自动控制原理第八章ppt课件.ppt

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1、第八章,线性离散系统的理论基础,8 线性离散系统的理论基础,8-1 概述8-2 采样过程及采样定理8-3 Z变换法8-4 脉冲传递函数8-5 采样控制系统的分析方法,学习重点 ：了解线性离散系统的基本概念和基本定理，把握线性连续系统与线性离散系统的区别与联系； 熟练掌握Z变换、Z变换的性质和Z反变换方法； 了解差分方程的定义，掌握差分方程的解法； 了解脉冲传递函数的定义，熟练掌握开环与闭环系统脉冲传递函数的计算方法； 掌握线性离散系统的时域和频域分析方法和原则。,8-1 概述,一、概念,1.模拟信号(即连续信号)时间上连续，幅值上也连续的信号。2.离散的模拟信号：时间上离散，幅值上连续的信号。

2、3.数字信号：时间上离散，幅值上也离散的信号。 时间上离散，幅值上通过量化编码得到的信号。4.采样：将模拟信号按一定时间采样成离散的模拟信号。5.量化：采用一组数码来逼近离散模拟信号的幅值，将其转化成数字信号。,二.分类,如果系统中某处或数处信号是脉冲序列或数码，则这样的系统称为离散时间系统，简称离散系统。其中离散信号以脉冲序列形式出现的称为采样控制系统或脉冲控制系统；以数码形式出现的称为数字控制系统或计算机控制系统。,系统中所有的信号均是时间t的连续函数，这样的系统称为连续时间系统，简称连续系统；,8-1 概述,(1)由数字计算机构成的数字校正装置效果比连续式校正装置好，且由软件实现的控制规

3、律易于改变，控制灵活。 (2)采样信号，特别是数字信号的传递可以有效地抑制噪声，从而提高了系统的抗干扰能力。 (3)允许采用高灵活的控制元件，以提高系统的控制精度。,三.特点,(4)可用一台计算机分时控制若干个系统，提高了设备的利用率，经济性好。 (5)对于具有传输延时，特别是大延迟的控制系统，可以通过引入采样来提高稳定性。,8-1 概述,采样控制最早出现于某些具有大惯性或较大滞后特性的控制中。图 8.1 是一个工业用炉温自动控制系统的方框图。,8-1 概述,控制对象的特点：,炉子是一个具有延迟特性的惯性环节，时间常数较大。,炉温连续调节过程,当炉温偏低，电动机将迅速旋转，开大阀门，给炉子供应

4、更多的燃料。由于炉子本身时间常数较大，炉温上升很慢，当炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的开度，因此炉温继续上升，造成超调，又导致电动机反过来旋转。根据同样的道理，又会造成反方向超调，这样会引起炉温大幅度振荡，因此连续系统控制炉温很难取得良好的效果。,8-1 概述,在误差信号和执行电机之间装一个采样开关，如图 8.2所示，令其周期性地自动闭合和断开。,炉温系统的调整：,8-1 概述,当炉温出现误差时，该信号只有在闭合时才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大小再进行调节。由于电动机时转时停，超调

5、现象受到抑制，即使采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。,炉温离散调节过程,8-1 概述,8-2 采样过程及采样定理,一.离散时间函数的数学表达式,1.采样过程：对连续信号的采样是用离散瞬时上的序列值替代初始的连续信号。完成信号转变的装置称为采样器或采样开关。,采样周期 T，开关合上时间,2.表达式：,单位脉冲函数 ，可以写出周期函数,表示一个无穷的脉冲序列，脉冲发生在 时刻，幅值无穷大, 表示采样时刻 表示采样值,8-2 采样过程及采样定理,相当于用 去调制 ，调制后的 即为,8-2 采样过程及采样定理,二.采样函数 的频谱分析,一个周期函数展开为傅立叶级数的复数形式为,8-2 采样过程及

6、采样定理,1.单位理想脉冲序列 的傅立叶级数,式中,采样频率,8-2 采样过程及采样定理,2.采样函数 的频谱,8-2 采样过程及采样定理,取拉氏变换（利用位移定理）,得到了关于连续函数 的频谱 与采样函数频谱 的关系。,8-2 采样过程及采样定理,令,由图知，采样函数频谱是离散的当 时， 为主频谱；,当 时，有无穷多个附加的高频频谱，并且每隔采样频率 重复一次，所以理想采样信号是周期函数，且含有高频分量。,8-2 采样过程及采样定理,三.采样定理,8-2 采样过程及采样定理,采样定理所要解决的问题是：采样周期选多大，才能将采样信号较少失真地恢复为原来的连续信号。,举例说明：设有一顺时钟旋转的

7、轮子上面有一个标志用摄像机给轮子拍照后，再反映、观察结果。,放映结果,1圈拍一次,静止,状态,3/4圈拍一次,1/2圈拍一次,1/4圈拍一次,逆时针转动,抖动,顺时针转动,8-2 采样过程及采样定理,拍摄相当于采样，放映相当于复原，采样频率直接影响了结果，每周拍摄次数应大于2才能复原。,8-2 采样过程及采样定理,从采样函数频谱进一步分析：为了复现采样前的原有连续信号，要求采样后的离散频谱彼此不重叠，且有理想的低通滤波器滤掉所有的高频频谱分量。,（1）T=0,（2）T较小，即采样频率较高，且满足：,（3）,离散频谱恰好相交接但不重叠。,8-2 采样过程及采样定理,（4）T较大，s 较小,各离散

8、频谱相重叠，重叠后的频谱与原信号的频谱图形状完全不同。,为了复现原信号的全部信息，要求离散频谱彼此互不重叠，即要求采样角频率s满足如下关系：,8-2 采样过程及采样定理,香农采样定理：如果 是有限带宽的信号，即 时， ；而 是 的理想采样信号，若采样频率 ，则一定可以由采样信号 唯一的决定出原始信号 。即当 时，可由 完全的恢复出 来。,8-2 采样过程及采样定理,四.信号的复现,为了实现对被控对象的有效控制，有时必须要把离散信号恢复为相应的连续信号，即信号的复现。,实现方法为加入保持器（零阶、一阶）,8-2 采样过程及采样定理,1.零阶保持器,即在 和 之间， 保持 时的值不变。,8-2 采

9、样过程及采样定理,2.零阶保持器的传函和频率特性,传函为,若输入为单位脉冲信号 ，输出为,8-2 采样过程及采样定理,8-2 采样过程及采样定理,频率特性,它具有结构简单，易于实现，相位滞后最小，应用广泛（如步进电机，寄存器，D/A转换器，无源网等）,8-2 采样过程及采样定理,幅频特性：,相频特性：,8-3 Z变换及其反变换,连续控制系统,采样控制系统,微分方程,差分方程,拉氏变换,Z变换,传递函数,脉冲传递函数,描述,描述,通过,数学模型,数学模型,通过,描述,描述,一、Z变换的定义,令,则上式变为,对于连续函数f(t)，如果它可以进行拉氏变换，其定义为：,采样函数 f *(t)可表示为：

10、,一、Z变换的定义,上式称为采样函数的Z变换，用符号表示：,说明：,1.连续函数的拉氏变换与采样函数的Z变换有对应关系。,以上两式均表示f *(t)的拉氏变换，一个定义在s域，一个定义在 z域。,采样函数Z变换有称为不连续函数拉氏变换或脉冲拉氏变换。,一、Z变换的定义,2. 代表时序变量。,又,对应,对应,一、Z变换的定义,3.对应关系,连续函数,采样函数,4. 仅是连续函数在采样时刻上的特性，不能反映采样时刻之间的特性。,5. 式 分析系统方便。 式 运算方便,一、Z变换的定义,二、Z变换的求法,级数求和法（定义式）,由 展开式,例：求 的Z变换,单位阶跃函数经采样后的脉冲序列为：,与其Z变

11、换级数展开式比较：,变量z-k 的系数，代表着采样脉冲的强度，而它的幂次代表脉冲出现的时刻，故z-k可看成是时序变量。这样在Z变换表示的无穷级数展开式中，可以很清楚地看出原函数在各采样时刻脉冲冲量的大小及分布情况。,二、Z变换的求法,、部分分式法,二、Z变换的求法,基本思想：把时间函数表达成最基本的最典型的时间函数之和的形式（如阶跃函数、指数函数），再利用已知的典型函数的Z变换，求得所求的Z变换。,例：求 的Z变换,二、Z变换的求法,三、Z变换的性质（基本定理）,1、线性性质：满足齐次性和叠加性。,a,b,常数,若,2.延迟（滞后）定理：延迟几个采样周期。,则延迟（滞后）定理：,二、Z变换的求

12、法,3.超前定理,4、位移定理,二、Z变换的求法,5、初值定理,则函数的初值,二、Z变换的求法,例：求 对应的f(t)初值和终值,6、终值定理,二、Z变换的求法,7、卷积和定理,二、Z变换的求法,三、Z反变换,1、定义：由Z域函数求时间域函数的过程,仅能求出采样函数脉冲序列的表达式,即,2、求法：、长除法:将 展开成 降幂排列级数,对应原函数为,例： 求Z反变换,解：,部分分式法 将F(z)分解成低阶部分分式之和，然后利用Z变换表直接查得各低阶分式Z反变换。例： 求 ？ 解：,三、Z反变换,8-4 线性常系数差分方程,一、差分方程定义,用离散自变量的函数及其前后采样时刻离散信号之间的关系来进行

13、描述的，由此建立起来的方程称为差分方程。,对于一般的离散系统，k时刻的输出 ，不但与k时刻的输入有关，而且与k时刻以前的输入有关，同时还与k时刻以前的输出有关。这种关系一般可以用下列n阶后向差分方程来描述：,或表示成,当系数均为常系数时，则为线性定常差分方程。也可表示成卷积和的形式,8-4 线性常系数差分方程,例8-8,一储户系统,设第 k个月的存款数为 xc(k)，第 k个月中间存款数为 xr(k)，上个月余额为 xc(k-1)，月利率为 r，且 xc(0) =xr(0)。可写出储户关系的差分方程：,也可以将此差分方程写成卷积和的形式：,8-4 线性常系数差分方程,8-4 线性常系数差分方程

14、,卷积和表示为：,与微分方程相似，差分方程也分齐次和非齐次方程。,输入序列为零称为齐次方程，其解表示在无外界作用下离散系统的自由运动，反映系统自身的物理特性。而非齐次方程的特解则反映在外界输入量作用下系统强迫运动的情况。,8-4 线性常系数差分方程,二.差分方程的解法,1.迭代法 若已知差分方程，并且给定输出序列的初值，则可以利用递推关系，逐步地算出输出序列。,例8-9,8-4 线性常系数差分方程,已知差分方程：,初始条件：,解：,同理，,输入、输出脉冲序列如图。,8-4 线性常系数差分方程,2.Z变换法 用Z变换法求解差分方程的实质和用拉氏变换解微分方程类似，首先要对差分方程两端取Z变换，并

15、利用Z变换的位移定理，得到以z为变量的代数方程，然后对代数方程的解 取Z反变换，求得输出序列 。,8-4 线性常系数差分方程,得,求系统响应？,例：,初始条件：,解：对（*）式Z变换得,8-4 线性常系数差分方程,8-5 脉冲传递函数,一.脉冲传函的概念,二.脉冲传递函数的推导,三.开环系统脉冲传函,四.闭环系统脉冲传函,1.定义： 在初始条件为零的采样和数字系统中，环节或系统输出脉冲序列的Z变换与输入脉冲序列的Z变换之比，称为该环节或系统的脉冲传函。记,2.意义：,一.脉冲传函的概念,二.脉冲传递函数的推导,1.由单位脉冲响应推出,对于线性系统，输入为 时，输出,输入为脉冲序列,输出为各脉冲

16、响应之和,令,1.由单位脉冲响应推出,根据卷积和定理,二.脉冲传递函数的推导,2.由拉氏变换求出,离散化,Z变换,二.脉冲传递函数的推导,3.由差分方程求解,零初始条件下，对差分方程进行Z变换,例:,两边取 Z变换.初始为零,二.脉冲传递函数的推导,1.串联各环节间有采样器的情况,三开环系统脉冲传函,2.串联各环节间没有采样器的情况,三开环系统脉冲传函,3.并联环节,三开环系统脉冲传函,四闭环系统脉冲传函,1.,结论：系统输出,为开环脉冲传递函数，从任一采样开关断开沿信号方向走一周而构成。,为前向通道中输出量的Z变换，包括输入信号。,四闭环系统脉冲传函,2.,四闭环系统脉冲传函,3.,不能得出

17、对扰动的脉冲传函，只能得到输出量的Z变换。,四闭环系统脉冲传函,8-6 采样控制系统的分析,一.采样控制系统的时域分析,二.采样控制系统的稳定性分析,三.闭环传函极点的位置与暂态特性的关系,四.采样控制系统的稳态误差,五.频率法分析,六.最小拍系统设计,一.采样控制系统的时域分析,1.用Z变换求系统的单位阶跃响应,例,求系统的单位阶跃响应。,解：,令K=1,一.采样控制系统的时域分析,利用长除法,求Z反变换,若采样周期,则,一.采样控制系统的时域分析,例：在上例中加入保持器，再求系统的单位阶跃响应。,一.采样控制系统的时域分析,一.采样控制系统的时域分析,可看出：加入零阶保持器后，使超调增大，

18、调节时 间加长。,一.采样控制系统的时域分析,二.采样控制系统的稳定性分析,线性连续系统稳定的充分必要条件是闭环传递函数的极点均位于左半 s 平面。因为采样系统的分析是建立在Z变换基础之上的，所以稳定性分析也只限于在采样点上的值。线性离散系统中，稳定性是由闭环脉冲传递函数的极点在 z 平面上的分布确定的。为了用连续系统的稳定判据来分析离散系统的稳定性，首先应找出 s 平面和 z 平面的映射关系。,1. Z平面上系统稳定的条件,连续系统中,可令,二.采样控制系统的稳定性分析,拉氏反变换,当 时， 有界（即 在 时稳定）的条件是所有暂态项趋于零，即,即,二.采样控制系统的稳定性分析,离散系统中，采

19、用类似的方法,式中,为闭环传函极点,对上式取Z反变换,二.采样控制系统的稳定性分析,若系统稳定，则当 时，暂态分量衰减为零。,即,则要求闭环系统脉冲传函的全部极点,满足,结论：Z平面内，系统稳定的充要条件是全部闭环极点分布在以Z平面原点为圆心的单位圆内。,二.采样控制系统的稳定性分析,2. S平面与Z平面的关系,设 s=+j ，则有,因此，s平面与z平面的映射关系为,当 =0时， z=1，即s平面的虚轴映射为z平面上以原点为圆心的单位圆；当0时，z1，即s平面的右半平面映射为z平面上单位圆以外的部分。,二.采样控制系统的稳定性分析,二.采样控制系统的稳定性分析,例,判断系统稳定性。,解;开环脉

20、冲传函,闭环脉冲传函,二.采样控制系统的稳定性分析,闭环特征方程,即,则,由于,所以闭环系统不稳定。,二.采样控制系统的稳定性分析,3.劳斯判据,离散系统不能直接使用劳斯判据，因为离散系统稳定边界是 z 平面上以原点为圆心的单位圆周，而不是虚轴。因此必须采用一种变换，将 z 平面上的单位圆周映射到新坐标系中的虚轴，这种坐标变换称为w变换，又称双线性变换。,设,则,二.采样控制系统的稳定性分析,在w平面上,则z平面的单位圆对应w平面的虚轴。,做好w变换后，就可应用劳斯判据。,在Z平面的单位圆上,二.采样控制系统的稳定性分析,二.采样控制系统的稳定性分析,例:使系统稳定的K的取值范围。,解：,特征

21、方程式：,二.采样控制系统的稳定性分析,令,得,由代数判据知，二阶系统各项系数大于0，闭环系统稳定,二.采样控制系统的稳定性分析,二.采样控制系统的稳定性分析,三.闭环传函极点的位置与暂态特性的关系,单位阶跃输入下，系统的输出为,（1）极点位于z平面实轴上的情况,B2,B3,B1: 极点位于单位圆外实轴上，其模大于1，输出脉冲序列为单调发散。,B2: 极点位于单位圆边界正实轴上，其模等于1，输出脉冲序列为常值脉冲列。,B3：极点位于单位圆内正实轴上，其模小于1，输出脉冲序列为单调衰减。,三.闭环传函极点的位置与暂态特性的关系,B2,B3,B4,B5,B6,B4：极点位于单位圆内负实轴上，其模小

22、于1，输出脉冲序列为正负交替的衰减振荡。,B5：极点位于单位圆边界负实轴上，其模等于1，输出脉冲序列为正负交替的常值振荡。,三.闭环传函极点的位置与暂态特性的关系,B2,B3,B4,B5,B6,B6：极点位于单位圆外负实轴上，其模大于1，输出脉冲序列为正负交替的发散振荡。,三.闭环传函极点的位置与暂态特性的关系,（2）极点位于z复平面的情况 极点位于单位圆内复平面上，输出脉冲序列为衰减振荡；极点位于单位圆外复平面上，输出脉冲序列为发散振荡。只是位置不同，振荡循环次数不同。,三.闭环传函极点的位置与暂态特性的关系,三.闭环传函极点的位置与暂态特性的关系,结论： 闭环脉冲传递函数的极点在单位圆内是

23、稳定的，它们的最好位置是在单位圆内正实轴上并靠近原点处，此时暂态响应分量为单调衰减，反应迅速。,三.闭环传函极点的位置与暂态特性的关系,四、采样控制系统的稳态误差,和连续系统一样，稳态误差是采样系统稳态性能的一个重要指标。其大小与输入信号的类型有关，也和系统的结构形式和参数有关。,单位反馈采样系统如图：,误差信号的Z变换为：,对于稳定的闭环系统，由Z变换的终值定理得：,1.稳态误差定义,2.系统类型的定义：,开环脉冲传递函数表示：,N表示在z=1处有N个重极点。这里，N=0、1、2时，分别称系统为型、型和型系统。,四、采样控制系统的稳态误差,3.典型输入信号下采样系统的稳态误差,单位阶跃输入时

24、,稳态误差为：,称为位置稳态误差系数。,四、采样控制系统的稳态误差,型系统：N=，,型系统：N=1，,型系统：N=0，,，,单位斜坡输入时,稳态误差为：,四、采样控制系统的稳态误差,，称为速度稳态误差系数。,型系统：N=0， kv=0，,型系统：N=1，,型系统：N=，,单位抛物线输入时,四、采样控制系统的稳态误差,稳态误差为：,称为加速度稳态误差系数。,0型和1型系统，ka=0，,2型系统，,，,可看出，类型越高，稳态误差越小。,四、采样控制系统的稳态误差,五.频率法分析,采样系统的Bode图绘制与连续系统一样，只是要先经过W变换，以虚频率为频率绘制Bode图。,例8-16,结构图如图，其中

25、，T=1s，画系统Bode图。,解：,代入T=1s，得：,令：,五.频率法分析,得频率特性：,由此式画Bode图，可看出，是一个非最小相位系统，类型为1型，放大系数为1，存在三个交接频率：,五.频率法分析,五.频率法分析,也可从图上读出相位裕量，增益裕量，分析稳定性，分析暂态特性，等等，这和连续系统一样。,五.频率法分析,得,Xr(S),W(S),D(Z),-,数字控制器的脉冲传函,Xc(S),最小拍系统:在典型控制信号下在各采样时刻上无稳态响应误差,且能在有限个采样周期内结束响应过程,从而完全跟踪控制信号的离散系统或数字系统。,1.G(Z)的零极点均位于单位圆内几种典型输入信号的Z变换分别为

26、:,可写成,由此可见，其一般形式,最小拍系统,即可。,式中取,在,项数最少,所含,及,为满足要求需使,由以上二式可看出,(3),(3),最小拍系统,(2) 当r(t)=t时,两拍跟踪上输入,这里,T,T,3,T,2,1,T,T,T,2,T,2,T,),(,0,3,0,2,0,0,0,2,0,1,0,1,0,L,L,L,L,+,+,+,+,=,-,-,+,+,+,+,=,=,=,-,-,-,-,-,-,-,n,n,Z,n,Z,Z,Z,Z,n,Z,Z,z,z,A,n,2.典型控制信号作用下的脉冲传函,(3) 当r(t)=t2/2时,三拍时跟踪上输入,+,-,=,-,-,=,WB,=,+,=,-,-

27、,-,-,-,-,3,2,1,3,1,2,2,0,1,2,0,3,3,),1,(,1,),(,3,0.5T,0.5T,),(,z,z,z,z,z,z,z,z,A,n,2.典型控制信号作用下的脉冲传函,小结,1. 离散时间系统与连续时间系统在数学分析工具、稳定性、动态特性、静态特性、校正与综合等方面都具有一定的联系和区别，许多结论都具有相类同的形式，在学习时要注意对照和比较，特别要注意它们不同的地方。 2. 处理离散系统的基本数学工具是Z变换。要掌握Z变换的定义及主要性质，要会使用Z变换表。 3. 离散系统的脉冲传递函数与连续系统中的传递函数一样重要。它是研究离散系统最有力的手,4. 要掌握 S平面与Z平面的对应关系，掌握离散系统的稳定判据及采样周期等参数对稳定性的影响。能对离散系统的动态特性作一般分析，能够根据系统结构特点分析其静态误差特性。,小结,作业：习题8-10,段之一，要能熟练地求出典型离散系统的闭环脉冲传递函数。对一些常见的离散系统框图应能推导出输出Z变换的表达式。,