计算方法 最佳平方逼近 最小二乘法ppt课件.ppt
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1、第5次 最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘法,计算方法(Numerical Analysis),主要内容,最佳平方逼近曲线拟合的最小二乘法,最佳平方逼近,函数逼近的类型,最佳一致逼近:使用多项式对连续函数进行一致逼近。逼近误差使用范数,度量。,最佳平方逼近:使用多项式s(x)对连续函数f(x)进行平方逼近。逼近误差使用范数,度量。,权函数,这种度量太强,练习:,权函数的定义,权函数(x)和基函数乘法的积分,权函数的非0性质,权函数的意义:强化或弱化某部分积分函数值的影响。例如:在0, 5上,取 则积分,起到了弱化g(x)在区间0, 1的函数值,强化g(x)在区间1, 5的函数值的作用。,离散权函
2、数:在学生成绩系统中总分=a*平时分+b*实验分+c*作业分+d*期末分例如,老师录入系数:a=0.1,b=0.2, c=0.1, d=0.6,则a, b, c, d即为离散的权函数。,由内积可以定义范数(度量):,内积的定义:,4 最佳平方逼近,满足,连续函数的最佳平方多项式逼近,讨论:,最佳平方多项式逼近:采用1, x, x2 ,xn 作为基函数,由此生成的多项式对f(x)进行平方逼近.,中的函数对已知的连续函数f(x)进行逼近。,由此生成的线性空间,连续函数的在线性空间最佳平方逼近,【注】,为了求极值,设,(3.3),展开成方程组形式:,从而,应该是f(x)的最佳平方逼近函数。,计算积分
3、,结论:,2) 逼近误差公式(证明推导,见下页):,是f(x)在集合 上的最佳平方逼近函数。 证明(略),逼近误差公式证明,只需证明,根据之前S*(x)存在性证明过程中得到的(3.3)式,即:,证明完毕。,即:,整理上式,得,推导在最后一页PPT,得最佳平方逼近多项式为:,1,1,红色,同学们自己求一下,1/4,1,1,0.37,1.02,Home,曲线拟合的最小二乘法,3.4. 曲线拟合的最小二乘法,若已知f(x)在点xi(i=1,2,n)处的值yi,便可根据插值原理来建立插值多项式作为f(x)的近似。,但在科学实验和生产实践中,往往会遇到下述情况:节点上的函数值是由实验或观测得到的数据,带
4、有 测量误差,若要求近似函数曲线通过所有的点 (xi,yi),就会使曲线保留着一切测试误差;,3) 由实验或观测提供的数据个数往往很多,如果用插 值法,势必得到次数较高的插值多项式,计算很烦琐。,2) 当个别数据的误差较大时,插值效果可能不理想;,最小二乘法的思想,求一条曲线,使数据点均在离此曲线的上方或下方不远处,所求的曲线称为拟合曲线,它既能反映数据的总体分布,又不至于出现局部较大的波动;更能反映被逼近函数的特性,使求得的逼近函数与已知函数从总体上来说其偏差按某种方法度量达到最小。,为此,希望从给定的数据(xi,yi)出发,构造一个近似函数 ,不要求函数 完全通过所有的数据点,只要求所得的
5、近似曲线能反映数据的基本趋势,如图3.1所示。,图3.1 曲线拟合示意图,在某种意义上,曲线拟合更有实用价值。,y=(x),x,y,在对给出的实验(或观测)数据作曲线拟合时,怎样才算拟合得最好呢?一般希望各实验(或观测)数据与拟合曲线的偏差的平方和最小,这就是最小二乘原理。,两种逼近概念: 插值: 在节点处函数值相同. 拟合: 在数据点处误差平方和最小,问题的提出:函数解析式未知,通过实验观测得到的一组数据, 代表f(x)在区间a, b上的一系列点的函数值 yi= f(xi),通常由函数表来表达。,y=f(x),要求出一个比较简单的函数,不要求函数 完全通过所有的数据点,只要求所得的近似曲线



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