第一章 三角形的证明 复习ppt课件.pptx

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1、复习课件,第一章 三角形的证明,知识框架,三角形的证明,等腰三角形,等腰三角形的性质,等腰三角形的判定,勾股定理,等边三角形的性质,等边三角形的判定,直角三角形,直角三角形的性质,两个直角三角形全等的判定（HL）,直角三角形的判定,等边三角形,勾股定理的逆定理,垂直平分线的性质,角平分线的性质,(4)_、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”.,顶角平分线,(3)两个_相等，简称“等边对等角”;,底角,(2)轴对称图形,等腰三角形的顶角平分线所在的直线是它的对称轴;,一、等腰三角形的性质及判定,1.性质,(1)两腰相等;,要点梳理,2.判定,(1)有两边相等的三角形是等腰三角形;,

2、(2)如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“_”）.,等角对等边,二、等边三角形的性质及判定,1.性质,等边三角形的三边都相等;,等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于_;,是轴对称图形，对称轴是三条高所在的直线;,任意角平分线、角对边上的中线、对边上的高互相重合，简称“三线合一”.,60,2.判定,三条边都相等的三角形是等边三角形.,三个角都相等的三角形是等边三角形.,有一个角是60的_是等边三角形.,等腰三角形,(5)在直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半.,直角三角形的性质定理1,直角三角形的两个锐角_.,互余,直角三角形的判定定理1,有两

3、个角_的三角形是直角三角形.,互余,三、直角三角形,勾股定理表达式的常见变形：a2c2b2, b2c2a2， . 勾股定理分类计算：如果已知直角三角形的两边是a,b(且ab)，那么，当第三边c是斜边时，c_；当a是斜边时，第三边c_.,四、勾股定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 . 即：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c ，那么一定有 .,平方,注意 只有在直角三角形里才可以用勾股定理，运用时要分清直角边和斜边,a2b2c2,五、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c有关系：a2b2 ，那么这个三角形是直角三角形利用此定理判定直角三角形的

4、一般步骤：,(1)确定最大边；(2)算出最大边的平方与另两边的 ；(3)比较最大边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是 三角形到目前为止判定直角三角形的方法有：(1)说明三角形中有一个角是 ；(2)说明三角形中有两边互相 ；(3)用勾股定理的逆定理,平方和,直角,直角,垂直,注意 运用勾股定理的逆定理时，要防止出现一开始就写出a2b2c2之类的错误,c2,1互逆命题在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的 ，而第一个命题的结论是第二个命题的 ，那么这两个命题叫做互逆命题2逆命题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的条件改成 ，并将结论改成 ，便可以得到原命题的逆命题

5、,结论,条件,结论,条件,六、逆命题和互逆命题,3逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么，它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的 定理注意 每个命题都有逆命题，但一个定理不一定有逆定理如“对顶角相等”就没有逆定理,逆,1.线段垂直平分线的性质定理： 线段中垂线上的点到线段两端点的距离相等.,2.逆定理： 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上.,七、线段的垂直平分线,3常见的基本作图(1)过已知点作已知直线的 ；(2)作已知线段的垂直 线,垂线,平分,4.三角形的三边的垂直平分线的性质：三角形的三边的垂直平分线相交于一点，且到三个顶点的距离相等.,1.性

6、质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2.判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线.3.三角形的三条内角平分线的性质：三角形的三条内角平分线相交于一点，且到三边的距离相等.,八、角平分线的性质与判定,例1 如图所示，在ABC中，AB=AC,BDAC于D.求证： BAC = 2DBC.,【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质，可作顶角BAC的平分线，来获取角的数量关系.,考点讲练,证明：作BAC的平分线AE,交BC于点E,如图所示， 则,AB=AC, AEBC., 2+ ACB=90 .,BDAC, DBC+ ACB=90 ., 2= DBC., BAC= 2DBC.,等

7、腰三角形的性质与判定是本章的重点之一，它们是证明线段相等和角相等的重要依据，等腰三角形的特殊情形等边三角形的性质与判定应用也很广泛，有一个角是30的直角三角形的性质是证明线段之间的倍份关系的重要手段.,1. 如图，在ABC中，AB=AC时，(1)ADBC， _= _;_=_.(2) AD是中线，_; _= _.(3) AD是角平分线，_ _;_=_.,BAD,CAD,BD,CD,AD,BC,BAD,CAD,AD,BC,BD,CD,例2 在ABC中，已知BD是高，B90，A、B、C的对边分别是a、b、c，且a3，b4，求BD的长,解：B90，b是斜边，则在RtABC中，由勾股定理，得又SABC

8、bBD ac，,在直角三角形中，已知两边的长求斜边上的高时，先用勾股定理求出第三边，然后用面积求斜边上的高较为简便在用勾股定理时，一定要清楚直角所对的边才是斜边，如在本例中不要受勾股数3，4，5的干扰,2已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25 B.14 C.7 D.7或25,D,例3 已知在ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，an21，b2n，cn21(n1)，判断ABC是否为直角三角形,解：由于a2b2(n21)2(2n)2n42n21， c2(n21)2 n42n21， 从而a2b2c2， 故可以判定ABC是直角三角形,运用勾股定理的逆定理判断一个三

9、角形是否是直角三角形的一般步骤：先判断哪条边最大；分别用代数方法计算出a2b2和c2的值(c边最大)；判断a2b2和c2是否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形,3.已知下列图形中的三角形的顶点都在正方形的格点 上，可以判定三角形是直角三角形的有_,(2)(4),例4 判断下列命题的真假，写出这些命题的逆命题并判断它们的真假(1)如果a0，那么ab0；(2)如果点P到线段AB两端点的距离相等，那么P在线段AB的垂直平分线上,解：(1)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果ab0，那么a0.逆命题为假(2)原命题是真命题原命题的逆命题是：如果P在线段AB的垂直平分线上，那么点P

10、到线段AB两端点的距离相等其逆命题也是真命题,4.写出下列命题的逆命题，并判断其真假：（1）若x=1，则x2=1；（2）若|a|=|b|，则a=b.,解：（1）逆命题：若x2=1，则x=1是假命题.（2）逆命题：若a=b，则|a|=|b|是真命题.,解： AD 是BC 的垂直平分线， AB =AC，BD=CD. 点C 在AE 的垂直平分线上， AC =CE,AB=AC=CE, AB+BD=DE.,例5 如图，AD是BC的垂直平分线，点C 在AE 的垂直平分线上，AB，AC，CE 的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？,5.如图，在ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，ABD

11、的周长等于13厘米，则ABC的周长是 .,A,B,D,E,C,18厘米,常常运用线段的垂直平分线的性质“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行线段之间的转换来求线段之间的关系及周长的和差等,有时候与等腰三角形的“三线合一”结合起来考查.,6.下列说法：若点P、E是线段AB的垂直平分线上两点，则EAEB，PAPB；若PAPB，EAEB，则直线PE垂直平分线段AB；若PAPB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点；若EAEB，则经过点E的直线垂直平分线段AB其中正确的有 （填序号）., ,例6 如图，在ABC中，AD是角平分线，且BD = CD, DEAB, DFAC.垂足分别为E , F

12、.求证：EB=FC.,【分析】先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用“HL”证明RtBDE RtCDF.,证明： AD是BAC的角平分线， DEAB, DFAC，, DE=DF, DEB=DFC=90 .,在RtBDE 和 RtCDF中，, RtBDE RtCDF(HL)., EB=FC.,8.ABC中, C=90, AD平分CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .,3,E,7. 如图，DEAB，DFBG，垂足分别是E，F， DE =DF， EDB= 60，则 EBF= 度，BE= .,60,BF,9. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于点E，PFAC交BC于点F，

13、点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由,解：AD平分BAC理由如下：D到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BAC,P,例7 等腰三角形的周长为20cm,其中两边的差为8cm,求这个等腰三角形各边的长.,【分析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.,解：若腰比底边长，设腰长为xcm,则底边长为（x-8)cm，根据题意得 2x+x-8=20, 解得 x= , x-8= ;若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得2y+y+8=20,解得y=4, y+8=12,

14、但4+4=812,不符合题意.故此等腰三角形的三边长分别为,分类讨论思想,10.等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.,解：若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16；若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14.故这个三角形的周长为14或16.,例8 如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC6 cm，BC8 cm，将ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE，求CD的长,【分析】 欲求的线段CD在RtACD中，但此三角形只知一边，可设法找出另两边的关系，然后用勾股定理求解,方程思想,解：由折叠知：DADB，ACD为直角三角形 在RtACD中，AC2CD2AD2， 设CDx cm，则ADBD(8x)cm， 代入式，得62x2(8x)2， 化简，得366416x， 所以x 1.75， 即CD的长为1.75 cm.,勾股定理可以直接解决直角三角形中已知两边求第三边的问题；如果只知一边和另两边的关系时，也可用勾股定理求出未知边，这时往往要列出方程求解,11.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=12， BC=5，点E在AB上，将DAE沿DE折 叠，使点A落在对角线BD上的点A 处，则AE的长为 .,谢 谢,