线性代数 矩阵第二章ppt课件.ppt

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1、第二章 矩阵,1矩阵的概念； 2矩阵的代数运算；3矩阵的初等变换；4矩阵的求逆运算；5分块矩阵。,一. 矩阵的概念,1.矩阵的定义 方程组,系数排成一个矩形数表,这就是矩阵,由mn个数按一定的次序排成的m行n列的矩形数表称为mn矩阵,简称矩阵.,横的各排称为矩阵的行,竖的各排称为矩阵的列,称为矩阵的第i行j列的元素.,元素为实数的称为实矩阵,我们只讨论实矩阵.,矩阵通常用大写字母A、B、C等表示，例如,简记为,行矩阵,列矩阵,脚标,当m=n时，即矩阵的行数与列数相同时,称矩阵为方阵。,称为对角线元素,几种特殊形式的矩阵,二.矩阵的代数运算,一、线性运算,1.相等:两个矩阵相等是指这两个矩阵有相

2、同 的行数与列数, 且对应元素相等.即,=,同型,型号相同,对应元素相等,2.加、减法,设同型矩阵为,与,定义,显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C) A+O=O+A=A A-A=O,负矩阵,的负矩阵为,记作 -A,即,3.数乘,称为数与矩阵的乘法，简称为数乘。记作：kA,二、 矩阵的乘法,与,一般地，有,=,与,则,A与B满足什么条件时能够相乘？,你记住了吗？,= O,显然,这正是矩阵与数的不同,但是,这又是矩阵与数的不同,请记住：,1.矩阵乘法不满足交换律；2.不满足消去律；3.有非零的零因子。,请特别注意性质5,如果不是同阶方阵结果不成立.,?,不成立!,课本P39: 例2

3、.3,三、方阵的正整数幂,定义n阶方阵的k次幂为：,显然,规定,注意,AB=BA,四、矩阵的转置,请记牢!,方阵A的多项式,例,课本P40: 例2.4,也就是,=,?,对称阵与反对称阵,对任一方阵A，我们有,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,例： P42: 例2.5 证明任一 阶矩阵 都可表示成 对称阵与反对称阵之和.,小 结,2. 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘, 且矩阵相乘不满足交换律、消去律.,1. 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.,3. 矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,注意:,课后作业P58: 2-1; 2-2. 1) 2) 3)

4、7); 2-4; 2-6; 2-7; 2-8; P64: 2-51. 1),倍乘变换,三.矩阵的初等变换,以下三种变换分别称为矩阵的初等行（列）变换：,对调变换,倍加变换,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换。,行阶梯形：每行首个非零元素的下方全是零,化简矩阵而保持其等价性。,主要作用：,矩阵的初等变换是线性代数中一个重要的工具.,?,主要过程：利用初等行变换将矩阵化为行阶梯形。,利用初等行变换将矩阵A化为行阶梯形矩阵。,例1：,利用初等行变换将矩阵化为行最简形。,?,行最简形：每行首个非零元素为1， 且这些1所在列的其他元素都是零,利用初等行变换将矩阵化为行最简形矩阵。,例2：,矩阵的

5、等价,定义: 对矩阵A实行有限次初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与B等价，记作 A B.,性质: 等价矩阵具有自反性、对称性、传递性。,A的等价标准形,定理：任何一个矩阵都有等价标准形。,如例1中：,推论:矩阵 A与 B 等价的充要条件是A与 B 有相同的标准形。,矩阵的秩,一般地：,2. 秩的定义: 矩阵 A 的所有不等于零的子式的最高阶数 称为矩阵 A 的秩. 记作 r(A) .,显然 r(O)=0;只要A不是零阵, 就有 r(A)0. 并且:,例3,解,例4,解,计算A的3阶子式，,例5 求矩阵A的秩,利用初等变换可以求矩阵的秩.,秩的求法,定理: 矩阵经初等变换后其秩不变.,证: 只证行

6、变换的情形.,例6 求矩阵的秩,例7,解：,P59: 2-17. 1) 2) 3) ; P88：3-15. 3）4）;,小 结,(2)初等变换法,1. 矩阵的初等变换,2. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,作业：,初等矩阵,定义：对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为初等矩阵。 三种初等行变换得到的初等矩阵分别为：,对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。,初等矩阵的性质,1.,初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵.,2.,初等矩阵都是非奇异的.,初等矩阵

7、与初等变换的关系,先看一个例子,行变换相当于左乘初等矩阵;列变换相当于右乘初等矩阵.,例1 求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。,可以验证,例2 选择题,=？,例3,显然，若两个同型矩阵有相同的秩，则这两个矩阵有相同的标准形，从而等价；反之，若两个矩阵等价，则它们的秩相同。即有：,定理：矩阵A与B等价的充要条件是r(A)=r(B).,! 请记住：矩阵是否等价只须看矩阵的秩是否相同。,满秩矩阵,定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵； 否则称为降秩矩阵。,( 满秩非奇异 降秩奇异）,E-满秩阵 O-降秩阵,定理：设A为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵 E .即,矩阵的秩是矩阵的一个

8、重要的数字特征。,推论1：以下命题等价：,证,推论2：矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶及 n阶满秩阵P、Q，使,由此还可得到：,若P、Q为满秩阵，则,r(A) = r(PA) = r(PAQ) = r(AQ),例4：,P61：2-18; P62：2-34 .,小 结,2. 初等矩阵与初等变换的关系,3. 矩阵满秩的等价条件,作业：,4. 同型矩阵等价的充要条件,四、逆矩阵,定义：对n阶方阵A，若有n阶矩阵B，使AB=BA=E，则 称B为A的逆矩阵，称A为可逆的。,（1）逆阵唯一。,设B,C都是A的逆，则,B=EB=(CA)B=C(AB)=CE=C,A的逆记为：,（2）并非每个方阵都可逆。,例

9、如,就不可逆。,要解决的问题：,1.方阵满足什么条件时可逆?,2.可逆时，逆阵怎样求？,逆阵的性质,背过这些公式！,伴随矩阵,伴随矩阵,?,代数余子式的顺序!,二阶A矩阵的伴随矩阵.,你记住了吗？,重要公式,性质：,定理: n阶方阵A可逆的充要条件是,证:,牢记这个定理,例1.,解：,例 2.,证:,同理证其它两式。,这说明初等矩阵的逆阵仍为同类型的初等矩阵。这是初等矩阵的第三个性质。,练习：求逆阵,？ ？,的逆怎样求？,逆阵的求法,方法一：,方法二：,初等变换法。,方法三：用定义求。,猜：,方法四：用定义证明B为A的逆。,P60. 2-14,逆阵的应用求解矩阵方程,求解矩阵方程时，一定要记住

10、：先化简，再求解。,3. 逆矩阵的计算方法,2.逆矩阵 存在,小 结,1. 逆矩阵的概念及运算性质.,P59: 2-9. 1)3)5); 2-10; 2-11. 1)3) ; 2-12; 2-13; 2-15.,作业：,一、分块矩阵的概念,定义：将矩阵用若干纵横直线分成若干个小块，每一小块称为矩阵的子块（或子阵），以子块为元素形成的矩阵称为分块矩阵。,五、分块矩阵,二、分块矩阵的运算,1.线性运算,加法与数乘,2.乘法运算,符合乘法的要求,3.转置运算,大块小块一起转,三、几种特殊的分块阵,1.准对角阵,准对角阵或分块对角阵,课本P46,则有,-牢记这些公式！,例1,求A的行列式，秩及逆。,解：将矩阵分块,只须口算即可！,2.分块三角阵,分块上三角阵或准上三角阵,则,解：将矩阵分块,只须计算,3.分块斜对角阵,解：将矩阵分块,只须口算即可！,小 结,(1) 加法,(2) 数乘,(3) 乘法,分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似,(4) 转置,(5) 分块对角阵的行列式与逆阵,P60: 2-16; 用分块矩阵的办法求P59: 2-9. 3）4）,作业：,