要一种坐标变换，使z平面上的单位圆，对应新坐标系中的虚轴。这种新的坐标变换，称为双线性变换，或称为W变换。,51,第七章 线性离散系统的分析与校正,w变换（双线性变换）,或,52,第七章 线性离散系统的分析与校正,z平面与W平面的对应关系,53,第七章 线性离散系统的分析与校正,将离散系统在z域的特征方程变换为w域的特

16、征方程，然后应用劳斯判据判定。,劳斯稳定判据在离散系统中的应用：,例:设闭环离散系统如图所示，T=0.1s，试求系统临界稳定时K的值。,54,第七章 线性离散系统的分析与校正,解：先求出G(s)的z变换,闭环系统脉冲传递函数为,故闭环系统特征方程为,代入上式，得,55,第七章 线性离散系统的分析与校正,化简后，得W域特征方程,列出劳斯表,从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须使k0，2.736-0.632k0，即k4.33，则k c=4.33。,56,第七章 线性离散系统的分析与校正,Jury（朱利）稳定判据,Jury稳定判据是根据离散系统z域特征方程D(z)=0的系数，直接判别特征

17、根是否严格位于z平面上的单位圆内。类似于连续系统中的赫尔维茨判据。,设离散系统的n阶闭环特征方程:,利用特征方程的系数，构造（2n-3）行、（n+1） 列Jury矩阵。,57,第七章 线性离散系统的分析与校正,Jury矩阵的第一行系数：,Jury矩阵的第二行系数：,第三行系数第四行系数,第五行系数第六行系数,58,第七章 线性离散系统的分析与校正,Jury稳定判据：特征方程D(z)=0的根，全部严格位于z平面上单位圆内的充要条件是：,以及下列（n-1）个约束成立：,若上述条件全满足，则系统稳定，否则系统不稳定。,59,第七章 线性离散系统的分析与校正,例:设一离散时间单位反馈系统，采样周期 T

18、=1s其开环脉冲传递函数为：,试用Jury稳定判据确定系统的 K 值范围。,解：闭环特征方程,60,第七章 线性离散系统的分析与校正,对于二阶系统应用Jury稳定判据，只要用到下面3个约束条件：,61,第七章 线性离散系统的分析与校正,综合（1）（2）（3）得：,4、采样周期对稳定性的影响,离散系统的稳定性除了与开环增益K、系统零极点分布有关外，还与采样周期T有关。,采样周期越长，丢失的信息越多，对系统的稳定性影响越不利，甚至导致系统不稳定。,62,第七章 线性离散系统的分析与校正,5、离散系统的稳态误差,图中：e*(t)叫离散偏差信号，其Z变换表达式:,63,第七章 线性离散系统的分析与校正

19、,1）当闭环稳定时，利用Z变换的终值定理求ess ，即：,离散系统稳态误差的二种计算方法：,64,第七章 线性离散系统的分析与校正,误差脉冲传递函数为：,解：G(s)对应的Z变换为：,极点位于单位圆内，系统闭环稳定。可以用终值定理求稳态误差。,65,第七章 线性离散系统的分析与校正,2）利用稳态误差系数法求ess,A、离散系统的型别,根据开环脉冲传递函数G(z)中z=1的极点个数来确定。,66,第七章 线性离散系统的分析与校正,分别称为0型、1型、2型等等。,B、典型输入信号作用下，ess的计算：,a）单位阶跃输入时的稳态误差,令位置误差系数：,67,第七章 线性离散系统的分析与校正,0型系统

20、,1型及以上的系统,b）单位斜坡输入时的稳态误差,68,第七章 线性离散系统的分析与校正,令速度误差系数：,0型系统,1型系统,2型及以上的系统,c）单位加速度输入时的稳态误差,69,第七章 线性离散系统的分析与校正,令加速度误差系数：,0及1型系统,2型系统,3型以上的系统,70,第七章 线性离散系统的分析与校正,在各种典型输入信号作用下，不同类型系统的稳态误差如下表所示：,71,第七章 线性离散系统的分析与校正,例：求下图所示系统在输入信号 时的稳态误差，采样周期T=0.1s。,解：1）开环脉冲传递函数？,72,第七章 线性离散系统的分析与校正,有1个z=1极点，故为1型系统！,单位阶跃输

21、入时,单位斜坡输入时,73,第七章 线性离散系统的分析与校正,单位加速度输入时,74,第七章 线性离散系统的分析与校正,本节作业,E13.7、E13.14,75,第七章 线性离散系统的分析与校正,第六节 离散系统动态性能分析,本节主要介绍在时域中如何求取离散系统动态性能指标，采样器和保持器对系统动态性能的影响，以及闭环极点与动态性能的关系。,1、由单位阶跃响应分析动态性能,离散系统的动态性能指标定义与连续系统相同，根据单位阶跃响应可以方便地得到离散系统动态性能指标。,例：离散系统如下图所示，试分析系统动态性能。,76,第七章 线性离散系统的分析与校正,解：1）开环脉冲传函：,2）闭环脉冲传函：

22、,77,第七章 线性离散系统的分析与校正,3）单位阶跃响应的z变换,4）单位阶跃响应,C(0)=0;C(1)=0.368;C(2)=1;C(3)=1.4;,78,第七章 线性离散系统的分析与校正,79,第七章 线性离散系统的分析与校正,动态性能指标：,注意：离散系统的动态性能指标只能按采样周期的整数倍来计算，因此是近似的。,80,第七章 线性离散系统的分析与校正,2、与脉冲传递函数相关的Matlab函数,1）求传递函数,81,第七章 线性离散系统的分析与校正,2）连续系统转换为离散系统,82,第七章 线性离散系统的分析与校正,3）离散系统转换为连续系统,83,第七章 线性离散系统的分析与校正,

23、4）求阶跃响应,84,第七章 线性离散系统的分析与校正,5）求脉冲响应,85,第七章 线性离散系统的分析与校正,6）求任意输入响应,86,第七章 线性离散系统的分析与校正,3、采样器和保持器对动态性能的影响,采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点，仅影响其零点。但是，开环脉冲传递函数零点的变化，必然引起闭环脉冲传递函数极点的改变，因此会影响离散系统的动态性能。,下面通过一个例子来定性说明这种影响。,87,第七章 线性离散系统的分析与校正,连续曲线,有采样器没有保持器：,有采样器和保持器：,88,第七章 线性离散系统的分析与校正,结论：,1）采样器可使峰值时间和调节时间略有减少，使超调量增大

24、，采样造成的信息损失会降低系统稳定程度。,2）零阶保持器使系统峰值时间和调节时间都加长，使超调量增大，除了采样造成的不稳定因素外，保持器的相位滞后也降低系统稳定程度。,89,第七章 线性离散系统的分析与校正,4、闭环极点与动态响应的关系,在线性连续系统中，闭环传递函数零、极点在S平面的分布对系统的动态响应有非常大的影响。与此类似，采样系统的动态响应与闭环脉冲传递函数零、极点在z平面的分布也有密切的关系。,1）实轴上的极点,90,第七章 线性离散系统的分析与校正,单调发散,正向等幅,单调收敛,双向收敛,双向等幅,双向发散,91,第七章 线性离散系统的分析与校正,2）共轭复数极点,振荡发散,振荡收

25、敛,等幅振荡,92,第七章 线性离散系统的分析与校正,当闭环极点位于单位圆内时，其对应的动态分量是衰减的。极点离原点越近衰减越快。若极点位于正实轴上，动态分量按指数衰减。一对共扼复数极点的动态分量为振荡衰减。,为了使采样系统具有较为满意的动态响应，其z传递函数的极点最好分布在单位圆内的右半部靠近原点的位置。,93,第七章 线性离散系统的分析与校正,第七节 数字控制系统的校正设计,数字控制系统校正设计就是根据控制指标要求设计供计算机实现的控制器。,控制器设计方法较多，如：连续-离散法、z平面根轨迹法和数字PID法。本节介绍连续-离散法，其它方法在后续课程介绍。,连续离散法（Gc(s)D(z)法）

26、是先按照前面章节介绍的连续系统设计方法针对Gp(s)设计合适的Gc(s)，再依据选定的采样周期T将Gc(s)转换为D(z)。,94,第七章 线性离散系统的分析与校正,数字控制系统,与数字控制系统对应的连续控制系统,95,第七章 线性离散系统的分析与校正,考虑一阶连续校正控制器：,对应的离散控制器为：,96,第七章 线性离散系统的分析与校正,例. 被控对象为：,设计要求：相位裕度45，截止频率c=125 rad/s。,解：首先按照上一章介绍的方法，可以设计出满足性能指标要求的超前校正网络：,若T=0.001s 根据,得,97,第七章 线性离散系统的分析与校正,校正后连续系统和数字系统的阶跃响应见下页图。,98,第七章 线性离散系统的分析与校正,99,本章结束，谢谢！,第七章 线性离散系统的分析与校正,