经典高等数学ppt课件D12 3幂级数.ppt

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1、1,复习：常数项级数的审敛法,1.任意项级数的审敛法,(3)性质法.,(4)利用重要级数.,(1)定义法：,存在(不存在),常数项级数收敛(发散),2,2.正项级数的审敛法,(2)比值法,(1)比较法,(3)根值法,(常数 k 0 )；,3.交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法),(i),(ii),3,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十二章,4,一、 函数项级数的概念,1.定义：,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,记为,即,例如：,级数,级数,定义在 的级数,5,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,收敛,发散

2、,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,2.收敛点与收敛域:,例如 级数,收敛域为(1,1);,发散域为,注意：,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,6,为级数的和函数 , 并写成,若用,则余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,3.和函数:,(定义域是?),如:,7,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如, 幂级数,为幂级数的系数 .,即是此种情形.,的情形, 即,称,1.定义：,8,2.幂级数收敛域的结构：,显然，,当x = 0 时，,收敛

3、.,例如 级数,收敛；,发散；,收敛域为,发散域为,时，有和函数,由此看出:它的收敛域是以原点为中心的对称区间.,这个结论对于一般的幂级数也成立吗？.,9,定理1,(阿贝尔Abel定理),(1)如果级数,在,处收敛，,则它在满,足不等式,的一切x处绝对收敛.,(2)如果级数,在,处发散，,则它在满足不等式,的一切x处发散.,简记:,收敛,发散,发散,10,阿贝尔(1802 1829),挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.,他在22岁时就解决了用根式解5 次方程,的不可能性问题 ,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中, 他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论的奠基人之一,他

4、的一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路.,数学家们工作150年.,类代数方程,他是椭圆函数,C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,11,定理1,(阿贝尔Abel定理),(1)如果级数,在,处收敛，,则它在满,足不等式,的一切x处绝对收敛.,(2)如果级数,在,处发散，,则它在满足不等式,的一切x处发散.,简记:,绝对收敛,发散,发散,12,证: 设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,13,反之, 若当,时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛 ,面的证明可知,

5、级数在点,故假设不真.,的 x , 原幂级数也发散 .,时幂级数发散 ,则对一切,则由前,也应收敛,与所设矛盾,证毕,如果级数,在,处收敛，,则它在满,足不等式,的一切x处绝对收敛.,14,几何说明:,绝对收敛,发散,发散,说明:,因此 , 阿贝尔定理刻画了幂级数的收敛域的特征,15,推论:,不是仅在x=0一点收敛，,也不是在,整个数轴上都收敛，,则必有一个完全确定的正数R存,在，,它具有下列性质：,如果幂级数,幂级数绝对收敛；,幂级数发散；,当x=R与x=R时，,幂级数可能收敛也可能发散.,绝对收敛,发散,发散,16,定义:,正数R称为幂级数的收敛半径.,绝对收敛,发散,发散,称为幂级数的收

6、敛区间.,称为幂级数的收敛域.,规定,问题:,如何求幂级数的收敛半径?,(1)幂级数只在x=0处收敛时，,收敛域为0;,(2)幂级数对一切x都收敛时，,收敛区间为,17,如果幂级数,的所有系数,3.幂级数收敛半径的求法：,定理2.,是它的相邻两项的系数且满足：,则,1) 当 0 时,2) 当 0 时,3) 当 时,的收敛半径为,说明:据此定理知,18,证:,1) 若 0,则根据比值审敛法可知:,当,原级数绝对收敛;,当,原级数发散.,即,时,即,时,2) 若,则根据比值审敛法可知,绝对收敛 ,3) 若,则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,对任意 x 原级数,因此,因此,因此级数的收

7、敛半径,19,说明:,1)注意定理的条件：,幂级数,的所有系数,是它的相邻两项的系数,不缺项,存在或为,且,2)定理的条件是结论的充分条件，不是必要条件.,3)定理的证明中找收敛半径的方法叫比值法(或根值法),该法适用于任何函数项级数.,4)用定理找收敛半径的方法叫公式法，该法适用于标准的幂级数(即不缺项的).,20,对端点 x =1,的收敛半径及收敛域.,解:,对端点 x = 1, 级数为交错级数,收敛;,级数为,发散 .,故收敛域为,例1. 求幂级数,21,例2. 求下列幂级数的收敛域 :,解: (1),所以收敛域为,(2),所以级数仅在 x = 0 处收敛 .,规定: 0 ! = 1,2

8、2,解:,缺少偶次幂的项,级数绝对收敛,级数发散,例3.,求幂级数,的收敛区间及收敛域.,考虑级数,应用直接法，,级数为,23,级数发散,因为原级数的收敛区间为,所以原级数的收敛域为:,级数为,级数为,级数发散,例3.,求幂级数,的收敛区间及收敛域.,24,例4.,的收敛半径 .,解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,比值审敛法求收敛半径.,时级数绝对收敛,时级数发散,故收敛半径为,故直接由,25,例4.,的收敛半径 .,另解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2,可通过换元化为标准型再求 .,级数变为,故收敛半径为,时原级数绝对收敛.,26,例5.,解: 令,级数变为,当 t = 2

9、 时, 级数为,此级数发散;,当 t = 2 时, 级数为,此级数条件收敛;,因此级数的收敛域为,故原级数的收敛域为,即,27,求收敛半径的方法总结:,幂级数中奇偶项齐全,时用公式求R,幂级数中奇偶项不齐全,这时不能用以上公式求R.,应该根据收敛半径的定义用直接法求R.,如：,若级数为,则应用代换法，,令,先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .,求收敛域的方法:,28,小 结,2.幂级数的概念:,1.函数项级数的概念:,3.幂级数的收敛定理:,(阿贝尔Abel定理),29,如果幂级数,的所有系数,定理2.,是它的相邻两项的系数且满足：,作业：P277 1(2)(4)(6)(8). P323 7(1),(4),预习：P274-P277,思考与练习,1. 已知,处收敛,问该级数收敛,半径是多少 ?,答:,根据Abel 定理可知, 级数在,收敛 ,故收敛半径为,30,2. 在幂级数,中,n 为奇数,n 为偶数,能否确定它的收敛半径不存在 ?,答: 不能.,因为,说明: 可以证明,比值判别法成立,根值判别法成立,