解线性方程组的高斯消元法ppt课件.ppt

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1、线 性 代 数,第二章 矩阵,线性方程组是线性代数研究的主要对象之一. 在这一节里，我们讨论线性方程组的高斯消元解法，解的判定。,2.7 解线性方程组的高斯消元法, 用克莱姆法则求解线性方程组时，必须满足： 方程的个数=未知量的个数； 系数矩阵的行列式不等于零。且计算量是比较大的.,用消元法可以较方便的求解和讨论解的各种情况。,对符合或不符合上面两个条件的一般的线性方程组，需考虑：,判别是否有解？ 有解时，有多少解？ 如何求出全部解？,有无穷多解时，解之间的关系要用到3章的n维向量。,一、 线性方程组的概念,本节讨论m个方程，n个未知量的线性方程组：, 当常数项不全为零时，称为非齐次的线性方程

2、组，当常数项全为零时，称为齐次的线性方程组，即,定义2.12 如果方程组中的未知量x1, x2, ,xn的一组x1 = c1, x2= c2, ,xn= cn值代入方程组的每个方程，都成为恒等式，则称这组值为方程组的一组解；全部解的集合称为解集合（或解集）。,定义2.22 如果两个方程组的解集合相等，则称这两个方程组为同解方程组或两个方程组同解。,线性方程组,的解取决于,性方程组的研究可转化为对这个矩阵的研究。,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,线性方程组是否有解，有解时，解是什么等问题，完全由这个矩阵来确定。因此，对线, 线性方程组的矩阵形式,系数和常数项按顺序构成如下的矩阵：,对线性

3、方程组,记,方程组的等价矩阵形式为：,则称A为系数矩阵，,为增广矩阵；, 线性方程组与增广矩阵一一对应。,记,下面讨论消元法：,1. 线性方程组的初等变换,对线性方程方程组实施以下三种变换,(1) 交换某两个方程的位置； (2) 用一个非零常数k乘某一个方程的两边；(3) 将一个方程的k倍加到另一个方程上去.,以上这三种变换称为线性方程组的初等变换.矩阵的初等变换由此推广，下面利用矩阵初等变换来解线性方程组。,二、线性方程组的消元解法,就是利用方程组的初等变换将原方程组化为阶梯形方程组(对应的增广矩阵为行阶梯形矩阵），从而求出其解。,例1 解下列线性方程组:,2. 消元法的具体做法及类型,考察

4、唯一解时系数矩阵与增广矩阵秩的关系。,解 由初等变换有,解得线性方程组解为：,问: (1)消元过程能否在增广矩阵上进行？ (2)消元法是否将方程组化为同解方程组？,因为线性方程组与相应的增广矩阵一一对应，且线性方程组的初等变换恰好对应其增广矩阵的初等行变换。所以，可以直接对增广矩阵进行初等行变换化为行简化形矩阵来求解线性方程组。,如上例，,所以，方程组解是：,回代过程,行最简形矩阵,行最简形方程组, 由行阶梯形方程组从后往前继续用初等变 换化为行最简形方程组（对应的增广矩阵 为行最简形矩阵）的过程，称为回代过程。,r(A)= 3,有唯一解的情形,r(A)=3= r(AB)3(未知量的个数)，有

5、唯一解。,=r(AB),例2 解线性方程组,有无穷多解的情形,解：因为,行阶梯形矩阵,行最简形矩阵,r(A)= 2,=r(AB),4,相应的同解线性方程组为：,【 x3 , x4 任取一组常数，可得到原方程组的 一个解，称其为自由未知量】,自由未知量,令,，得方程组的全部解为,其中c1 ，c2为任意常数。, r(A)=r(AB)24（未知量的个数）时，方 程组有无穷多解。,例3 解线性方程组,解,无解的情形,r(A)3，,r(AB)4,【这是一个矛盾方程组，称“01”为矛盾方程】,相应的同解线性方程组为：,未知量的任何值都不能满足此方程,所以，方程组无解。, r(A)3，r(AB)4，r(A)

6、=r(AB)1或r(A)r(AB)，则无解。,例4 求解齐次线性方程组,解,齐次线性方程组总有r(A)r(B)，总有零解。, 齐次方程组系数矩阵与增广矩阵的秩永远相等。,相应的同解线性方程组为：,令,，得方程组的全部解为,（ 为任意常数）,由行最简形矩阵可以方便求出线性方程组的解，下面证明线性方程组的初等变换化方程组为同解方程组。,证明：只要证明一次初等行变换两方程组同解 即可。,定理2.9 线性方程组AXB经行初等变换，,化为同解线性方程组A1XB1。,即,注意到线性方程组初等变换就是对相应增广矩阵的行初等变换，于是存在初等矩阵R，使,所以，若X1为AXB的解，则AX1=B,X1为A1XB1

7、的解；,于是，,将，,故 X2也为AXB的解。,因此，线性方程组AXB与A1XB1为同解线性方程组。,代入，得：,两端乘,，得：,无解,有无穷多解,下面讨论一般线性方程组解的判别。,1. 线性方程组的高斯消元解法把方程组变换为同解方程组；,2. 消元解法解的情形：,有唯一解,对一般线性方程组 AXB，即,与齐次线性方程组AX0，即,有如下重要结果：,三、线性方程组解的判别,证明,定理2.10,有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵,n元线性方程组Amn X = B,的秩，即,并且：,（1）有唯一解的,（2）有无穷多解的,（3）无解的,或,设,变换化的行阶梯形矩阵中A非零行数为r行。,不妨设

8、该行阶梯形矩阵为,相应的同解方程组为：,不一定为0,所以，方程组AX=B :,（1）有唯一解,有解且没有自由未知量,（2）有无穷多解,（3）无解,有解，且有自由未知量,有矛盾方程,齐次线性方程组,为方程组AXB的特殊情况，因此，由定理易知：,n元齐次线性方程组,推论1,齐次线性方程组AX0：,（2）只有零解,（3）有非零解,有唯一解,有无穷多解,（1）一定有零解：,推论2,方程个数等于未知量数,（1）只有零解,系数矩阵的行列式 ；,（2）有非零解,推论3 若mn，则齐次线性方程组AmnX0,一定有非零解。,定理的证明给出了判断方程组是否有解及求解的方法：,对非齐次线性方程组，将增广矩阵化为行阶

9、梯形矩阵，便可直接判断其是否有解；若有解，化为行最简形矩阵，便可直接求出其全部解., 当有无穷多解时，一般将行阶梯形矩阵非零行的首非零元对应的未知量作为非自由未知量，其余的作为自由未知量。,对齐次线性方程组，主要关心其是只有零解，还是有非零解。将其系数矩阵化为行阶梯形或行最简形矩阵，便可直接写出其全部解.,解,方程组有解,？,例6 讨论线性方程组,当 p ，t 取何值时， 方程组无解？ 有唯一解？有无穷多解? 在方程组有无穷多解的情况下，求出全部解.,解一：因为,含参数方程组解的讨论很综合，要熟悉。,（1）当p2时，,方程组有唯一解；,（2） 当p2时，有,方程组无解；, 当t1时，, 当t1

10、时，,方程组有无穷解，此时 ，,相应同解方程组为,，得方程组的全部解为,（c为任意常数）,解二：因为系数矩阵行列式,所以，,(1) 当p2时，根据克莱姆法则，有唯一解；,(2) 当p2时，,由解一的（2）来求。,有非零解，并求解。,例7 试确定,解一 ：系数矩阵的行列式.,解二：由,的值，使齐次方程组,(一1),因此，当,【完】,(1)当,时，有非零解.,得全部解为：,（C为任意常数）,【完】,(2)当,得全部解为：,（C为任意常数）,例8 a,b为何值时，线性方程组,解一,课堂练习：,无解,有唯一解,无穷解?,解二 系数矩阵的行列式为,【结束】, 对任意的列矩阵B，AmnX=B有解, r(A)=n推不出AmnX=B有解。,(1),(2),(3),无解；,(5),有无穷多解；,(4),作业：,(1),(2),(3),无解；,(5),有无穷多解；,(4),下节课内容：5. 线性方程组 解的判别。,作业：,