逻辑代数和逻辑函数化简ppt课件.ppt

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1、,第二章 逻辑代数和逻辑函数化简,2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算,2.2 逻辑代数的基本定律及规则,2.3 逻辑函数的表示方法及其转换,2.4 逻辑函数的化简方法,与逻辑,2.1 基本逻辑运算和复合逻辑运算,或逻辑,非逻辑,数码,0, 1,相反的逻辑状态,1. 与逻辑：,当决定一事件的所有条件都具备时，这个事件才发生,这样的逻辑关系称为与逻辑。,功能表,2.1.1 基本逻辑运算,灭,灭,灭,亮,断,断,断,合,合,断,合,合,与逻辑关系,真值表,与逻辑的表示方法：,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,开关断用0表示, 开关闭合用1表示,灯亮用1表示, 灭用0表示,真值表,逻辑函

2、数式,逻辑符号,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,见0为0 全1为1,2. 或逻辑：,决定某一事件的条件只要有一个或一个以上具备时，这个事件就会发生,这样的逻辑关系称为或逻辑。,或逻辑关系,真值表,0,1,1,1,开关断用0表示, 开关闭合用1表示,灯亮用1表示, 灭用0表示,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,0,1,1,1,见1为1 全0为0,例：根据输入波形画出输出波形,A,B,见“0”为“0”，全“1”为“1”,见 “1”为“1”，全“0”为“0”,&,A,3. 非逻辑：,只要条件具备，事件便不会发生；条件不具备，事件一定发生的逻辑关系。,真值表,逻辑函数式,逻辑符号,非逻辑关

3、系,1,0,0,1,(1)与非逻辑,2. 1. 2 复合逻辑运算,真值表,0,0,0,1,0,0,0,1,1,0,1,1,Y1,1,1,1,0,见0为1 全1为0,逻辑函数式,逻辑符号,(1)或非逻辑,2. 1. 2 复合逻辑运算,真值表,0,1,1,1,0,0,0,1,1,0,1,1,Y2,1,0,0,0,见1为0 全0为1,逻辑函数式,逻辑符号,(3) 与或(非)逻辑,(真值表略),与或非逻辑,与或逻辑,(4) 异或逻辑,(5) 同或逻辑,(异或非),0,1,1,0,0 0,0 1,1 0,1 1,= AB,1,0,0,1,0 0,0 1,1 0,1 1,3. 逻辑符号对照,曾用符号,美国

4、符号,国标符号,国标符号,曾用符号,美国符号,或：,0 + 0 = 0,1 + 0 = 1,1 + 1 = 1,与：,0 0 = 0,0 1 = 0,1 1 = 1,非：,二、变量和常量的关系(变量：A、B、C),或：,A + 0 = A,A + 1 = 1,与:,A 0 = 0,A 1 = A,非：,2. 2. 1 逻辑代数的基本定律,一、 常量之间的关系(常量：0 和 1 ),2.2 逻辑代数的基本定律及规则,三、与普通代数相似的定理,交换律,结合律,分配律,证明公式,方法一：公式法,证明公式,方法二：真值表法,(将变量的各种取值代入等式两边，进行计算并填入表中),A B C,四、逻辑代数

5、的一些特殊定理,同一律,A + A = A,A A = A,还原律,证明：,A B,五、若干常用公式,分配律,(5),即,= AB,同理可证,六、关于异或运算的一些公式,异或,同或,AB,(1) 交换律,(2) 结合律,(3) 分配律,= AB,(4) 常量和变量的异或运算,(5) 因果互换律,如果,则有,证明,2.2.2 逻辑代数的基本规则,1. 代入规则：,等式中某一变量都代之以一个逻辑函数，则等式仍然成立。,例如：已知,2.反演规则：求逻辑函数的反函数,则,将 Y 式中“.”换成“+”,“+”换成“.” “0”换成“1”,“1”换成“0” 原变量换成反变量，反变量换成原变量,已知,则,3

6、. 对偶规则：,如果两个表达式相等，则它们的对偶式也一定相等。,将 Y 中“. ”换成“+”,“+”换成“.”“0” 换成“1”,“1”换成“0”,例如,对偶规则的应用：证明等式成立,0 0 = 0,1 + 1 = 1,2.3.1 逻辑表达式,2.3 逻辑函数的表示方法及其转换,2.3.2 真值表,2.3.3 卡诺图,2.3.4 逻辑图,2.3.6 逻辑函数表示方法间的相互转换,2.3.5 波形图,完备函数的概念,我们已经学习过三种最基本的逻辑运算：逻辑与；逻辑或；逻辑非，用他们，可以解决所有的逻辑运算问题，因此可以称之为一个“完备逻辑集”。,2.3.1 逻辑表达式,或与式,与或非式,一.逻辑

7、表达式的类型,与或式,与非-与非式,或与非式,或非-或非式,或非-或式,核心,标准与或表达式,二.逻辑函数的标准形式,标准与或式,标准与或式就是最小项之和的形式,1. 最小项的概念：,包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现一次。,( 2 变量共有 4 个最小项),( 4 变量共有 16 个最小项),( n 变量共有 2n 个最小项),( 3 变量共有 8 个最小项),对应规律：1 原变量 0 反变量,2. 最小项的性质：,(1) 任一最小项，只有一组对应变量取值使其值为 1 ；,A B C 0 0 1,A B C 1 0 1,(2) 任意两个最小项的乘积为 0 ；,(3)

8、全体最小项之和为 1 。,3. 最小项的编号：,把与最小项对应的变量取值当成二进制数，与之相应的十进制数，就是该最小项的编号，用 mi 表示。,对应规律：原变量 1 反变量 0,0 0 0,0 0 1,0 1 0,0 1 1,1 0 0,1 0 1,1 1 0,1 1 1,0,1,2,3,4,5,6,7,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,4. 最小项标准表达式,任何逻辑函数都是由其变量的若干个最小项构成，都可以表示成为最小项之和的形式。,例 写出下列函数的标准与或式：,解,或,m6,m7,m1,m3,2.3.2 真值表,优点：,直观明了，便于将实际逻辑问题抽象成数学表达式。,缺点

9、：,难以用公式和定理进行运算和变换；变量较多时，列函数真值表较繁琐。,2.3.3 卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,优点：,便于求出逻辑函数的最简与或表达式。,缺点：,只适于表示和化简变量个数比较少的逻辑函数，也不便于进行运算和变换。,2.3.4 逻辑图,A,B,Y,C,优点：,最接近实际电路。,缺点：,不能进行运算和变换，所表示的逻辑关系不直观。,2.3.5 波形图,输入变量和对应的输出变量随时间变化的波形,A,B,Y,优点：,形象直观地表示了变量取值与函数值在时间上的对应关系。,缺点：,难以用公式和定理进行运算和变换，当变量个数增多时，画图较麻烦。,2. 3. 6 逻辑函数表示方法间

10、的相互转换,一、真值表,函数式,逻辑图,例 设计一个举重裁判电路。在一名主裁判(A) 和两名副裁判 (B、C) 中，必须有两人以上(必有主裁判)认定运动员的动作合格，试举才算成功。,(1) 真值表,函数式,将真值表中使逻辑函数 Y = 1 的输入变量取值组合所对应的最小项相加，即得 Y 的逻辑函数式。,函数式,化简,(2) 函数式,逻辑图,A,B,Y,C,真值表,函数式,二、逻辑图,2.4 逻辑函数的化简法,2.4.1 关于逻辑函数化简的几个问题,1. 化简的标准（1）与项个数最少（2）每个与项中变量个数最少,卡诺图法,代数法,2. 化简的方法,化简的目的是为了获得最简逻辑函数式，从而使逻辑电

11、路简单、成本低、可靠性高。,2. 4. 2 逻辑函数的代数化简法,一、并项法:,例,例,二、吸收法：,例,例,例,三、消去法：,例,例,2.4.3 逻辑函数的卡诺图化简法,一、 逻辑函数的卡诺图表示法,卡诺图：,最小项方格图(按循环码排列),G2 G1 G0,B2 B1 B0,0 0 0,0 0 0,0 0 1,0 0 1,0 1 0,0 1 1,0 1 1,0 1 0,1 0 0,1 1 0,1 0 1,1 1 1,1 1 0,1 0 1,1 1 1,1 0 0,二变量 的卡诺图,(四个最小项),A,B,1. 变量卡诺图的画法,三变量 的卡诺图：,八个最小项,A,BC,0,1,00,01,卡

12、诺图的实质：用几何相邻表示函数各个最小项逻 辑上的相邻性.,紧挨着,行或列的两头,对折起来位置重合,逻辑相邻：,两个最小项只有一个变量不同,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。如：,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,五变量 的卡诺图：,四变量 的卡诺图：,十六个最小项,AB,CD,00,01,11,10,00,01,11,10,当变量个数超过六个以上时，无法使用图形法进行化简。,AB,CDE,以此轴为对称轴（对折后位置重合）,m0,m1,m2,m3,m4,m5,m6,m7,m12,m13,m14,m15,m8,m9,m10,m11,m0,m1,m2,m3,m8,m

13、9,m10,m11,m24,m25,m26,m27,m16,m17,m18,m19,m6,m7,m4,m5,m14,m15,m12,m13,m30,m31,m28,m29,m22,m23,m20,m21,三十二个最小项,2.逻辑函数的卡诺图表示法,1） 根据变量个数画出相应的卡诺图；,2） 将函数化为最小项之和的形式；,3） 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入 1 ， 其余位置填 0 或不填。,例,1,1,1,1,0,0,0,0,二、 利用卡诺图化简逻辑函数,几何相邻：,相接 紧挨着,相对 行或列的两头,相重 对折起来位置重合,逻辑相邻：,例如,两个最小项只有一个变量不同,化简方法：,卡诺

14、图的缺点：,函数的变量个数不宜超过 6 个。,逻辑相邻的两个最小项可以合并成一项，并消去一个因子。,1. 卡诺图中最小项合并规律：,(1) 两个相邻最小项合并可以消去一个因子,0,4,3,2,1,9,4,6,(2) 四个相邻最小项合并可以消去两个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,BD,0,2,8,10,(3) 八个相邻最小项合并可以消去三个因子,0,4,12,8,3,2,10,11,5,7,13,15,B,0,2,8,10,1,5,13,9,4,6,12,14,2n 个相邻最小项合并可以消去 n 个因子,总结：,2. 用卡诺图化简逻辑函数,化简步骤:,(1) 画函

15、数的卡诺图,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或表达式,例,1,1,1,1,1,1,1,1,解,画包围圈的原则：,(1) 先圈孤立项，再圈仅有一种合并方式的最小项。,(2) 圈越大越好，但圈的个数越少越好。,(3) 最小项可重复被圈，但每个圈中至少有一个新的最小项。,(4) 必需把组成函数的全部最小项圈完，并做认真比较、检查才能写出最简与或式。,不正确的画圈,例,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,1,1,1,1,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或表达式,多余的圈,注意：先圈孤立项,利用图形法化简函数,利用图形法化简函数,例,解,(1) 画函数的卡诺图

16、,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,(2) 合并最小项： 画包围圈,(3) 写出最简与或 表达式,例,用图形法求反函数的最简与或表达式,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,0,0,0,0,(2) 合并函数值为 0 的最小项,(3) 写出 Y 的反函数的 最简与或表达式,练习 用图形法将下列函数化简为最简与或式。,（1） 画函数的卡诺图,（2） 合并最小项：画包围圈,（3） 写出最简与或表达式,1,1,1,1,1,1,1,1,解,1,1,2. 4. 4 具有约束的逻辑函数的化简,一、约束的概念和约束条件,(1) 约束：,输入变量取值所受的限制,例如，逻辑变量 A、B、C，分别表示电

17、梯的 升、降、停 命令。,A = 1 表示升，B = 1 表示降，C = 1 表示停。,ABC 的可能取值,(2) 约束项：,不会出现的变量取值所对应的最小项。,不可能取值,001,010,100,000,011,101,110,111,1. 约束、约束项、约束条件,(3) 约束条件：,(2) 在逻辑表达式中，用等于 0 的条件等式表示。,000,011,101,110,111,由约束项相加所构成的值为 0 的逻辑表达式。,约束项：,约束条件：,或,2. 约束条件的表示方法,(1) 在真值表和卡诺图上用叉号()表示。,例如，上例中 ABC 的不可能取值为,二、 具有约束的逻辑函数的化简,例 化

18、简逻辑函数,化简步骤:,(1) 画函数的卡诺图，顺序 为：,先填 1,0,1,1,1,0,0,0,0,0,0,(2) 合并最小项，画圈时 既可以当 1 ，又可以当 0,(3) 写出最简与或表达式,解,例 化简逻辑函数,约束条件,解,(1) 画函数的卡诺图,1,1,1,1,(2) 合并最小项,(3) 写出最简与或表达式,合并时，究竟把 作为 1 还是作为 0 应以得到的包围圈最大且个数最少为原则。包围圈内都是约束项无意义(如图所示)。,注意：,（1） 画函数的卡诺图,（2） 合并最小项： 画包围圈,（3） 写出最简与或表达式,1,解,1,1,1,1,练习,第二章 小结一、常用逻辑关系及运算,1.

19、 三种基本逻辑运算：,与 、或、非,2. 四种复合逻辑运算：,与非 、或非、与或非、异或,二、逻辑代数的公式和定理,是推演、变换和化简逻辑函数的依据，有些与普通代数相同，有些则完全不同，要认真加以区别。这些定理中，摩根定理最为常用。,真值表 函数式 逻辑符号,练习 求下列函数的反函数（用摩根定理），并化简。,解,三、逻辑函数常用的表示方法：,真值表、卡诺图、函数式、逻辑图和波形图。,它们各有特点，但本质相同，可以相互转换。尤其是由真值表 逻辑图 和 逻辑图 真值表， 在逻辑电路的分析和设计中经常用到，必须熟练掌握。,四、逻辑函数的化简法,化简的方法主要有公式化简法和图形化简法两种。,1. 公式化简法：,可化简任何复杂的逻辑函数，但要求能熟练和灵活运用逻辑代数的各种公式和定理，并要求具有一定的运算技巧和经验。,2. 图形化简法：,简单、直观，不易出错，有一定的步骤和方法可循。但是，当函数的变量个数多于六个时，就失去了优点，没有实用价值。,约束项：（无关项）,可以取 0，也可以取 1，它的取值对逻辑函数值没有影响，应充分利用这一特点化简逻辑函数，以得到更为满意的化简结果。,