第三章等价线性化法、谐波平衡法、ppt课件.ppt

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1、第三章 等价线性化法、谐波平衡法、 里兹迦辽金法与迭代法,3.1 等价线性化法 3.1.1 自治系统 3.1.2 非自治系统 3.2 谐波平衡法 3.3 迦辽金法与里兹法 3.3.1 里兹法 3.3.2 迦辽金法 3.4 迭代法 3.4.1 杜芬迭代法 3.4.2 拉舍迭代法,3.1 等价线性化法,3.1.1 自治系统 已知某非线性振动方程，其阻尼力与弹性力具有非线性 特征，其振动方程可表示为以下形式： (3-1)式中 非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式； 非线性阻尼力与非线性弹性力的综合表达式。,用等价线性化方法求非线性振动方程的解，首先应建 立一个与 非线性振动方程相对应的等价线性化振

2、动方程，即 (3-2)式中 等价质量； 等价阻力系数； 等价弹簧刚度。,设等价线性振动方程 (3-2) 有以下形式的解： (3-3) 对于小阻尼情况, 式中的振幅 a 和等效阻尼比 与等效固有频率 可表示为 (3-4),将式 (3-3) 代入式 (3-1) 和式 (3-2) 中, 并将非线性函数展为富氐级数, 便可求出等价质量 、等价阻力系数 与等价弹簧刚度 的值。 首先将非线性函数展为富氏级数，即: (3-5),对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力远大于二次及其他高次谐波力，因此可以将后者看作是小量，近似计算时可略去。这时可取近似值为 (3-6) 按照富氏级数的公式，系数 、c

3、1、d1和 、 、 可按下式计算： (3.7),将式 (3-6) 和式 (3-7) 代入式 (3-1) 中，可得： (3-8) 当考虑 (3-3) 式的近似值时，有,对应于式 (3-2) 的等价质量 、等价阻力系数 与等价刚度 分别为： (3-9) 将式(3-9)的值代入式(3-4)中, 便可求出等价衰减系数 与等价固有频率 ： (3-10),3.1.2 非自治系统 假如已知某非线性振动方程，其阻尼力与弹性力具有 非线性特征，其振动方程可表示为以下形式： (3-11)式中 非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式； 非线性阻尼力与非线性弹性力的综合表达式。 非线性振动方程(3-11)相对应的等价

4、线性化振动方程为 (3-12)式中 等价质量； 等价阻力系数； 等价弹簧刚度; 不变的作用力。,只要求出等价质量 、等价阻力系数 和等价弹簧刚度 , 非线性振动方程就可以近似地按照线性振动方程进行求解。由于阻尼的存在, 自由振动在经过一定时间后将会消失, 所以可设等价线性振动方程 (3-12) 有以下形式的强迫振动解： (3-13) 因此，等价线性化振幅 A、相位差角 分别可由下式求出： (3-14),等价质量 、等价阻力系数 与等价弹簧刚度 的值，可以通过将非线性惯性力、非线性阻尼力与非性弹性力是按富氏级数展开的方法得出： (3-15)对于一般非线性振动系统，按富氏级数展开的一次谐波力远大于

5、二次和其他高次谐波力及常数项，因此可以将后者看作是小量，近似计算时略去。这时可取近似值为 (3-16),按照富氏级数的公式，系数 、c1、d1和 、 、 可按下式计算： (3-17),将式(3-16)和式(3-17)代入式(3-11)中，可得： (3-18),或 (3-19),等价质量 、等价阻力系数 与等价刚度 、等价衰减系数 与等价固有频率 分别为： (3-20),（3-21） 将式 (3-20) 的值代入式 (3-14) 中便可求出等价线性化振幅 A 及相位差 。,例 3.1.1 用等价线性化方法求下列非线性振动方程的等价阻力系数 与等价弹簧刚度 。 式中 与位移成三次及五次方的恢复力系

6、数。 解: 设方程的强迫振动解为,按照式 (3-20), 求等价阻力系数 ： 非线性弹性力对等价阻力系数的值没有影响。按照式 (3-20) 第二式可求出弹簧刚度 ：,例3.1.2 已知非线性方程 式中 非线性弹性力 求等价刚度、等价固有频率及受迫振动的振幅 。 。,解: 在一次近似的情况下，方程的近似解为： 非线性弹性力在一次近似情况下可改写为以下形式： 式中 间隙 e 所对应的相位角; 该系统的等价弹簧刚度为：,将x的值代入，并进行分段积分，可求得： 因为 可将和展为幂级数, 于是有等价固有频率： 等价线性化振幅为：,谐波平衡法是将非线性方程的解假设为各次谐波叠加的形式，然后将方程的解代入非

7、线性方程中，消去方程中的正弦与余弦项，即可得到能求出含有未知系数的相应多个代数方程式，进而可求得方程的解。 设有非线性方程 (3-22) 若 是 t 的周期为 T 的函数，并且方程存在着周期等于 T 或 T 的整数倍的周期解的情形，方程右边 在的有限区域 内分别满足莱伯尼兹条件，方程的解是唯一的，而且是分段可微的，因此有可能展成为富氏级数，所以可设方程的解为：,3.2 谐波平衡法,(3-23) 将它代入等式的两边，等式两边的常数项 及cos 、sin 的系数必须分别相等，如果只取到 n 次谐波，则可得2n+1个方程，由此可求出包含有n次谐波的近似解。这一方法称为谐波平衡法。,例3.2.1 用谐

8、波平衡法求以下有阻尼Duffing方程的次谐波解（亚谐振动） 解: 设 将自变量变换成，因变量变换成，便可写成,如果设 则上述方程为 假设它的次谐波振动解：,将上式代入前式，进行谐波平衡，可得,则有 考虑 ，解出第一式，得,由第二式得 式中, 软特性为 -1, 硬特性为+1。 用电子计算机进行迭代求解，可得次谐波振动的幅 值 、 与、的关系及基波幅值 、 与、的关系。,3.3 迦辽金法与里兹法,3.3.1 迦辽金法 采用微分算子 , 可以将非线性方程写成 (3-24)式中的 一般是算子 D、因变量 x 和自变量 t 的某种非线性函数。对于精确解 x(t) , 函数 , 而对于近似解 X(t)

9、, 函数 , 或多或少会产生余项，或称误差(t)，即有 (3-25),对微分方程的近似解可以采取与上述同样的做法，这种方法便是迦辽金法。 在这种情况下，如果设我们所考察的自变量区域为atb，那么式 (3-27) 的误差为(t), 而“误差的平方和”可以用以下积分式来表示 (3-26)假设近似解X(t)可以用适当的函数 的线性组合来表示，即用 (3-27),作为方程 (3-24) 的最合适的近似解， 其中的常数 ci 可以从式(3-26)的积分取最小值的条件加以确定，即从下述联立方程式 (3-28)来解出 。函数 可以从物理和其他方面的考虑来选取，使它成为比较逼近的近似解，并且使它满足初始条件。

10、这样，对于 来说初始值都等于零。,例3.3.1 用迦辽金法求以下Duffing方程的解 解: 当 b 甚小时, 它的周期解近似于谐振动, 所以取圆频率为, 振幅为 A , 即取 作为近似解。这相当于取 。这时误差为,区间 (a,b) 可以取为一个周期 (0, ), 因而最适宜的条件可写成 即有,由此得 或 这是一个关于的一元二次方程，解之得 其中， 即 k=0.89 或 k=2.11。 A=0 给出方程的显然解，这相当于k=+, 这时J=0。而系数0.89 与 2.11 究竟那一个给出J的极小值， 可以通过下面的分析弄清楚。 因为对于光滑曲线来说，极大值与极小值往往是交替发生的，考虑到这一点，

11、由于 k=+ 时，有 J=0, 它给出最小值，所以k=2.11对应于J取极大值，而k=0.89对应于J取极小值。k的精确解为0.75，按这种方法求解有一定误差。,3.3.2 里兹法 前一种方法是用误差平方的积分来评价近似解的近似程度。除了上述积分之外，还有其它多种形式的积分，其中之一即拉格朗日函数 的积分， 或称为哈密顿作用量： (3-29)式中 T系统的动能； U系统的势能。,对于方程的周期解来说，哈密顿的作用量J的变分可取为0，即 (3-30)式中 T周期； Xi、Yi、Zi 三个座标方向上的有势力； mi质体i的质量； 、 、 质体i在三个座标方向上的加速度。 采用以上方法，可以求出方程

12、的解。,下面来看前面列举的非线性方程 f(D,x,t)=0。假设该方程是二阶方程，那么它就可以看作是一个力，即相当于式(3-30)中的 , 因而方程 f(D,x,t)=0应满足式(3-34)的条件，即 (3-31) 使式(3-29)中的 J 取最小值的近似解为X(t)，也可以把它看作是近似度最好的近似解。所以式(3-25)的解可由下式求得 (3-32) 可设方程的解 (3-33),因而有 (3-34)按照哈密顿原理： (3-35)即 (3-36)待定系数 ci 便可由上式确定。,对于无阻尼非线性系统，可设方程的近似解为或 (3-37) 对于有阻尼的非线性系统，可设方程的近似解为 (3-38)或

13、 (3-39),由(3-38)有 (3-40) 将(3-44)代入(3-32)式，待定系数 ci 与 可由下式求出 (3-41) 将近似解代入上式中，完成积分计算，便可得到一个代数方程或代数方程组。因此用迦辽金里兹方法时，其问题归结于代数方程组的求解。但有时得到的代数方程是超越方程或超越方程组，计算往往是相当复杂的。,例3.3.2 某非线性方程 试用本节的方法求方程的解。解: 由上式得 设一次近似解为：,代入式(3-35)中，得 将非线性函数f(X)的近似值代入上式，进行分段积分，并化简得： 整理后可得,因为 可将 和 展为幂级数，于是有： 为了求得A值，可采用图解法或数值方法。由上面解式可见

14、，等号左边和右边分别为,上式若以 为自变量，用坐标横轴来表示；而 和 为纵坐标，则第一方程为两条曲线 和 ，第二方程为直线 。这二组线的交点即为方程的解。 用数值方法计算时，将具体数值代入上式，利用两式相等的条件，即可求出 , 当 e 值确定后，便可求出 A 值。,3.4.1 杜芬迭代法 杜芬方程的近似解可用杜芬迭代法求出。设杜芬方程有以下形式： (3-42) 假设b很小，F也很小，而且 接近于a, 这时方程可写成： (3-43) 在上述假设下，方程右端为小量，因此可以先将它略去，方程成为： (3-44),3.4 迭代法,其解为 (3-45)并作为零次近似解。将它代入式(3-47)右端，有 (

15、3-46) 根据上式来确定一次近似解时，为保证x1是周期的，即方程的解中不出现长期项 (或称永年项，久期项) ： 与 , 上式右端 cos 的系数应等于零，因而有 (3-47) 由式(3-39)可解出一次近似解： (3-48),式中的可由(3-47)确定。在这一方程中，我们有意不给定，而把它看作是基波振幅A的函数。 将一次近似解代入式(3-43)的右端，再按方程(3-47)确定二次近似解x2(t)。假设代入后右端可写成以下形式 (3-49)则为了使x2 (t)是周期等于 的周期函数，须有P1 (A)=0，即 (3-50)而二次近似解为： (3-51)以下各次近似解可依次类推。,式(3-47)可

16、看作以激振力幅F为参数的共振曲线或响应曲线的一次近似关系式， 即 (3-52) 如果b=0, 它就退化为线性强迫振动共振曲线的关系式。按照式(3-52)作图，利用平面(A, )，它可以由抛物线 和双曲线 横座标迭加得出 (图3-2)。由图可见， 作为A的函数是单值的，相反A作为 的函数在某些区域是三值的。 对于具有线性阻尼的杜芬方程，可以用类似的迭代法进行求解。,3.4.2 拉舍迭代法 这种方法仅要求激振力幅为小量，非线性函数f(x) 则可以是任意的。因而对于方程： (3-53)可设 (3-54) 将变量t置换成变量，式(3-46)可改写成 (3-55) 为说明方便，假定非线性特性有反对称性，

17、即 , 但拉舍法也适用于不存在反对称的情况。,这种方法仍然是给定A值，并将 看作是A的函数。并且以非线性自由振动方程 (3-56)的解作为零次近似进行迭代求解。先确定其周期为2，初始条件x0 (0)=A, 。求解x0 (0)和 可采用下面的方法。 这个问题可由第二章所述简单求积法进行求解，即设 (3-57)取为x的函数 (3-58),由于 , 所以有 (3-59) 这样求得零次近似解后，一次近似解可由以下方程求出周期为 的周期解 (3-60) 同样可在初始条件 ，以及周期性条件 下，再一次用简单求积法求出 与 。而n次近似解xn ()与 可从以下方程解得 (3-61) 且应满足下列条件: xn (0)=A, 及 。前面假定 是n-1次近似中直接得到的正好是 。必须指出，拉舍法假定了函数 在半周期是的单调函数，如果不是单调函数的话，则不存在唯一对应的反函数，因而拉舍法是不适用的。,