第二章 单自由度系统ppt课件.ppt

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1、,自由振动微分方程,单自由系统的振动分析,无阻尼自由振动方程：,方程解：,固有圆频率：,固有频率：,例：求倒摆的振动微分方程和固有频率,mg,Mg,系统运动方程：,化简上式，得振动微分方程：,固有频率：,弹簧等效,并联,以静平衡位置为原点，列运动微分方程：,单自由度有阻尼自由振动,固有圆频率,阻尼比,单自由度有阻尼自由振动,运动方程的解,常系数线性齐次微分方程通解,特征方程,解得其特征根为,单自由度有阻尼自由振动,解的讨论：,不属于振动,不属于振动,单自由度有阻尼自由振动,单自由度有阻尼自由振动,单自由度有阻尼自由振动,对数衰减率,对数衰减率,单自由度有阻尼自由振动,利用对数衰减率求阻尼比,简

2、谐激励下的强迫振动,振动微分方程 F： 激振力幅值 ：激振力频率通解齐次方程通解非齐次方程特解,单自由度系统,简谐激励下的强迫振动,振动微分方程 齐次方程通解 A：振幅 ：阻尼比 ：有阻尼固有圆频率 ：相位角,简谐激励下的强迫振动,振动微分方程 用复指数法求特解,设激振力,假定方程的特解为,简谐激励下的强迫振动,假定方程的特解为式中 为复振幅。代入振动微分方程有,式中X为振幅，是复振幅 的模，即,从而得到,为相角，是复振幅 的幅角，有,简谐激励下的强迫振动,方程的通解为,由初始条件 可以确定待定参数A和,因此，方程的特解,简谐激励下的强迫振动,随着时间的增加，xh(t)将趋于消失，所以将有式中

3、，等效静位移 频率比 振幅放大因子,简谐激励下的强迫振动,等效静位移,简谐激励下的强迫振动,共振条件,旋转不平衡质量引起的强迫振动,单自由系统,系统的振动微分方程,方程稳态响应可表示为：,对比参考力载荷强迫振动,系统的振动放大因子为：,基础运动引起的强迫振动,单自由系统,系统的振动微分方程为,用复指数法求解，用yejt代换ysint，设,代入上述方程得,基础运动引起的强迫振动,式中X为振幅， 为响应与激励之间的相位差,稳态响应为（虚部）,振动放大因子,基础运动引起的强迫振动,X/Y和 以 为参数，随 变化的曲线如下图所示,当 和 时， ，与 无关；,当 时 ，有减振效果，但阻尼小位移响应反而大

4、。,当 时 ，振动被放大，阻尼大时共振小。,隔振,隔振,积极隔振：把振源与地基隔离开来以减少它对 周围的影响而采取的隔振措施。,消极隔振：为了减少外界振动对设备的影响而采取的隔振措施。,积极隔振,经隔振装置传递到地基的力有两部分： 弹簧传给地基的力 阻尼传给地基的力,和 频率相同相位差,传给地基的力的最大值,由于在 作用下，系统稳态响应的振幅为则,评价积极隔振效果的指标是力的传递系数,积极隔振,隔振后系统稳态响应的振幅为 评价消极隔振效果的指标为,位移传递系数,消极隔振,位移传递系数 和力传递系数 的表达式是完全相同的。 令 ， 叫做传递系数，随 和 的变化曲线如下图。,传递系数,1）无论阻尼

5、比为多少，只有在 时才有隔振效果；,2）对于某个给定的 值，当阻尼比减小时，传递系数也减小。,两点主要结论：,消极隔振与积极隔振,非简谐激励作用下的系统响应,各种非简谐激励,（一）周期激励作用下的强迫振动,其中：n=1,2, t0可以任意选取=2/T为周期激励的基频,（一）周期激励作用下的强迫振动,对于线性系统，应用叠加原理，各激励力共同作用所引起的系统稳态响应等于各激励力单独作用时引起的系统各稳态响应的和。 于是，稳态响应为：,1.由频率为 与 的两个简谐运动所组成的运动是周期为 的非简谐周期运动。2.频率为 、 、 、的运动响应为高次谐波，频率为 的项为基波。,（一）周期激励作用下的强迫振

6、动,总结与说明,=2/T为周期激励的基频,（二）任意激励作用下的振动响应,非简谐非周期任意激励举例,（二）任意激励作用下的振动响应,冲击激励下振动系统的响应,很短。 过后，物体来不及发生位移，但获得了初速度。由冲量定理，有：,系统在 时刻突然受到冲击，脉冲冲量为 。,解得：,（二）任意激励作用下的振动响应,有阻尼系统自由振动解,（二）任意激励作用下的振动响应,有阻尼系统自由振动解,（二）任意激励作用下的振动响应,任意激励下振动系统的响应,原理：把任意激励分解为许多脉冲。线性系统满足叠加原理，可 积分得到系统对任意激振力的响应。,自由衰减振动,Duhamel积分,（二）任意激励作用下的振动响应,例,初始时系统静止求：无阻尼系统对如左图激励的响应,解：,F(t),（二）任意激励作用下的振动响应,例,在阶跃载荷作用下，无阻尼系统响应的第一项为静变形，第二项为简谐振动。,（二）任意激励作用下的振动响应,例,求：无阻尼系统对如左图激励的响应,解：,分段法：,（二）任意激励作用下的振动响应,