第三章 矩阵与算符ppt课件.ppt

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1、1,第三章 矩阵与算符,3.1 矢量3.2 矩阵 (Matrices)3.3 行列式(Determinants)3.4 算符(Operators) 3.5 量子力学的基本假设,2,1. 三维矢量代数,三维矢量：,列矩阵(Column matrix),任何一个矢量都可以写成一个基矢i的线性组合。,如直角坐标中：,直角坐标中：,3,矢量的加减法,若：,则：,4,矢量的标积(点积),5,相互正交基矢(mutually orthogonal basis vectors),6,所以，有,单位并矢式(unit dyadic),(3.1),(3.1)亦称基矢 的完备性条件，即任何一矢量可表示为基向量 的线性

2、组合。,7,矢量的矢积(叉积),8,9,2 行矢和列矢 n个分量分别由行矩阵和列矩阵表示。,3 Dirac 符号,左矢与右矢互为转置共轭,行矢左矢 （ bra vector）， 以“ ” 表示；列矢右矢 （ket vector）, 以 “ ”表示。,10,H=转置+共轭,(3.9),11,4 矢量的标积和矢量的正交,括号 - 标积，bra & ket 由 bracket而得.连续函数,在n维复空间中，矢量 和 的标积定义为：,12,如果 = 0， 称X和Y正交。当X=Y时，XHX的平方根称为矢量X的长度或模(norm), 即,13,3. 2 矩阵 (Matrices),1 矩阵的定义：按矩形排

3、列的一组数。如：,A称为（nm）矩阵，它有n行和m列。矩阵中包含的数称为矩阵的元素，简称矩阵元。第 i 行第 j 列的矩阵元以 aij 表示。,14,2 矩阵的运算,相等 A = B, aij = bij,加法 C = A + B, cij = aij + bij数乘 C = A, cij = aij,对易律和结合律 A + B = B + A，A =A A + (B + C) = (A + B) + C (a + b)A = aA + bA, (A + B) = A + B,表示A和B的行数和列数都相等，且每个对应元素也都相等。,两个矩阵的行数和列数要都相等,15,矩阵和矩阵相乘,nm mk

4、 nk,乘法规则：一个n行m列的矩阵可以和m行k列的矩阵相乘，得到一个n行k列的矩阵，即：,只有前一矩阵的列数与后一矩阵的行数相等时才能相乘，否则不能相乘。,16,(i = 1, 2, , n, j= 1,2, , k),17,例1,一般而言AB BA, 即矩阵乘法不满足交换律，但满足结合律ABC = A(BC) =(AB)C,18,转置矩阵、共轭矩阵、转置共轭矩阵,A = aijnm,AT = aji mn,把矩阵A的行列互换，叫矩阵的转置，转置后得到的新矩阵称为A的转置矩阵，用符号AT表示，即,若在转置矩阵AT中，每个矩阵元素用它的共轭复数来代替则形成的新矩阵称为转置共轭矩阵，用符号AH表

5、示，即,AH = aji* mn,A = aijnm,19,如果 F = ABCX,则 FH = (ABCX)H = XHCHBHAH,例2,20,3 方阵与对角阵,方阵： 行和列相等 （n = m）. 对角阵： 除对角线上各元素外，其余都是 零的方阵。,21,4 单位矩阵和纯量矩阵,对角线上各元素为1，其余均为零的方阵称为单位矩阵（Unit matrix），以I或ij表示：,IA = AI, In = I,单位矩阵与同阶方阵A的乘积可以对易；单位矩阵的任何整数次方等于单位矩阵。,22,SA = AS,纯量矩阵（ Scalar matrix ）：对角元素为相同的数，其余都是零的方阵，用S表示。

6、,纯量矩阵和同阶方阵的乘积可以对易，即,但对角阵与同阶方阵的乘积一般不能对易。,23,5 方阵的逆,如果方阵A为非奇异的（|A|0），则可以找到另一同阶方阵A-1，使A-1A =AA-1=I ，则A-1称为A的逆矩阵，简称“逆”。,例：,24,(AB)-1 = B-1A-1,定理：方阵AB乘积之逆等于B之逆左乘A之逆，即,证明：由逆矩阵定义，得： (AB)-1(AB)=I,而由结合律,B-1A-1(AB) = B-1(A-1A)B=B-1IB = IB-1B=II =I,比较上面两式可得：,(AB)-1 = B-1A-1 得证,25,6 Hermite矩阵和Unitary矩阵,A = AH a

7、ij=aji*,A=AH,凡方阵A和它的转置共轭矩阵AH相等者，则称A为Hermite对称矩阵（ Hermite symmetric matrix ），简称Hermite矩阵，即：,如：,就是Hermite矩阵,当A元素aij全部为实数，且aij= aji时，则称A为对称矩阵,26,U-1 = UH,凡方阵的逆矩阵等于转置共轭矩阵的，称为酉阵（ Unitary matrix ），用U表示，即：,或 UHU = U-1U = I,如酉阵的元素都是实数，则称此酉阵为正交阵。,例如：直角坐标系中坐标变换关系可以写成矩阵形式,27,上式中方阵,表示反时针方向转动的坐标变换，它的逆变换即顺时针方向转动或

8、反时针方向转动（-），相应的方阵为：,因为：R() R(-) = I所以： R(-) = R()-1,即： R()-1 = R()T,R()为正交阵,28,酉阵的性质：,1、n阶酉阵的各行或各列形成一组n个正交归一的矢量；反之也成立，即由一组n个n维的正交归一矢量组成的方阵是酉阵。2、两个同阶酉阵的乘积也是一个同阶的酉阵。3、酉阵之逆也是酉阵。,29,证明：,由酉阵定义得：I=UHU=ij则利用矩阵乘法规则和单位矩阵定义，得到：,(1),30,令矢量Uj和Uk分别表示酉阵U的第j和第k列，即,它们的标积为：,与（1）式比较，得：,所以uj是一组正交归一的矢量，同理可证酉阵的各行也是一组正交归一

9、的矢量。,31,7 方阵的迹(Trace),方阵A的各对角元素之和称为迹，用TrA表示。,定理：几个方阵的乘积之迹，不因方阵和循环置换而变化，即: TrABC=TrBCA =TrCAB;,32,证明：,TrABC=TrBCA，同理可证，等于TrCAB,33,3.3 行列式(Determinants),行列式是数量或元素Aij按行和列的排列，其中行数等于列数。行数或列数称为行列式的阶。,1.行列式的计算,34,列指标的置换pi为将置换还原所需对换的数目。(-1)pi 称为置换Pi的宇称，偶宇称取+1和奇宇称取 1。对于三阶行列式，pi=3！=6个，即,35,S3 =Pi,p0 = 0,p1 =

10、1,p2 = 1,p3 = 1,p4 = 2,p5 = 2,36,例:,|A| = a11a22a33a12a21a33a13a22a31a11a23a32 a12a23a31a13a21a32,37,2. 行列式的展开,Aij 称为aij的代数余子式-去掉行列式|A| 的i行和j列元素后剩下的子行列式。,38,例,= a11a22a33a11a23a32a12a21a33a12a23a31 a13a21a32a13a22a31,39,有定理：三角阵的行列式等于它的对角元素的乘积,40,3. 行列式的初等变换及其性质,行列互换行列式不变；B. 以一数乘行列式的一行或一列等于用这个数乘此行列式，

11、即一行或一列的公因子可以提出去；因此，行列式中一行或一列为零，行列式为零；C. 对换行列式中两行或两列的位置，行列式反号。因此，行列式中如有两行或两列相同或成比例，那么行列式为零；D. 把一行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变。,41,利用三角化求行列式的值例：,42,3.4 算符(Operators),算符：算符是把一个函数变为另一个函数的数学运算符号。如,微分算符,位置算符,也是算符,43,1 算符的加法和乘法,如果,则,这就是算符的加法定义。,如果,则,这就是算符的乘法定义。,由定义可知：,44,2 算符的对易,若 , 称 与 对易，反之非对易。一般情况下，算符的乘法不对易。,

12、定义：,例：, 对易关系式,算符 （即乘以1）称为单位算符,45,令,求,46,在量子力学中遇到的微分方程都是线性微分方程，因此在量子力学中讨论的算符都是线性算符。,3 算符的平方,2 = ,4 线性算符,如果 c1f1(x) + c2f2(x) = c1 f1(x) + c2 f2(x),则 为线性算符。一般而言，也是线性算符, an(x) n + an-1(x) n-1 + + a1(x) + a0(x),如：,47,线性算符满足下列等式,48,5 本征函数、本征值和本征方程,(Eigenfunctions, eigenvalues and eigenequation),如果算符作用于f(

13、x)等于某一常数乘以f(x)，即, f(x) = k f(x),f(x) 本征函数，k 本征值，此方程为本征方程。,49,Schroedinger 方程,50,Schroedinger 方程的算符形式,其中,Hamilton 算符，2 Laplace 算符。,因此，是算符的本征函数，能量E就是算符的本征值。,51,6 算符与量子力学,经典力学,量子力学,52,7 平均值（期望值）,如果有一力学量F，它是坐标x,y,z的函数，那么在某一瞬间，发现微粒的F在某一定值F(xi,yi,zi)附近的几率为* (xi,yi,zi) (xi,yi,zi)dxidyidzi，而其平均值为：,体积元,53,54

14、,例 6 令,求 、 .,粒子的平均位置在势箱的中央,55,粒子的动量动量的平均值：,可知，粒子在势箱中正向运动和逆向运动相等，平均动量为零。,56,8 Hermite 算符,在量子力学中常用线性算符表示力学量G，因此力学量G的平均值为：,而力学量的平均值必须是实数，所以,即：或,(3.4-1),57,凡是满足（3.4-1）式的算符叫做Hermite算符，因此量子力学中表示力学量的算符一定是线性Hermite算符。,58,3.5 量子力学的基本假设,1 基本概念 力学量：时间、位置、速度、质量、角动量、势能、动能、总能量 等。 状态函数 描述微观体系的状态； 算符 和力学量或对称操作一一对应。

15、,59,2 基本假设假设I 状态函数和几率。1、微观体系的任何状态可由坐标波函数(q,t)来表示，(q,t)是体系内所有微粒的坐标和时间的函数。 *d表示在时间t发现体系在微体积内的几率， *为几率密度。总几率等于1，即：,2、状态函数的标准条件a.连续性条件：状态函数在变数变化的全部区域内必须是连续的，而且有连续的一级微啇。,60,b.单值性条件：由于*是粒子出现的几率密度，所以必须是坐标和时间的单值函数。c.平方可积条件：即积分,必须是有限的。,凡是满足连续性、单值性和平方可积三个条件的任何函数叫做品优函数(well-behaved function),61,态叠加原理：若1,2.n是某一

16、量子体系的可能态，那么它们的线性组合=cnn也是此体系的可能态，其中cn是常数。,62,假设II 力学量与线性Hermite算符。,对于体系的每一个可观察的力学量，有一个对应的线性Hermite算符，组成力学量算符的规则为：（1）如力学量F是(q,t)的函数，则其算符就是简单地用F乘，即：,（2）如力学量G是(q,p,t)的函数，则其算符为：,63,力学量及其算符,64,有了力学量与算符的假设后，则任何力学量的平均值可按下式计算：,65,假设III 力学量的本征状态和本征值,(3.38),微观体系的力学量G在状态(q, t)下具有确定的值G0, G0称为G的本征值，(q, t) 称为G的本征状

17、态，(3.38) 称为G的本征方程。,如果某一力学量G的算符作用于某一状态函数(q,t)等于一常数G0乘以(q,t)，即：,66,假设 IV 态随时间变化的Schrodinger方程,在量子力学中，当微观粒子在某一时刻的状态函数(q, t) 为已知时，以后时间粒子所处的状态也要由一个方程来决定，这个方程就是态随时间变化的方程，即Schrodinger方程的第二式。,67,假设 V Pauli互不相容原理（自旋假定）,非相对论量子力学的补充假设，在Dirac相对论量子力学，自旋是其理论的自然结论。,Pauli原理指出：对于费米子（指电子、质子、中子等自旋量子数s为半整数的体系），描述其运动状态的

18、全波函数必须是反对称波函数。即, (q1, q2, , qn )=- (q2, q1, , qn ),对于光子、介子、氘(2H)和粒子(4He)等（自旋量子数s为整数的）玻色子，则要求对称波函数。,68,3.6 关于定态的一些重要推论,一、力学量具有确定值的条件,当体系处于某一状态(x)时，体系的力学量G(x,p)在这个状态不一定具有确定的值， G(x,p)在状态(x)具有确定值的充分必要条件是：,(3.6-1),(3.6-2),69,利用的Hermite对称性，即,(3.6-2)化为：,(3.6-3),即,70,(3.6-4),推而广之,(3.6-5),(3.6-5)式表示某一力学量G，当它

19、的相应算符作用于某一状态，如果等于某一常数G0乘以时，那么此常数G0即为力学量G在状态时的确定值或本征值。当G为能量时，它的算符就是Hamilton算符，而其本征值即为能量E，（3.6-5）式写为：,71,这就是定态Schrdinger方程，所以定态Schrdinger方程是（3.6-5）式的一个特例。,72,二、不同力学量同时具有确定值的条件,体系的两个力学量C和G同时具有确定值的条件是和 可对易，即,(3.6-6),证明：如果G在态具有确定值G0，则应满足(3.6-5)式，即,同理：,73,即是和 的共同本征函数，因此有：,即,(3.6-7),由于只是一个确定的波函数，而不是任意的波函数，

20、所以(3.6-7)式成立还不能说明和 在态同时具有确定值的条件是它们可以对易。,74,如果和 的共同本征函数n不止一个，而且组成完全集合，则和 必定是可对易的。对于任意波函数可以展开成下列级数：,于是有,由于是任意波函数，所以可得：,(3.6-8),cn是待定常数,75,即和 可以对易。上述定理的逆定理也成立。如果和 可以对易，则它们有共同的本征函数，这些函数组成完全集合。（证明略）,定理：两个算符具有完全的共同本征函数集合的充分必要条件是这两个算符可以对易，在两算符的共同本征函数所描写的态中，两个算符所代表的力学量都具有确定的值。,推广：如果一组算符有共同的本征函数，而且这组本征函数组成完全

21、集合，则这组算符中任何一个算符和所有其余的算符对易。逆定理也成立。,76,三、动量和坐标算符的对易,(3.6-9),(3.6-9)式称为动量与坐标算符的对易规律，是由Heisenberg首先得到的，是Heisenberg矩阵力学的基本假设之一。,因为：,当 i=j 时，则有：,77,四、 Heisenberg测不准关系式,如果两个算符不能对易，即,那么它们就不能同时具有确定值，设为体系的某一状态（不一定是和的本征状态，但是归一化的）则,（证明略）,(3.6-10),78,如果,则,代入(3.6-10)式，得：,定义,79,则有,同理,(3.6-11),Heisenberg测不准关系式,这一关系式告诉我们：如果微粒所在的x坐标的均方根偏差x愈小，那么它相应的动量的均方根偏差px就愈大，两者乘积恒大于1/2 ,80,由Schrodinger方程的第二式可知：,所以有,又因为,代入(3.6-10)式，得：,81,定义,则,(3.6-12),(3.6-12)式对于讨论光谱线的自然宽度是很重要的。 (3.6-11)式和 (3.6-12)式叫测不准关系式，由Heisenberg首先提出。,