第一节 微分中值定理ppt课件.ppt

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1、第三章,中值定理,应用,研究函数性质及曲线性态,利用导数解决实际问题,罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,泰勒公式 (第三节),微分中值定理,与导数的应用,一、罗尔( Rolle )定理,第一节,二、拉格朗日中值定理,三、柯西(Cauchy)中值定理,中值定理,费马(fermat)引理,一、罗尔( Rolle )定理,且,存在,证: 设,则,证毕,由保号性,罗尔（ Rolle ）定理,满足:,(1) 在区间 a , b 上连续,(2) 在区间 (a , b) 内可导,(3) f ( a ) = f ( b ),使,证,几何解释:,注意:,1) 定理条件条件不全具备, 结论不一定成立.

2、,例如,例1. 证明方程,有且仅有一个小于1 的,正实根 .,证: 1) 存在性 .,则,在 0 , 1 连续 ,且,由介值定理知存在,使,即方程有小于 1 的正根,2) 唯一性 .,假设另有,为端点的区间满足罗尔定理条件 ,至少存在一点,但,矛盾,故假设不真!,设,二、拉格朗日中值定理,(1) 在区间 a , b 上连续,满足:,(2) 在区间 ( a , b ) 内可导,至少存在一点,使,几何解释:,设:,-连接两端点弦的斜率,A,B,思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数,作辅助函数,显然 ,在 a , b 上连续 ,在 ( a , b ) 内可导,且,证:,问题转化为证,由

3、罗尔定理知至少存在一点,即定理结论成立 .,即要证:,拉格朗日中值定理的其它形式:,(1),比如:,(2)令,则,(3),介于,之间.,介于,之间,必有, 使,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,推论:,(1)若函数,在区间 I 上满足,则,在 I 上必为常数.,证: 在 I 上任取两点,日中值公式 , 得,由 的任意性知,在 I 上为常数 .,(2)若,则,证: 令,而,所以,即,(3)若,则,例2. 证明等式,证: 设,由推论可知,(常数),令 x = 0 , 得,又,故所证等式在定义域 上成立.,经验:,欲证,时,只需证在 I 上,例3.

4、 证明不等式,证: 设,中值定理条件,即,因为,故,因此应有,三、柯西(Cauchy)中值定理,及,(1) 在闭区间 a , b 上连续,(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导,(3)在开区间 ( a , b ) 内,至少存在一点,使,满足 :,分析:,要证,证: 作辅助函数,且,使,即,由罗尔定理知, 至少存在一点,思考: 柯西定理的下述证法对吗 ?,两个 不一定相同,错!,上面两式相比即得结论.,柯西定理的几何意义:,注意:,弦的斜率,切线斜率,例4. 设,至少存在一点,使,证: 结论可变形为,设,则,在 0, 1 上满足柯西中值,定理条件,因此在 ( 0 , 1 ) 内至少存在一点

5、 ,使,即,证明,例6.设,且在,内可导, 证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知, 只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,思考与练习,1. 填空题,1) 函数,在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理,条件, 则中值,2) 设,有,个根 , 它们分别在区间,上.,方程,备用题,求证存在,使,1. 设,可导，且,在,连续，,证：,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,设辅助函数,使得,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,