经典高等数学ppt课件D12 3幂级数.ppt
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1、1,复习:常数项级数的审敛法,1.任意项级数的审敛法,(3)性质法.,(4)利用重要级数.,(1)定义法:,存在(不存在),常数项级数收敛(发散),2,2.正项级数的审敛法,(2)比值法,(1)比较法,(3)根值法,(常数 k 0 );,3.交错级数的审敛法(莱布尼茨审敛法),(i),(ii),3,第三节,一、函数项级数的概念,二、幂级数及其收敛性,三、幂级数的运算,幂级数,第十二章,4,一、 函数项级数的概念,1.定义:,为定义在区间 I 上的函数项级数 .,记为,即,例如:,级数,级数,定义在 的级数,5,对,若常数项级数,敛点,所有收敛点的全体称为其收敛域 ;,若常数项级数,收敛,发散
2、,所有,为其收,为其发散点,发散点的全体称为其发散域 .,2.收敛点与收敛域:,例如 级数,收敛域为(1,1);,发散域为,注意:,函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.,6,为级数的和函数 , 并写成,若用,则余项,则在收敛域上有,表示函数项级数前 n 项的和, 即,在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数,称它,3.和函数:,(定义域是?),如:,7,二、幂级数及其收敛性,形如,的函数项级数称为幂级数,其中数列,下面着重讨论,例如, 幂级数,为幂级数的系数 .,即是此种情形.,的情形, 即,称,1.定义:,8,2.幂级数收敛域的结构:,显然,,当x = 0 时,,收敛
3、.,例如 级数,收敛;,发散;,收敛域为,发散域为,时,有和函数,由此看出:它的收敛域是以原点为中心的对称区间.,这个结论对于一般的幂级数也成立吗?.,9,定理1,(阿贝尔Abel定理),(1)如果级数,在,处收敛,,则它在满,足不等式,的一切x处绝对收敛.,(2)如果级数,在,处发散,,则它在满足不等式,的一切x处发散.,简记:,收敛,发散,发散,10,阿贝尔(1802 1829),挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.,他在22岁时就解决了用根式解5 次方程,的不可能性问题 ,他还研究了更广的一,并称之为阿贝尔群.,在级数研究中, 他得,到了一些判敛准则及幂级数求和定理.,论的奠基人之一,他
4、的一系列工作为椭圆函数研究开,拓了道路.,数学家们工作150年.,类代数方程,他是椭圆函数,C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供,后人发现这是一类交换群,11,定理1,(阿贝尔Abel定理),(1)如果级数,在,处收敛,,则它在满,足不等式,的一切x处绝对收敛.,(2)如果级数,在,处发散,,则它在满足不等式,的一切x处发散.,简记:,绝对收敛,发散,发散,12,证: 设,收敛,则必有,于是存在,常数 M 0, 使,当 时,收敛,故原幂级数绝对收敛 .,也收敛,13,反之, 若当,时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.,假设有一点,满足不等式,所以若当,满足,且使级数收敛 ,面的证明可知,
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