第九章 弹性体振动ppt课件.ppt

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1、第九章 弹性体振动,弹性体的振动：1、连续体振动2、振动时处于弹性阶段，材料均匀、各相同性,连续体(结构)：弦、杆、轴 梁、板、 壳、 一般弹性体,研究方法：取微段，列平衡方程,离散体的振动：研究每个自由度处的运动和外力之间的关系,研究连续体每一点的运动与外力的关系,坐标的连续函数,乐器为何能发出不同音调、不同音色的声音？,9-1、弦的振动,一、弦的振动方程,弦长 弦的线质量密度 弦的张力,弦：柔软；张力近似为常量；略去重力和阻尼；微幅振动,弦的动力学方程为偏微分方程,初始条件,边界条件,求主振动：,代入微分方程：,波动方程,二、方程求解,（1）,（2）,初始条件,边界条件,C1 C4为待定系

2、数,振型函数：,固有频率：,主振动：,边界条件,初始条件,由振型函数的正交性,方程解(任意振动) ：,Ai、Bi为待定系数，如何确定？,主振动：,振型函数的正交性,振型函数：,初始条件,音调：基频的大小音色：谐波的组成（主振动叠加多少） 由激励条件确定,乐器中弦的振动,弦任意初始条件的振动一定是简谐振动吗？,由于主振动频率相差整数倍，叠加后仍为简谐振动,与F和l有关,解：初始条件,例：设张紧弦在初始时刻被拨到所示位量， 然后无初速地释放求弦的自由振动,写出级数的前四项,连续体与离散体振动求解的区别与联系,杆件细而长的构件。一、 直杆纵向振动运动方程平截面假定、忽略横向位移。x处微元段dx，考虑

3、线性（小位移）问题。虎克定律求应力及内力：微元段上的惯性力：,9-2、杆的纵向振动,达朗贝尔原理建立运动方程：,整理得：,其中：,直杆纵向振动运动方程,对等截面直杆：,令：,表示波的传播速度,波动方程(同弦振动),系数由边界和初始条件确定,求主振动(分离变量),二、方程求解,代入微分方程,为振型函数，表示杆振动形状,位移边界条件(同弦振动边界)：,三、不同边界条件下的解,1、两端固定杆,频率方程,固有频率,第一二阶振型如图所示：,频率方程,固有频率,振型函数(主振型),节点：振型函数中振幅为零的点。,第n阶主振型有n-1个节点,振动全解:,Ai、Bi由初始条件确定,2、两端自由杆,边界条件：,

4、应力边界,频率方程：,固有频率：,主振型：,固有频率：,主振型：,第一二阶振型如图所示：,第n阶主振型有n个节点,振动全解:,Ai、Bi由初始条件确定,两端固定杆：,3、一端固定、一端自由杆,边界条件：,位移边界,频率方程：,固有频率：,主振型：,应力边界,第一二阶振型如图所示：,固有频率：,主振型：,振动全解:,Ai、Bi由初始条件确定,振动全解:,固有频率：,例题 求轴向力 在 时突然释放时的振动反应初始条件： ，各点应变：解：将 代入： 用 乘两边沿全杆积分：,利用 求得：,带有端点条件杆的振动,端点条件：端点带有弹簧或质量。,持续存在的与u成正比的纵向回复力,持续存在的与a成正比的纵向

5、惯性力,边界条件：由条件1： 由条件2：振型：,平截面假定、横截面绕圆心轴转动一个角度dx微元段，根据材料力学：微元段上的惯性力矩： 达朗贝尔原理建立运动方程：整理得：圆轴扭转振动运动方程,9-3、圆轴的扭转振动,对等直杆，a为剪切波传播速度。波动方程 与直杆纵向振动相同通解：4个常数 由边界条件及初始条件确定（1）两端固定的轴固有频率：主振动：,（2）两端自由的轴固有频率：主振动： （3）一端固定、一端自由的轴固有频率：主振动：,梁变形：,轴向变形,薄形长梁,欧拉梁：不考虑剪切变形,1、中性轴无轴向变形2、横截面变形前后均为平面，且垂直于中性轴3、忽略振动时转动惯性矩,考虑剪切变形的Timo

6、shenko梁,第二条假定不成立,弯曲变形：引起垂直于中性轴的平面发生旋转,剪切变形:引起垂直于中性轴的平面与中性轴的相对错动(不再垂直),深梁,9-4、梁的横向自由振动,9.4.1 梁的横向振动微分方程平截面假定、忽略轴向位移及截面转动、忽略剪切变形。欧拉梁的变形方程：梁自由振动时分布惯性荷载：得：梁横向振动运动方程,对等直杆，分离变量法求解： 代入两个微分方程：解： 为振动固有频率 为相位角解：为振型函数表示杆振动形状 的主振动解：6个常数 由边界条件及初始条件确定,9.4.2 两端简支梁的横向振动振型函数：简支梁的边界条件：频率方程：固有频率：主振型：全解：,9.4.3 悬臂梁的横向振动

7、,悬臂梁的边界条件：,频率方程：固有频率：主振型：,各种边界条件下横梁的固有频率,9.4.4 考虑轴力影响 梁的弯曲振动,考虑轴力影响梁的弯曲振动运动方程,9.4.5 梁的剪切振动,欧拉梁：不考虑剪切变形,1、中性轴无轴向变形2、横截面变形前后均为平面，且垂直于中性轴3、忽略振动时转动惯性矩,考虑剪切变形的Timoshenko梁,第二条假定不成立,剪切变形:引起垂直于中性轴的平面与中性轴的相对错动(不再垂直),深梁,梁的纯剪切振动,特点：平截面间只有错动，无转动，即弯矩造成的弯曲变 形可以忽略.适用环境：深梁（l=2h3h）,微段平衡：,边界条件：,波动方程,分离变量得振型方程:,类比：解完全

8、相同。,弯曲变形和剪切变形都将引起中性轴的挠曲,9.4.6 考虑剪切变形和转动惯量影响的横向振动,剪应变,利用(1)(2)(3)式中消去Q和g得到y的微分方程,由(3),由(1),由(1)(2),将(5)(6)代入(4),9.4.7 弹性地基上梁的振动,温克尔假定：,分离变量：,振动方程：,解得a后:,振型方程：,设：,振型方程与梁振动完全相同。,9.4.8 哈密顿原理在梁横向振动中的应用（1）梁振动微分方程设梁中性轴横向变形为： ；距中性轴y处任意点的轴向位移： 梁的动能与势能：,代入哈密尔顿原理：动能：式中， (t1, t2时刻的运动给定)势能：外力虚功：梁两端弯矩 、剪力 的虚功：,代入

9、哈密尔顿原理后：若为位移边界条件，则边界上的变分 均为零，故有由于变分的任意性，有梁横向振动微分方程：若有力的边界条件：例如 处位移 和转角 未给定，则有若无外力作用，则有：都可得到相同的振动微分方程。,9.4.9 主振型的正交性多自由度系统主振型正交性推广到连续弹性体。多自由度系统求和形式连续弹性体积分形式。设 为弹性体各阶主振型，一般振动u可表示为：式中， 称为第i个广义坐标。设弹性体的分布质量为 和分布刚度 ，则主振型的正交性可表示为：,对梁，主振型的正交性可表示为：而对等截面均质梁：主振型正交性的证明（以等截面均质梁为例）梁的频率方程：设两个主振型 满足：分别用 和 乘上两式，相减后并

10、沿梁全长积分：对右边第一式进行分部积分：,对右边第一式进行分部积分：同理对右边第二式：代入 得上式对梁两端无论固支、铰支、自由，右边均为零，（位移、转角、弯矩、剪力）故有,9.4.10 梁的受迫振动（以梁为例）梁横向受迫振动运动方程对等截面匀质直梁， 忽略自由振动部分，求稳态振动解。基于振型叠加原理求解：（设主振型 已求得）代入 得：由于主振型 满足，代入 得将上式乘以 并沿全梁积分，,根据振型正交性 ，可得设广义力： ；广义质量： 得解耦单自由度体系受迫振动方程：代回 得解。,例题：计算简支梁在均布简谐激振荷载 作用下，梁的稳态反应。由前知，固有频率与主振型为：计算广义力：计算广义质量：代入

11、： 代回 得解：,9.5 弹性体自由振动,一、一般弹性体的动力学方程,物理方程：,平衡方程:,几何方程：,几何方程代入物理方程代入平衡方程：,弹性体动力学方程,二、弹性体动力学变分原理,代入几何方程并在整个弹性体内积分：,形变势能（弹性变形能、比能）,经分部积分和变分运算：,动能：,由哈密顿原理:,由变分的任意性,可得到每个括号内的部分等于零,动力学方程+力边界条件,弹性体振动分析:,1、建立运动微分方程2、求解主振动3、求解自由振动4、求解强迫振动,9.5 板的横向自由振动,平板：中面为一平面的扁平连续体薄板：厚度远小于中面平面尺寸,承受垂直于中面的横向荷载,发生垂直于中面的横向挠曲,横向振

12、动,弹性薄板横向振动小挠度理论的基本假定：,1、变形前垂直于中面的直线在变形后仍为直线，长度 不变，并保持与中面垂直2、忽略沿中面垂直方向的法向应力3、只记入振动时的惯性力，而略去惯性力矩4、无沿中面内方向的变形,中面挠曲函数,假定(4),结论:1、u、v沿厚度方向线性分布，并与挠曲面在该处沿x、y方向的斜率有关2、各点应变分量沿厚度方向线性分布，并与挠曲面的曲率或扭曲率有关,9.5.1 薄板振动微分方程的建立,基本微分方程,应力分量：,内力分量：,抗弯刚度：,运动方程(忽略惯性力矩),由(1)(2)可得剪力表达式,代入(3),9.5.1 矩形板的横向自由振动等厚度板横向自由振动运动方程,单向

13、板的振动,单向板：挠曲函数只与空间一维坐标有关。,板自由振动的求解：振型、频率,适用情况：当矩形板的两对边无限延伸或相当长，且边界条件均匀；或矩形板中两短边自由，长边边界条件均匀，其远离自由边的板中间部分分析可按单向板处理,与梁振动微分方程相同,求解：,代入方程得到两个常微分方程：,其中：,令：,代入边界条件可得到频率方程，求得振型和频率,固定-固定板：,自由自由板：,自由简支板,固定简支板：,固定自由板,单向板频率系数,单向板振型系数,四边简支板的振动,代入方程得到两个微分方程：,设：,令：,其中：,w为振动固有频率f为相位角,四边简支板边界条件（位移与弯矩为零）：,设解为：代入 得频率方程

14、：,固有频率：,其中：,频率系数：与阶次及长宽比有关,固有频率：通解：对 最低阶振型见图。位移为零的线 称为节线,固支边界条件（位移与转角为零）：自由边界条件（弯矩与剪力为零）：难于求得解析解，可查表得固有频率。例如对正方形板的固有频率为四边固支条件下的固有频率：振型见图,其他边界条件板的振动,9.5.2 适用于求解各种边界条件矩形板的梁函数组合法,梁函数组合法：对一般边界条件矩形板固有振动分析中，采用的双向梁函数组合级数逼近的近似方法。,当矩形板一个方向特别长，则另一方向的振型十分接近相应边界条件的梁的振型函数。当两边长度较为接近时，板的主要区域的振型也十分接近于两个方向相应边界条件梁函数的

15、乘积。,为相应边界条件的梁函数,多项组合法：,挠度振型可近似设为：,分别为x、y方向相应边界条件的m与n阶梁振型函数,悬臂梁(固定-自由边界条件)的梁函数：,简支梁(简支-简支边界条件)的梁函数：,自由自由,已知,待定系数为,如何确定 ？,这时，梁函数已经满足位移边界条件,变分方程：,将,代入变分方程,要满足的代数方程组：,求解该代数方程组,要保证有非零解：,关于,的,关于,阶奇次线性方程组,例：四边自由矩形板，由以上公式计算得前六阶频率和振型如下：,9.5.3 圆板的横向自由振动柱坐标下板平衡方程：等厚度圆板振动方程：分离变量法求解：代入将 分解为得两个方程：或,设： ，代入得贝塞尔方程解为

16、贝塞尔函数：通过边界条件可解得固有频率和振型圆板固有频率：系数 与边界条件有关，对周边固定圆板，见下表：,n为径向节线数，s为环向节线数,9.5.4 功能梯度板的动力学分析,功能梯度板件：材料常数沿厚度方向变化。,功能梯度材料(FGM)：一种近期发展的新型功能材料。其由多种不同材料介质沿空间按不同组分进行复合，形成材料功能的梯度分布，从而满足构件不同部位对材料功能的不同要求；同时，由于该种材料与结构中各组分相呈连续变化，不存在明显的界面与性能的突变，因此具有优于一般层叠型功能材料的特性。,基本关系式：,物理方程：,位移分量：,应变分量：,内力分量：,内力分量：,功能梯度板的弯、扭刚度,形变势能（弹性变形能、比能）,沿厚度积分：,变形能：,动能：,由哈密顿原理:,自由振动变分方程则为,设w(x, y, t)=W(x, y)sin(w t+f)代入上面几式，并沿wt=2p积分，则有振型变分方程,自由振动频率、振型的求解,代入变分方程，由变分的任意性得到方程：,采用双向梁函数组合级数法,设板件挠度振型函数为,系数行列式为零,