闭区间上连续函数的性质ppt课件.ppt

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1、2 闭区间上连续函数的性质,实数完备性理论的一个重要作用就是证,一、最大、最小值定理,经在第四章给出过.,明闭区间上连续函数的性质，这些性质曾,三、一致连续性定理,二、介值性定理,返回,首先来看一个常用的定理.,有界性定理 若 f (x) 在闭区间 a, b 上连续, 则 f (x),证 用两种方法给出证明.,第一种方法 使用有限覆盖定理. 因为 f (x) 在 a, b,一、最大、最小值定理,局部有界的性质化为整体有界性质.,上每一点连续, 从而局部有界. 我们的任务就是将,H 覆盖了闭区间a, b. 由有限覆盖定理, 在 H 中存,显然,在有限个开区间,第二种证法 采用致密性定理.,因为x

2、n 有界, 从而存在一个收敛的子列. 为了书,写方便, 不妨假设 xn 自身收敛, 令,设 f (x) 在a, b上无界, 不妨设 f (x)无上界. 则存在,故由归结原理可得,矛盾.,最大、最小值定理(定理4.6) 若函数 f (x) 在a, b,证 f (x) 在 a, b 上连续, 因而有界. 由确界定理,f (x) 在 a, b 上的值域有上确界. 设,上连续, 则 f (x) 在 a, b 上取最大、最小值.,在a, b 上连续, 从而有界, 故存在 G 0, 使,这样就有,这与 M 是 f (x) 在 a, b 上的上确界矛盾.,这就证明了上确界 M 与下确界 m 都是可取到的,最

3、小值.,这也就是说, M 与 m 是 f (x) 在a, b上的最大、,(定理4.7) 设函数 f (x) 在闭区间 a, b上连续, 且,证 在第四章中, 我们已经用确界定理证明此定理.,现在用区间套定理来证明.,二、介值性定理,f (a) f (b).,将 a, b 等分成两个区间 a, c, c, b, 若 F(c)=0,下去, 得到一列闭子区间,个区间的端点上的值异号. 将这个过程无限进行,F(c1) = 0, 已证. 不然同样可知函数 F(x) 在其中一,将 a1 , b1 等分成两个区间 a1, c1, c1 , b1, 若,间端点上的值异号, 将这个区间记为a1, b1. 再,已

4、证. 不然, 函数 F(x)在这两个区间中有一个区,由区间套定理, 存在惟一的, an , bn , 满足:,(定理4.9) 若函数 f (x) 在 a ,b上连续, 则 f (x) 在,证 (证法一) 首先用致密性定理来证明该定理. 在,设 f (x) 在 a, b 上不一致连续, 即存在,三、一致连续性定理,a, b 上一致连续.,究.,下述证明过程中, 选子列的方法值得大家仔细探,现分别取,因为 xn 有界, 从而由致密性定理, 存在 xn 的,连续, 所以由归结原理得到,矛盾.,(证法二) 再用有限覆盖定理来证明.,以及 f,考虑开区间集,那么 H 是 a, b 的一个开覆盖. 由有限覆盖定理,存在有限个开区间,对于任何,一个,也覆盖了 a, b.,所以由小区间的定义得知,