线性代数第三章 矩阵的初等变换ppt课件.ppt

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1、第三章 矩阵的初等变换与线性方程组,1 矩 阵 的 初 等 变 换,二、消元法解线性方程组,一、矩阵的初等变换,1、定义,下面三种变换称为矩阵的初等行变换:,一、矩阵的初等变换,同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”),2、定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统 称为初等变换,初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同,逆变换,逆变换,逆变换,等价关系的性质：,具有上述三条性质的关系称为等价,3、定义3 如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与B等价，记作A B,引例,求解线性方程组,分析：用消元法解下列方程组的过程,同解方程组,二、消元法解线性方程组,解,用“

2、回代”的方法求出解：,解得,小结：,1上述解方程组的方法称为消元法,2始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换,（1）交换方程次序；,（2）以不等于的数乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,3上述三种变换都是可逆的,由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换,因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算,若记,则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵B(方程组 (1) 的增广矩阵）的变换,用矩阵的初等行变换 解方程组（2）：,特点：,（1）可划出一条阶梯线，线的下方全为零；,（2）每个台阶 只有一行，,

3、台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元,都称为行阶梯形矩阵,和,矩阵,4、,特点：,（1）是行阶梯形矩阵,（2）非零行的第一个非零元为1非零首元1所在的列其他元素为0,都称为行最简形矩阵,矩阵,5、,行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形,例如，,例1 将下列矩阵化为行最简形，标准形,1、定义 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵.,三种初等变换对应着三种初等方阵.,矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛.,三、初等矩阵的概念,2、三种初等矩阵,例2 以下矩阵是否初等矩阵?,4、初等矩阵均可逆,3、初等矩阵的转置矩阵仍为

4、初等矩阵.,四、初等矩阵的应用,例4,定理1 设 A 是一个 m n 矩阵 , 对 A 施行一次初等行变换，相当于在 A 的左边乘以相应的 m 阶初等矩阵；对 A 施行一次初等列变换 , 相当于在 A 的右边乘以相应的 n 阶初等矩阵.,初等变换,初等矩阵,左乘：行变右乘：列变,五、初等行变换求逆矩阵,解,例5,例6,解,2 矩 阵 的 秩,一、矩阵秩的概念,二、矩阵秩的求法,三、矩阵秩的一些结论,一、矩阵秩的概念,矩阵的秩,显然有：,例1,解,例2,解,计算A的3阶子式，,例3,解,问题：经过初等变换矩阵的秩变吗？,二、矩阵秩的求法,1、,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行

5、阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,2、,例2 另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,例4,则这个子式便是 A 的一个最高阶非零子式.,例5,解,分析：,例6,解：,第二、三行元素成比例，,所以，,另解,因为R(A)=2，所以所有的三阶子式都等于零。所以,例7,三、矩阵秩的一些结论,9.,例7 设A为n阶矩阵，证明,利用(A+E)-(A-E)=2E,3 线 性 方 程 组 的 解,一、线性方程组有解的判定条件,二、线性方程组的解法,一、线性方程组有解的判定条件,线性方程组,系数矩阵为,线性方程组可记为：,复习，引入,m=n 时, A 是 n 阶方阵 , 若 |A| 0

6、 , 则可用克拉默法则求唯一解，或用 A 的逆矩阵表示解 若 解唯一D =|A| 0； 解不唯一或无解，则D =|A| =0 若|A| =0，则有解时如何求解？,2) 对一般的情况mn如何判定有没有解?,有解时如何求解?,例1 若某方程组经同解变换化为,显然，有唯一解.,例2 若某方程组经同解变换化为,显然，无解.,例3 解方程组,解,无解.,例4 解方程组,解,为方程组的全部解., 增广矩阵经 行 初等变换化为行最简形矩阵，该阶梯形与方程组解的关系：,行最简形矩阵中非零行的行数未知量个数,无穷多解,该数不为零，无解,行最简形矩阵中非零行的行数=未知量个数,唯一解,1. 非齐次线性方程组,例5

7、 求解齐次线性方程组,二、线性方程组的解法,例6 求解齐次线性方程组,例7 求解齐次线性方程组,2. 齐次方程方程组,例8 求解非齐次线性方程组,故方程组无解,例9 求解非齐次线性方程组,例10 求解非齐次方程组的通解,例11 设有线性方程组,解,其通解为,这时又分两种情形：,另解:由于方程个数等于未知数个数可考虑用下面的方法:,齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解；,非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解.,求解线性方程组步骤:,求非齐次线性方程组,练习：求齐次线性方程组,练习1： 讨论a取何值时，方程组有唯一解？ 有无穷多解？无解？,练习2：方程组何时有解， 并求其通解,三、推广到矩阵方程,定理7 矩阵方程AX=B有解充要条件是R(A)=R(A,B).,定理8 设AB=C,则,定理9 矩阵方程 只有零解的充分必要条件是R(A)=n.,非齐次线性方程组,齐次线性方程组,三、小结,本章重点,矩阵的初等变换（三种行、三种列）、初等矩阵 初等行变换的应用： （1）求逆矩阵 （2）解矩阵方程 （3）求矩阵的秩 （4）求线性方程组的解 线性方程组有解的判别条件,