第三章微分模型ppt课件.ppt

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1、第三章,微分模型,预备知识一元函数微积分,学习目标1.掌握建立（一元、多元）函数最值模型的方法； 2.掌握用求函数驻点的方法求函数的最值.,3.1 微积分模型,在实际生产和生活中，常常遇到求“成本最低”、“产量最大”、“收入最高“、“利润最大”、“效率最高”、“用料最省”、“时间最短”等问题这类问题在数学上就是求函数的最大值、最小值问题，统称为最值问题它是数学上一类常见的优化问题，这类问题可以表示为,其中f(x)为目标函数，max(min)分别表示求最大（最小）值,求解此类问题可以利用微积分中的导数知识或借助Matlab求解,问题1 【水果的最佳收获时间模型 】,又是一个苹果成熟的季节,老王正

2、为采摘和出售苹果的时间犯愁如果本周采摘，每棵树可采摘约10kg苹果，此时，批发商的收购价格为3元/kg如果每推迟一周，则每棵树的产量会增加1kg，但批发商收购苹果的价格会减少0.2元/kg8周后，苹果会因为熟透而开始腐烂.问老王第几周采摘，收入最高,一、模型准备,此题为求第几周采摘，老王每棵苹果树的收入最高，其中收入=产量单价.,二、模型的假设与符号说明,1.假设采摘按整周考虑，不考虑分期采摘的情形.2.假设老王采摘苹果后立即卖给批发商3.假设本周每棵树可采摘苹果10kg，且最近8周内每 推迟一周，一棵苹果树会多长出等质的苹果1kg.4.假设第x周采摘时每棵树的收入为R（x）元，x=0对应本周

3、.,三、模型建立,第x周采摘时每棵树可采摘的苹果数量为,此时，苹果的销售单价为,所以第x周采摘时,农户所得收入为,三、模型求解,令,得驻点,将收入函数求导，得,方法一：,方法二：,syms xy=30+x-0.2*x2;ezplot(y,-20,40),图3-1,利用Matlab求解.,由于Matlab的函数命令fminsearch是求函数的最小值，故需要把函数 转换成 从图3-1可以观察出，在第3周左右采摘, 老王获得的收入最高因此选择 为初始点，在其周围寻找最小值,fval = 2.5000 x = -31.2500,y=(x) -30-x+0.2*x2; fval,x=fminsearc

4、h(y,3),运行结果如下：,用Matlab求解如下：,因 31.2元，所以第2周或第3周采摘获利最佳，此时每棵苹果树的收入为31.2元.,拓展思考:,1.如果本周采摘，每棵树可采摘约15kg，问题1的其它条件不变问第几周采摘, 老王的收入最高？2.分析苹果现有产量与采摘周数之间的关系. 3.如果考虑分期采摘，是否会提高收入?,1. 在理清变量关系的基础上，弄清问题的目标，建立所求问题的目标函数,2. 求解：用求导的方法得驻点,若在问题考虑的范围内得到唯一驻点, 分析实际问题的最值又存在，则驻点即为最值点; 或用Matlab求出所求问题的最值点,问题2 【光纤收费标准模型】,某地有多家有线电视

5、公司.有线电视公司A的光纤收费标准为14元/（月、户），目前它拥有5万个用户某位投资顾问预测，若公司每月降低1元的光纤收费，则可以增加5000个新用户（）请根据这一预测，为公司制定收费标准，以获得最大收益（）如果公司每月每户降低1元的光纤收费，只增加1000个新用户，问该如何制定收费标准？,一、模型假设与符号说明,假设该地的用户数远远大于5万假设只考虑公司降价而不考虑提价的情况若公司每月每户降低1元的光纤收视费，可增a个新用户公司每月每户降低x元的光纤收视费，公司的月收益为 元,二、模型建立,P（x）=每月每户交纳的收视费总用户数，即,三、模型求解,（）当时 时， 求导得,得驻点,令,根据实际

6、问题的分析知道，当公司定价为14-2=12元时，公司拥有50000+50002=60000户用户，此时公司每月的最大收益为1260000=720000元=72万元,用atlab作出函数的图形，如图3-2所示，图(1)从0-14，图(2)为放大图形.,（1）,（2）,图3-2,（）当 时，,令 ，得驻点 ，而由实际问题知 ，故与实际情况不吻合，应舍去此时只有当公司定价为元时，方可获得最大月收益514=0万元,求导得,用atlab作出函数 的图形,如图3-3所示,图3-3,拓展思考：,1.在问题（1）中，如果通过调研发现，该公司最多只能拥有5.7万个用户，问该如何制订收费标准2.试分析最佳收费与每

7、降低1元新增客户数量之间的关系.,归纳一类问题的分析处理方法,商品的销售量在一定程度上受着商品价格的影响一般来说，降低商品价格会增加销售量，所以并不是商品价格越高，企业获利越高.科学合理地确定商品的价格会使企业获得最佳收益,问题3【最佳车速模型】,小王准备租用一辆载重为5T的货车将一批货物从成都运往都江堰.为节省高速公路收费，他安排司机走老成灌公路若货车以xkm/h(40 x65)的速度行驶，每升0#柴油可供货车行驶km，而此时柴油的价格是5.36元/L，司机的劳务费为30元/h.假设从成都到都江堰的路程为45km，请帮小王确定运输费用最低的货车行驶速度,一、问题准备,小王支付的运输费用包括以

8、下两个部分：(1)劳务费(2)燃油费这里不考虑货车的折旧费和租车费，又因货车走老公路，所以可以不考虑过路费,二、模型假设与符号说明,1假设货车按设定的速度匀速行驶2假设货车在途中未发生任何意外.3假设小王支付的运输费只包括司机的劳务费和汽车的燃油费，不考虑租车费用和货车折旧费4假设车辆走老公路不产生过路费且车程为45km5假设货车的车程只考虑从成都到都江堰的车程，不考虑从具体出发地点到公路口的路程6.设货车行驶的速度为xkm/h，行驶完全程的时间为th小王支付的劳务费为y1元，柴油费为y2元，运输费为y元,三、模型的分析与建立,运输费包括司机的劳务费和汽车的燃油费，其中1劳务费=行车时间劳务费

9、单价 劳务费单价为30元/h，货车行驶的时间为t= ，所以支付的劳务费为y1=,2. 燃油费=使用燃料的总量燃料价格全程消耗的柴油为 （L），所以柴油费为y2 综上分析，运输费为,四、模型的求解,对总运费求导，得,令 ，得驻点 因在40与65之间，所以根据实际问题知，当货车以47.316km/h行驶时，小王支付的运输费最低,作出运输费用函数图形，如图3-4所示.,图3-4,所以当货车以47.316km/h行驶时，小王支付的运输费最低，最低运输费用为57.063元,一般地，汽车由于发动机转速的不同，其最佳效率也不一样若这辆汽车发动机的效率为 请为小王确定汽车的最佳速度,拓展思考：,归纳一类问题的

10、分析处理方法,在我国，汽车正逐步走进千家万户，汽车行业也正成为我国的一个朝阳产业但中国汽车市场的竞争依然十分激烈随着燃油费的不断上涨，汽车的油耗成为了购车族关注的焦点改进发动机的性能，降低油耗，抑或研发新能源汽车等已成为当前各汽车制造商研发的重点课题在这些课题研究中，不可避免地要对汽车的各项指标进行定量检测与分析，而这些均离不开数学这一强大的工具,问题4【生产调度模型】,佳韵体育专用器材厂收到生产8000个跳水板的订单公司目前拥有几台生产跳水板的自动化设备，每台机器每小时可以生产30个跳水板，每台机器运转的折旧费是160元，每个跳水板的材料费为20元生产过程中，需要一个操作人员全程管理这些设备

11、，操作人员的劳务费为30元/h（1）请表示生产8000个跳水板的总费用？（2）问公司购置几台这样的设备，可使成本最低。,一、模型假设与符号说明,1. 假设公司有足够的钱购买设备2. 假设购置的机器能够同时正常运转3. 假设一个操作员能同时管理所有设备.,4.设公司完成这批订单的成本为y元，公司购置了x台设备，生产8000个跳水板共用了 h,二、模型的分析与建立,公司生产8000个跳水板的总费用 （单位：元）=材料费+机器运转的折旧费+操作人员的费用,（3.1）,材料费=每个跳水板的材料费跳水板的个数= （元）,机器运转的折旧费=每台机器的折旧费机器台数 = （元）,操作人员的费用=劳务单价操作

12、时间= （元）.,因此，可建立总费用模型为,其中,即,代入式（3.1），得,三、模型的求解,问题2即求函数 的最小值对 求导，得,令 ，得驻点 由于机器台数只能是整数，所以下面计算 和 时相应的总费用,当 时， 元；当 时， 元,作出总费用函数图形,如图3-5所示.,因此购置7台这样的设备，可使成本最低最低费用为162290元.,图3-5,拓展思考：,1.若已知每台机器每小时运转的折旧费是60元，则如何求解此题2.若每台设备各需要一人管理，结果又如何3.若租用一台设备的费用为a元/天，问公司该如何安排？,企业在扩大再生产时，必须进行充分的市场调研和投入产出分析等若盲目地扩大再生产，必将使企业陷

13、入困境，有时甚至难以维系，最终导致破产扩大生产规模时究竟需要增加多少设备呢？本题通过建立数学模型和对模型求解给予很好的回答另外，企业也可以根据临时的订单需要，在可能的情况下，考虑租用一些设备，以解燃眉之急，达到减少成本、降低风险的目的这时，分析和处理方法与本问题相似,归纳一类问题的分析处理方法,问题5【油管铺设模型】,某石化公司要铺设一根石油管道，将石油从炼油厂输送到河对岸的石油罐装点，如图3-6所示炼油厂附近有条宽 2.5km的河，罐装点在炼油厂对岸沿河下游10km处如果在水中铺设管道的费用为6万元/km，在河边铺设管道的费用为4万元/km试在河边找一点P，使管道铺设费最低,图3-6,一、模

14、型假设与符号说明,1假设河床宽度均为2.5km,河岸是铅直的. 2假设炼油厂就在河边，它与河边的距离为0，石油罐装点在河对岸的河边上，到河边的距离也为03. 设p点距炼油厂的距离为 km，管道铺设费为 万元,二、模型的分析与求解,由图3-6知，从炼油厂到石油罐装点的管道铺设费由两部分构成：一部分是从炼油厂到河同岸的P点的管道铺设费 万元；一部分是从P点到河对岸的石油罐装点的管道铺设费 万元总铺设费为,三、模型的求解,对x求导,得,令 ，得驻点 ，舍去大于10的驻点,作出铺设费用函数图形，如图3-7所示.由于管道最低铺设费一定存在，且在 内取得，所以最小值点为 km，最低的管道铺设费为 万元,图

15、3-7,拓展思考,如果要在河对岸设置两个石油罐装点，问又该如何设计.,在设计公路、铁路时，设计者们常常遇到是“逢山开洞，逢水架桥”还是绕行？虽然修桥和开凿隧道方便了交通，但桥梁和隧道的修建费用却远远高于普通公路和铁路的修建费用在资金有限的情况下，合理选址和确定路线，不仅能满足设计要求，而且可以大大地节省修建成本此问题的方法也适用于各种管网等的设计,归纳一类问题的分析处理方法,3.2 分段函数的最值模型,问题6【旅行社交通费用模型】,某旅行社将租用客车公司大、中、小型客车举办风景区旅行团一日游客车公司大、中、小型客车的载客数及租车费用（含司机费用、燃油费用等）详见表3-1,表3-1,旅行社向旅行

16、团收取交通费的标准为：若每团人数不超过30人，每人的交通费为30元；若每团人数多于30人，则给予优惠，每多2人，交通费每人减少1元，直至降到20元为止试问每团人数为多少时，旅行社获得的交通费利润最大？最大利润是多少？,一、模型假设与符号说明,1.租车费用包括司机的劳务费和汽车的燃油费等所有与交通相关的费用2.设旅行社租用大、中、小三种客车的租金为 分别对应大、中、小型客车当每团人数为x人时，旅行团交纳的交通费为M（x）元，旅行社获得的交通费利润为L（x）元,二、模型的分析与建立,旅行社获得的交通费利润=旅行团交纳的交通费-租用相应客车的费用，为,，,具体地，当旅行团人数 时，旅行社将租用小型客

17、车，租车费用为 650元，交通费利润为,当旅行团人数 时，旅行社将租用中型客车，租车费用为750元，收取每个游客的交通费为 （其中为取整函数），交通费利润为,当旅行团人数 时，旅行社将租用大型客车，租车费用为900元，收取每个游客的交通费为 （其中为取整函数），交通费利润为,综上分析，旅行社获得的交通费利润为,三、模型求解,由于交通费利润函数中有取整函数，而取整函数是一个离散的分段函数，不便于讨论，为此，我们用如下函数近似简化分析,当 时， ，故当x=30时，旅行社获得的交通费利润最大，最大利润为250元；,当时 ， ,故当 时，旅行社获得的交通费利润最大，最大利润为 =250元；,当时 ，令

18、 ，解得驻点 .故当 时，旅行社获得的交通费利润最大，最大利润为 =135元另外，可补充考虑 和 时函数P（x）的值因为L（44）= L（46）=112135，所以，此时函数的最大值L（45）=135,综上分析，因L（30）= L（40）L（45），所以当旅行团人数为30或40时，旅行社获得的交通费利润最大，最大利润为250元,拓展思考,1请查阅相关资料，明确组团旅游会使旅行社考虑哪些费用2若有一个30人的团准备从成都去九寨沟旅游，请通过查阅相关资料帮旅行社计算旅客的最低交通费用和最低旅行费用,归纳一类问题的处理方法：,你参加过组团旅行吗？在组团旅游时，旅行社会根据组团人数确定相应的旅游费用一

19、般来说，人数越多，费用越低为什么？,求分段函数的最值要分段讨论、比较各段上的最值，最大者即为所求分段函数的最值,3.3 多元函数的最值模型,问题7 【易拉罐的设计模型】,我们只要稍加留意就会发现,销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫L的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计 设易拉罐是一个正圆柱体，且壁四周的厚度均匀，什么是它的最优设计？即半径和高之比是多少?,一、模型假设与符号说明,1.假设易拉罐为标准的正圆柱体2. 不考虑制作易拉罐的拉环以及接缝处的材料3.设易拉罐高为hcm，半径为rcm，上、下底的厚度为d1

20、cm，侧壁的厚度为d2cm，制作一个易拉罐所需材料的体积为V1cm3，易拉罐的容积为Vcm3,二、模型的分析与建立,本题是求在材质相同，容积、壁厚一定的情况下，所耗材料最省，即求所耗材料的体积最小,制作一个易拉罐所需材料(体积)可分为两部分：一是易拉罐上、下底的体积 ，一是易拉罐侧壁的体积 .总体积为,易拉罐的容积为,由 得 ，将之代入 ，得,三、模型的求解,法一：,其中 是常数.这里 是 的函数. 对 求导，得,令 ，解之得驻点 ，代入 ，得 ,这里V=335mL=0.335L,经测量得d1=0.22mm, d2=0.11mm，计算得h=1.218dm=121.8mm，r=0.305dm=3

21、0.5mm，此时半径与高之比为4.,经测量可口可乐易拉罐的相关数据得h=123.1mm,r=30mm，比较吻合.,法二：,下，求目标函数,的最小值.其中 是常数， 是自变量.,下,的最小值其中是 常数， 是自变量,将此问题视为有约束的二元函数极值.即在约束,代入实际数据，即求在约束,构造Lagurange辅助函数：,对 分别求偏导，得,用Matlab求解如下：,r,h,t=solve(0.88*r*pi+0.22*h*pi-2*r*h*t*pi=0,0.22*r*pi-t*r2*pi=0,0.355-r2*h*pi=0,r,h,t) % t 表示方程中的,t=(0.7223536160 -0.

22、3611768080 - 0.6255765820i -0.3611768080 + 0.6255765820i),r =(0.3045599761 -0.1522799880 + 0.2637566762i -0.1522799880 - 0.2637566762 i )h = (1.218239904 -0.6091199521+1.055026705i -0.6091199521 - 1.055026705i),运行结果如下：,取实根，所得结果与前面一致，再通过简单计算h:r知，当易拉罐的半径与高之比约为1: 4时，材料最省,事实上，商家在设计易拉罐时，除考虑使用材料最省之外，还要考虑焊

23、接、加工制作费、以及包装、运输等各种因素请你通过查阅相关资料，了解还需要考虑哪些因素？它们对易拉罐的设计有何影响？,拓展思考,在市场竞争日益激烈的今天，企业除增加新产品的研发力度，提升产品的科技含量，增加企业核心竞争力外，还应学会“精打细算”，努力降低产品成本，增加利润，增强企业的经济实力，提升综合竞争力，从而在激烈的市场竞争中立于不败之地一个小小的易拉罐的设计纵然如此，设计一台大型机械设备、一台耗材昂贵的设备就更不容多说因此，同学们应牢固树立最优化的思想,归纳一类问题的处理方法,问题8 【学校选址模型】,某乡政府准备在相邻的个村庄间建一所小学，各村庄适龄小学生人数和距乡政府的位置为,小学生人

24、数（人） 距乡政府的距离（km） 方向角(度) 村庄 33 5 40度村庄2 41 4.5 42度村庄3 27 4.7 30度村庄4 19 3.5 37度村庄5 38 4.5 34度,其中方向角为村庄与乡政府的连线与水平方向的夹角问应如何选址使全部小学生所走的总路程最短,一、模型准备,为清楚地表示出学校距各村庄的路程，必须借助坐标系为此可以建立如下的直角坐标系：以乡政府为坐标原点，水平方向为x轴，垂直方向为y轴.,二、模型假设与符号说明,假设所建小学到各村庄的路程为它到各村庄的直线距离,2. 设第i个村庄有 名学生，村庄 在直角坐标系中的坐标为 ，各村庄与乡政府的连线与水平方向的夹角 ，各村庄

25、到学校的直线距离为 ，校址选在 点,三、模型的分析与建立,各村庄到学校的距离为 ，所有学生所走的总路程为,四、模型求解,.计算各村庄的坐标 利用 计算各村庄的坐标，得 （3.83，3.21）, （3.34,3.01）, ( 4.07, 2.35)， ( 2.8,2.10)， 3.73,2.52),.这是一个二元函数的最优化问题将目标函数S分别对x,y求导，得,将 ， 代入模型，令 ， .,用Matlab求解如下：x1=3.83 3.34 4.07 2.8 3.73;y1=3.21 3.01 2.35 2.10 2.52;n=33 41 27 19 38;f=(x)sum(n.*(x(1)-x1

26、)./sqrt(x1-x(1).2)+(y1-x(2).2); sum(n.*(x(2)-y1)./sqrt(x1-x(1).2)+(y1-x(2).2);x=fsolve(f,0 0),x = 3.6784 2.6493,运行结果如下：,得驻点（3.68，2.65）,由于实际问题的最值存在，且只找到了唯一驻点，所以此点即为所求问题的最值点，总距离为77.7285,如图3-8所示,图3-8,在生产和生活中，常遇到各种选址问题如政府如何确定社会公共设施（如体育场馆、图书馆、医院等）的地址，既方便群众又利于交通；商场如何选定超市位置，既能保证充足客源又尽可能地方便顾客？电力部门如何确定乡村变电站的位置，既保证广大乡村的用电，又节约电网铺设费用等等这些问题都属于最优化问题,拓展思考,