第三章幂级数展开ppt课件.ppt

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1、1,3、1 复数项级数,3、2 幂 级 数,3、3 泰勒级数展开,3、5 洛朗级数展开,3、4 解析延拓,3、6 孤立奇点的分类,2,重点,1、求幂级数收敛半径的方法2、复变函数Taylor展开条件与展开方法3、复变函数Laurant展开条件与展开方法4、极点阶数的确定。,3,3、1 复数项级数,一、复数项级数定义及其收敛判据,二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质,三、级数绝对收敛性的常用判别法,4,一、复数项级数定义及其收敛判据,复数项级数定义：,每一项均为复数实数项级数是复数项级数的特例一个复数项级数可转化为两个实数项级数来讨论,说明：,(4)复变函数项级数是复数项级数的一种。,5,2、复数

2、项级数的收敛判据-Cauchy 收敛判据,实数项级数的收敛定义,= S,收敛。,.,则称级数 收敛。,这极限S称为这级数的和,反之，称为发散。,6,（2）实数项级数Cauchy 收敛原理,级数,证明见高等数学教材。,说明从nN后面项的和为一小数，所以收敛。,7,则称级数 收敛。,（3） 复数项级数的收敛定义,= S,.,这时极限S称为这级数的和,反之，称为发散。,8,（4）复数项级数Cauchy 收敛原理,说明从nN后面项的和的模为一小数，所以收敛。,证明略,由,9,二、绝对收敛与一致收敛的概念及性质,1) 绝对收敛：, 绝对收敛定义,，,收敛，则称这个级数,或写为,10,c.改变绝对收敛级数

3、的各项先后次序其和不变。,充分条件,常用判断级数绝对值收敛的方法来判断级数的收敛, 性质：,11,成立。,则称级数 为一致收敛。,2）一致收敛及其性质：, 一致收敛定义：,如果级数是定义在区域B（或边界线L）上，则在区域B（或L）上的各点z，对于给定的小正数 ，存在与z无关的正整数N,使得n N时，对于任意的自然数p恒有：,12,说明：,1、一致收敛是对区域B或L而言。或者说是对复变函数项级数而言的。,3、 在区域B或L上一致收敛，如果 是B或L上的连续函数，则 也是B或L上的连续函数,4、逐项可积性。若 在L上一致收敛，则有：,13,5、逐项可导性。若 在B上一致收敛，且每一项 在B上解析，

4、则有：,6、M判别法。若在区域B内， 且 收敛，则 在B内一致且绝对收敛,7、如果复数项级数的和是B的解析函数，则这个级数一定是B上的收敛级数,14,三、级数绝对收敛性的常用判别法：,对于级数,如果（至少当n充分大时），有,1 ，模一项比一项小.,即判断,反之，若 ，模级数 发散，复级数 发散，,若 ，模级数 不定，复级数 不定,15,三、级数绝对收敛性的常用判别法：,(Cauchy)判别法：,如果（至少当n充分大时），有,16,高斯（Gauss）判别法,17,3、2 幂 级 数,一、幂级数表示,二、幂级数的收敛半径及其求法,三、幂级数性质,18,二、幂级数的收敛半径及其求法：,1、收敛半径R

5、：,绝对收敛。,1） dAlembert 法则求级数收敛半径：,一、幂级数表示,收敛半径为,19,1对收敛。 若1发散。,收敛半径为,对同一级数而言，两种方法给出的收敛半径相同。（证略）,2）Cauchy法求收敛半径,收敛圆,在收敛圆外部， 发散,在收敛圆上，敛散性不定，需讨论,在收敛圆内部， 收敛,20,= 1 R= 1,解：,级数的和为（几何级数）,21,令,解,=1,收敛半径为,级数为,级数的和为,22,解：,23,，这是一个收敛级数（P级数） P为实数项级数,收敛圆,在收敛圆周上，其模级数为：,是发散级数,所以不能确定此时复数级数 的敛散性，需讨论,24,在收敛圆周上,当z = 0时，

6、级数为：,-交错级数，由莱布尼次准则知级数收敛,交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则)： 如果 且 ，那末级数 收敛.,25,调和级数发散的速度慢的让人有些不可思议，调和级数的前1000项的和约为7.485，前100万项的和约为14.357，前10亿项的和约为21，前一万亿项和越为28，当它的和超过100时，如果每一项在纸带上只占1毫米，我们必须使用 1043毫米长的纸带，这大约是1025 光年，而宇宙估计尺寸只有 1012光年，因此也难怪大家都会认为它是收敛的。,当z= 2时，级数为:,-调和级数,在收敛圆周上不能确定级数的敛散性,26,三、幂级数性质,1、幂级数在收敛圆内绝对且一致收敛,证明,

7、收敛圆半径为R, 做比收敛圆稍微缩小的圆周 ,半径为R1,则有,M判别法,27,2、幂级数的和在收敛圆内部是解析函数（无奇点，处处可导）,证明,两边乘以,两边积分，并应用Cauchy公式,28,即级数的和可用连续函数的回路积分来表示，且连续函数的回路积分可在积分号下求任意多次导数，说明该级数的和是一个解析函数。,3、级数在收敛圆内部可以逐项求导任意多次。（证明略）,29,本节重点：,幂级数的收敛半径求法,30,3、3 泰勒级数展开,、解析函数以幂级数展开问题,二、解析函数展为泰勒级数举例,31,1、解析函数在收敛圆内可以展开幂级数,证明,、解析函数以幂级数展开问题,？,32,则有,33,收敛圆

8、半径为,即,34,解析函数在收敛圆内展开的级数称为泰勒级数,1）解析函数在收敛圆内以同一点为中心展为泰勒级数是 唯一的。 （略证）,2）若函数f(z)在收敛圆上或外部不解析，则函数与展开 的泰勒级数只有在收敛圆内部才相等。,2、说明,35,二、解析函数展为泰勒级数举例：,1、直接展开法：,解：,常用方法: 直接法和间接法.,由泰勒展开定理计算系数,36,故有：,收敛半径：,37,解：,38,同理：,请学生自己证明,39,2. 间接展开法 :,借助于一些已知函数的展开式 , 结合解析函数的性质, 幂级数运算性质 (逐项求导, 积分等)和其它数学技巧 (代换等) , 求函数的泰勒展开式.,40,解

9、：,41,f(z)=ln(1+z),解,42,解析函数的泰勒级数展开：,在收敛圆CR内，解析函数f（z）可以展开为以z0为中心的幂级数：,1、直接展开法：,复习,43,2、间接展开法,步骤：1 看题干，找到f（z）的解析区域 2 看题干，找到级数数展开的中心点z0 3 利用展开定理或已知函数的展开式得出ak，把级数表 示成泰勒级数的标准形式 4 找到收敛圆 ，f（z）应该在此区域内解析,44,3、4 解析延拓,一、问题的提出与解析延拓概念,1、问题的提出,上式的左端的函数在很大的区域内都是解析的，只有在 点不解析，但上式右端泰勒级数只在 区域解析，这样，我们可以说有两个函数：,方法和性质,45

10、,两函数有怎样的关系呢？,函数 的解析区域大于 的解析区域,在小区域上,能否通过 找到 呢？,2.解析延拓：,若已知f(z)在某个邻域b上解析，若能找到另一个函数F(z)，使它在含有区域b的一个较大的邻域上是解析的，并且在区域b上等同于f(z)，这一过程称为解析延拓。,解析延拓就是使得解析函数定义域的扩大。,46,二、解析延拓的方法：,47,三.函数解析延拓的唯一性：,函数f (z)通过某种方法进行了解析延拓，得到的函数是唯一的。,证明,在b上,设用两种方法将函数f(z) 从较小区域b解析延拓到较大区域B上，得到的函数分别是F1(z)和F2(z).,48,若系数中首项不为零的系数是am, 则:

11、,显然，若使G(z)在b上处处为零，必须有,这样，满足在b上G(z)处处为零，必然要求在整个区域上处处为零。,49,则在B上处处有：,证毕,50,3、5 洛朗级数展开,一、问题的提出：,当所研究的区域存在函数的奇点时，需要考虑在除去奇点的环域上展开-洛朗级数,二、洛朗级数的收敛环：,三、洛朗定理,四、函数的洛朗展开法：,51,二、洛朗级数的收敛环：,洛朗级数通常有两部分组成：,解析部分：,主要部分：,52,收敛环：,对主要部分做复数代换,在z平面的问题转化为在内讨论,即：,回到z平面上，收敛域为,解析部分和主要部分都收敛的区域，洛朗级数才可能收敛。,因此，洛朗级数的收敛域为：,53,三、洛朗定

12、理,有时需要讨论一个函数在它的奇点附近的性质，需要把函数展开为幂级数进行讨论。在这种情况下，显然不能做泰勒展开，而洛朗级数将解决这一问题。,1.洛朗定理：,f(z)可展为幂级数：,c是环域内绕内圆的任一闭合曲线。逆时针方向,54,证明,由复通区域的cauchy公式,对于第一项可有,在 上,取 比外边界线稍小， 比内边界线稍大，以不考虑圆周上的问题。,55,所以有,56,几点说明（1）,与泰勒级数不完全相同,（2）如果只有环心是f(z)的奇点，则内圆半径可以任意小。 这时的展开称为孤立奇点 的邻域内展开。,（3）洛朗级数既可以在奇点附近展开，也可以在非奇点附近展开。,57,判断：展开为什么幂级数

13、,1.,在z0=2的邻域展开以1+i为中心展开,洛朗,泰勒,2.,在1+4i的邻域内展开在 的区域内展开,在 的区域展开,泰勒,洛朗,判断函数展开为幂级数是泰勒级数还是洛朗级数，需要看展开的解析区域：1）不管是由函数本身的不解析所引起，还是由展开区域自行规定，只要有解析区域的内边界线，（可能）有负幂项，是洛朗级数。 （若是函数的非解析区域是可去奇点，则展开没有负幂项，但有内边界线，还是洛朗展开）收敛环洛朗2）即使函数本身有非解析区域（或点），但在展开区域没有非解析点或内边界线，展开的也是泰勒级数。收敛圆泰勒,泰勒,58,四、函数的洛朗展开法：,间接展开法,步骤：1 看题干，判断f（z）的展开解

14、析区域的形状。 2 看题干，找到级数展开的中心点z0 3 利用已知函数的展开式得出ak，把级数表 示成洛朗级数的标准形式 4 找到收敛环 ，f（z）应该在 此区域内解析,59,解：z=0处是函数的奇点，其余在复平面上收敛，则收敛域为,60,61,62,解,函数有两个奇点 z=0 , z=-1。函数在给定的区域解析。,对于D1区域：,63,64,3、6 孤立奇点的分类,一、孤立奇点与非孤立奇点,二、孤立奇点的分类及性质：,三、函数的零点与极点的关系,四、无穷远孤立奇点的分类,65,一、孤立奇点与非孤立奇点,66,解,因此，z=0是这两个函数的孤立奇点。,67,解,函数的奇点为,因为,68,该点称

15、为可去奇点。,二、孤立奇点的分类及性质：,1.孤立奇点的分类：,69,(1),(2),即有：,说明:,可去奇点,70,可去奇点的判定,(1) 由定义判断:,(2) 判断极限,若极限存在且为有限值,71,如果补充定义:,时,级数中不含负幂项,所以,解,72,解,无负幂项,另解,罗比塔法则,73,(2) 极点,m称为极点的阶（级）数,即：,一阶极点称为单极点,74,说明：,（1）z0为极点的充要条件：,（2）z0为m阶极点的充要条件：,极限存在且无穷大,75,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(1) 由定义判别,(2) 由定义的等价形式判别,76,解,77,课堂练

16、习,答案,78,（3）本性奇点,例如，,含有无穷多个z的负幂项,79,综上所述:,孤立奇点,可去奇点,m阶极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为有限值,不存在,无负幂项,含无穷多个负幂项,80,三、函数的零点与极点的关系,注意: 不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.,81,2.零点的判定,零点的充要条件是,（1）定义,（2）,82,(1)由于,课堂练习,是五阶零点,是二阶零点.,解,(2)由于,答案,83,3. 零点与极点的关系,84,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(1) 由定义判别,(2) 由定义的等价形式判别,(4) 由与零点的关系判别,85,解,这些

17、奇点是,是孤立奇点.,86,解,注意: 不能以函数的表面形式作出结论 .,87,复习:,孤立奇点,可去奇点,m阶极点,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为有限值,不存在,无负幂项,含无穷多个负幂项,88,极点的判定方法,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析, 且,(1) 由定义判别,(2) 由定义的等价形式判别,(4) 由与零点的关系判别,复习:,89,四、无穷远孤立奇点的分类,1. 无穷远点的孤立奇点,90,令变换,规定此变换将:,映射为,扩充 z 平面,扩充 t 平面,映射为,映射为,映射为,91,结论:,规定:,m阶奇点或本性奇点 .,92,1)不含正幂项;,3)含有无穷多的正幂项;,1)可去奇点 ;,2) m 阶极点;,3)本性奇点 .,2.判别方法:,93,不含正幂项,在 内的洛朗展开式为:,解,(1),94,(3)函数,的展开式:,含有无穷多的正幂项,课堂练习,答案,95,如果极限,96,解,97,所以,因为,