中南大学 大学物理 电磁学 量子物理基础ppt课件.ppt

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1、量子物理基础,第十五章,15-1 德布罗意波 实物粒子的波粒二象性,一、德布罗意波,德布罗意提出了物质波的假设： 一切实物粒子(如电子、质子、中子)都与光子一样,具有波粒二象性。,运动的实物粒子的能量E、动量p与它相关联的波的频率 和波长之间满足如下关系：,德布罗意公式(或假设),与实物粒子相联系的波称为德布罗意波(或物质波),电子的德布罗意波长为,例如：电子经电势差 U加速后,例一）一质量m0=0.05Kg的子弹，v=300m/s，求 其物质波的波长。,解：,例二）一原静止的电子被电场加速到速度v（vc）,加速电压为U，则速度为V的电子的德布罗意波长为多大？,二、德布罗意波的实验证明(电子衍

2、射实验),1927年戴维孙和革末用加速后的电子投射到晶体上进行电子衍射实验。,衍射最大值：,电子的波长：,一切微观粒子都具有波粒二象性。,实验表明电流极大值正好满足此式,1927 年汤姆逊（GPThomson）以600伏慢电子（=0.5）射向铝箔，也得到了像X射线衍射一样的衍射，再次发现了电子的波动性。,1937年戴维逊与GP汤姆逊共获当年诺贝尔物理学奖,（GPThomson为电子发现人JJThmson的儿子）,尔后又发现了质子、中子的衍射,L.V.德布罗意 电子波动性的理论研究,1929诺贝尔物理学奖,C.J.戴维孙 通过实验发现晶体对电子的衍射作用,1937诺贝尔物理学奖,三、德布罗意波的

3、统计解释,1926年，德国物理学玻恩 (Born , 1882-1972) 提出了概率波，认为个别微观粒子在何处出现有一定的偶然性，但是大量粒子在空间何处出现的空间分布却服从一定的统计规律。,微观粒子的空间位置要由概率波来描述，概率波只能给出粒子在各处出现的概率。任意时刻不具有确定的位置和确定的动量。,15-2 不确定关系Uncertainty Relation,电子具有波粒二象性，也可产生类似波的单缝衍射的图样，若电子波长为，则让电子进行单缝衍射则应满足：,明纹,暗纹,1)位置的不确定程度,用单缝来确定电子在穿过单缝时的位置,电子在单缝的何处通过是不确定的!只知是在宽为a的的缝中通过.,我们

4、来研究电子在单缝隙位置的位置和动量的不确定程度,2）单缝处电子的动量的不确定程度,先强调一点：电子衍射是电子自身的波粒二象性结果，不能归于外部的原因，即不是外界作用的结果。,如有人认为衍射是电子与单缝的作用，即电子与单缝材料中的原子碰撞的结果，碰撞后电子的动量大小与方向均发生改变，但实验告诉我们衍射的花样与单缝材料无关，只决定于电子的波长与缝宽a，可见不能归结于外部作用。,显然，电子通过单缝不与单缝材料作用，因此通过单缝后，其动量大小P不变。但不同的电子要到达屏上不同的点。故各电子的动量方向有所不同。,单缝处，衍射角为的电子在X轴上存在动量的分量,Pa,Pb,Pd,Pe,Pc,其衍射角分别为：

5、,即处在单缝处电子动量在X轴上的分量有不确定值,X,X方向电子的位置不确定量为：,电子大部分都到达中央明纹处.,研究正负一级暗纹间的电子。这部分电子在单缝处的动量在X轴上的分量值为：,为一级暗纹的衍射角,由单缝暗纹条件：,为一级暗纹的衍射角,到达正负一级暗纹间的电子在单缝处的动量在X轴上的分量的不确定量为,考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现，所以：,经严格证明此式应为：,设有一个动量为P，质量为m的粒子，能量,考虑到E的增量：,能量与时间不确定关系式,能量与时间不确定关系,不确定关系式的理解,1. 用经典物理学量动量、坐标来描写微观粒子行为时将会受到一定的限制 。,3. 不确定关系指出了使

6、用经典物理理论的限度,2. 不确定关系是微观粒子波粒二象性所决定的， 不能理解为仪器的精度达不到。,所以坐标及动量可以同时确定,1. 宏观粒子的动量及坐标能否同时确定？,电子的动量是不确定的，应该用量子力学来处理。,2. 微观粒子的动量及坐标是否永远不能同时确定？,例3 电子射线管中的电子束中的电速度一般为 105m/s，设测得速度的精度为1/10000，即 V=10m/s，求电子位置的不确定量。,解：,可以用位置、动量描述,结论：能否用经典方法来描述某一问题，关键在于由不确定关系所加限制能否被忽略。,单色平面简谐波波动方程,1 、波函数,描述微观粒子的运动状态的概率波的数学式子,15-3 薛

7、定谔方程,一、波函数 概率密度,自由粒子的物质波波函数,2 、概率密度,波函数的统计铨释（波恩Born）,代表什么？看电子的单缝衍射：,1）大量电子的一次性行为：,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,波强度大，,大,小,波强度小，,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,2）一个粒子多次重复性行为,极大值,极小值,中间值,较多电子到达,较少电子到达,介于二者之间,波强度大，,大,小,波强度小，,波强介于二者之间,粒子的观点,波动的观点,则波函数模的平方表征了t 时刻，在空间(x,y,z)处出现粒子的概率密度,通常比例系数取1:,物质波与经典波的本质区别,经典波的

8、波函数是实数，具有物理意义，可测量。,可测量，具有物理意义,1)物质波是复函数，本身无具体的物理意义， 一般是不可测量的。,2)物质波是概率波。,等价,对于经典波,3 、波函数的标准化条件与归一化条件,1）波函数具有有限性,在空间是有限函数,2）波函数是连续的,3）波函数是单值的,粒子在空间出现的几率只可能是一个值,4）满足归一化条件,（归一化条件）,因为粒子在全空间出现是必然事件,（Narmulisation）,波函数的标准条件：单值、有限和连续,微观粒子遵循的是统计规律，而不是经典的 决定性规律。,牛顿说：只要给出了初始条件，下一时刻粒 子的轨迹是已知的，决定性的。,量子力学说：波函数不给

9、出粒子在什么时刻一定到达某点，只给出到达各点的统计分布；即只知道|2大的地方粒子出现的可能性大，|2小的地方几率小。一个粒子下一时刻出现在什么地方，走什么路径是不知道的（非决定性的）,解：利用归一化条件,例：求波函数归一化常数和概率密度。,这就是一维自由粒子（含时间）薛定谔方程,对于非相对论粒子,一维自由粒子的波函数,1、薛定谔方程,二、薛定谔方程,在外力场中粒子的总能量为：,一维薛定谔方程,三维薛定谔方程,拉普拉斯算符,哈密顿量算符,薛定谔方程,如势能函数不是时间的函数,代入薛定谔方程得：,用分离变量法将波函数写为：,2、定态薛定谔方程,粒子在空间出现的几率密度,几率密度与时间无关，波函数描

10、述的是定态,定态薛定谔方程,粒子在一维势场中,质量为m的粒子在外力场中作一维运动,势能函数为：,当 x a 时，,三、一维无限深势阱,方程的通解为：,由边界条件,粒子的能量,一维无限深势阱中的粒子,四、一维势垒、隧道效应,一维方势垒是指粒子受到势能为,的作用，称为一维方势垒。,入射波,反射波,透射波,透射系数,当U0 -E=5eV 时，势垒的宽度约50nm 以上时，透射系数会小六个数量级以上。隧道效应在实际上已经没有意义了。量子概念过渡到经典了。,扫描隧道显微镜STM (Scanning tunneling microscopy),原理： 电子穿过金属表面的势垒形成隧道电流,隧道电流I与样品和

11、针尖间距离a的关系,样品表面,隧道电流,扫描探针,计算机,放大器,样品,探针,运动控制系统,显示器,扫描隧道显微镜示意图,48个Fe原子形成“量子围栏”，围栏中的电子形成驻波.,五、一维谐振子,粒子的势能函数,薛定谔方程,算符的本征值方程,1 、 算符的本征值和本征函数,15-4 力学量的算符表示,2、 对应原理,对x求导并整理,所以动量算符,一 、力学量的算符表示,动量算符,角动量算符,总能量算符,动能算符,坐标算符,3、力学量算符,1、态的叠加原理,电子双缝实验：,单缝“1”打开，“2”关闭，波函数为1,单缝“2”打开，“1”关闭，波函数为2,双缝都打开，波函数为：,二 、力学量的平均值,

12、双缝实验中：,干涉项,注意：双缝衍射出现的粒子几率分布正好与此结果 相同。且只有波函数是复数时，几率密度才 与实际相同。复数已本质地进入量子力学。 这不同于用枪打靶时的概率相加。,（满足归一化条件）,态叠加原理：,即：,也是体系的一个可能状态。,2 、力学量测量结果的概率,力学量 在某态 中的测量平均值：,3 、力学量的平均值,例：在阱宽为a 的无限深势阱中,一个粒子的状态为,多次测量其能量。问,每次可能测到的能量值和相应概率？,能量的平均值？,解：已知无限深势阱中粒子的,则,多次测量能量(可能测到的值),能量的平均值,概率各1/2,三 、算符的对易和不确定关系,15-5 氢原子的帞量子理论,

13、氢原子由一个质子和一个电子组成，质子质量是电子质量的1837倍，可近似认为质子静止，电子受质子库仑电场作用而绕核运动。,电子势能函数,电子的定态薛定谔方程为,一、氢原子的薛定谔方程,由于氢原子中心力场是球对称的，采用球坐标处理。,定态薛定谔方程为：,用分离变量求解，令,代入方程可得：,上式可分解为两个方程：,氢原子只能处于一些分立的状态，可用三个量子数描写：,1、主量子数n,决定着氢原子的能量,2、角量子数l,角动量大小,3、磁量子数ml,角动量空间取向量子化, 电子的几率分布,代表电子在 体积元 内出现的几率。,归一化条件：,因此上式中径向积分等于1，同时角部分的积分也必须归一。,在半径 r

14、 到 r+dr 的球壳内找到电子的几率,径向几率密度为：,计算表明径向波函数 的节点数,通常把节点数为零（ ）的“态”，称为圆轨道，例如：1s,2p,3d,，它们极大值的位置： ，其中 是第一玻尔轨道半径。,驻波,称 为最概然半径。,电子的径向几率分布,电子的几率密度随角度的变化,电子在 附近的立体角 内的几率：,驻波,1 、 电子自旋,自旋量子数,证实了原子的磁矩在外场中取向是量子化的。即角动量在空间的取向是量子化的。,15-6 多电子原子中的电子分布,1921年，斯特恩（O.Stern）和盖拉赫（W.Gerlach）发现一些处于S 态的原子射线束，在非均匀磁场中一束分为两束。,实验现象：屏

15、上几条清晰可辨的黑斑,结论：原子磁矩只能取几个特定方向， 即角动量在外磁场方向的投影是量子化的。,斑纹条纹数=2l+1,从斑纹条纹数可确定角量子数l,发现：Li,Na,K,Cu,Ag ,Au等基态原子的斑纹数为2,角动量在外磁场方向（取为z轴正向）的投影,1925年，乌仑贝克 ( G.E.Uhlenbeck )和高德斯密特(S.A.Goudsmit)提出： 除轨道运动外，电子还存在一种自旋运动。 电子具有自旋角动量和相应的自旋磁矩。,自旋角动量,自旋角动量的空间取向是量子化的，在外磁场方向投影,电子自旋及空间量子化,“自旋”不是宏观物体的“自转”只能说电子自旋是电子的一种内部运动,二、 多电子

16、原子系统,多电子的原子中电子的运动状态用(n ,l ,ml ,ms)四个量子数表征：,（1）主量子数n，可取n=1,2,3,4, 决定原子中电子能量的主要部分。,（2）角量子数l，可取l=0,1,2,(n-1) 确定电子轨道角动量的值。,nl表示电子态,如 1s 2p,（3）磁量子数ml，可取ml=0, 1 , 2,l 决定电子轨道角动量在外磁场方向的分量。,（4）自旋磁量子数ms，只取ms= 1/2 确定电子自旋角动量在外磁场方向的分量。,“原子内电子按一定壳层排列”主量子数n相同的电子组成一个主壳层。n=1,2,3,4,的壳层依次叫K,L,M,N,壳层。每一壳层上，对应l=0,1,2,3,

17、可分成s,p,d,f分壳层。,（1）泡利(W.Pauli)不相容原理,在同一原子中，不可能有两个或两个以上的电子具有完全相同的四个量子数（即处于完全相同的状态）。,各壳层所可能有的最多电子数:,当n给定，l 的可取值为0,1,2,n-1共n个;,当l给定，ml的可取值为0,1,2,l共2l+1个;,当n,l,ml 给定，ms的可取值为1/2共2个.,给定主量子数为n的壳层上，可能有的最多电子数为：,原子壳层和分壳层中最多可能容纳的电子数,原子系统处于正常态时，每个电子总是尽先占据能量最低的能级。,（2）能量最小原理,K,K,K,K,K,K,L,L,L,L,L,M,M,2 He,3 Li,10 Ne,11 Na,17 Cl,8 O,