第七章ppt课件.pptx
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1、控制原理(II)王晶信息学院,学 时:,48(包含上机4学时),自动控制原理 厉玉鸣等主编,化学工业出版社,2005年,自动控制原理(第四版)胡寿松主编,国防工业出版社,2002年 自动控制原理 孙亮等主编,北京工业大学出版社 1999年,控制原理例题习题集,周春晖,厉玉鸣主编,化工出版社(归纳总结,例题分析),自动控制原理实验指导书,本校自动 化系编,学习方式:,教 材:,参考书:,习题集:,实验指导书:,授课、习题、实验、考试,第7章 状态空间分析设计方法,线性系统理论的两大分支,本章主要内容现代控制论的重要分支:状态空间设计方法,系统模型 状态空间模型的建立、与传递函数描述之间的相互转化
2、;系统分析 状态空间运动分析;能控性和能观性的基本概念与判据、能控、能观标准形及结构分解;系统综合 基于状态空间模型的控制系统设计方法极点配置和观测器设计。,第一节 线性系统的状态空间数学模型,7.1.1 系统状态空间表达的基本概念 7.1.2 线性系统的状态空间描述 7.1.3 由机理分析建立状态空间表达式 7.1.4 由微分方程建立状态空间表达式 7.1.5 由传递函数建立状态空间表达式 7.1.6 状态空间表达式与传递函数矩阵,7.1.1 系统状态空间表达的基本概念,表示系统在过去、现在和未来时刻的状况,状态,能够完全描述系统行为的最小一组变量,只要给定了当前时刻的这组变量以及未来时刻作
3、用在系统上的输入,那么系统在未来任意时刻的行为就可以完全确定。,状态变量,选取的不唯一性,以完全表征系统的状态变量为元构成的向量就是状态向量,状态向量,以n个状态变量为基底所构成的n维空间就称为状态空间,状态空间中的一点就代表系统在某一特定时刻的状态。,状态空间,7.1.2 线性系统的状态空间描述,外部描述传递函数:不表征系统的内部结构和内部变量,只反映外部变量组输入与输出间的因果关系,内部描述状态空间,能够完全表征系统的一切动力学特征:,不完全描述,完全描述,(1)状态方程:输入作用引起系统状态发生变化,通常为动态过程,可以采用微分方程来表示:,(2)输出方程:状态和输入的改变决定了输出的变
4、化,通常属于变量之间的相互转换,可用一般的代数方程表示:,系统状态空间描述的结构示意图,问题:1 什么是状态?2 状态是否唯一?,1,两种描述方式的比较:例1考虑传递函数,系统不稳定,欲使其稳定,可在H(s)前面串联一个补偿器 得:,系统结构图:,理论上,零极点对消,系统稳定,实际中,系统往往会出现失效或达到饱和,从状态空间的角度分析上述实现中主要变量的演变过程,系统状态方程为,求解可得:,7.1.3 由机理分析建立状态空间表达式,建立状态空间表达式的方法:一是机理分析,选择适当的状态变量,建立其状态空间表达式;二是由其他已知的系统数学描述转化得到状态空间表达式。例:试列写下面两种简单系统电路
5、系统和力学系统的机理方程,选择适当的变量作为状态变量,并建立相应的状态空间表达式。,解:(1)弹簧-质量-阻尼器系统,外加拉力Fi为输入,质量单元的位移y为输出,根据牛顿第二定律可得:其中合力: 整理得:选定变量:得到状态方程:,(2) RLC电路,设ei为输入,电压ec为输出,根据基本电路定律有:选择状态变量为 ,可推导出2个一阶微分方程组: 写成状态方程: 再根据输出 ,可得相应的输出方程为:,值得注意的是:状态变量选择的不同,得到的状态空间表达式也是不同的,这点与传递函数所代表的外部描述不同,对于一个系统,如果输入和输出确定,那么传递函数就是唯一确定的,而状态空间描述则根据状态变量选择的
6、不同而不同,同一个系统可以具有不同的状态空间表达式。,问题:例如上面例题中提到的RLC电路,如果以作为一组状态变量, 则状态空间表达为.?,代数等价:给定一线性定常系统 ,如果引入一非奇异变换: 其中P是非奇异矩阵,经过状态变换后,系统可以写成,系统的不同的状态空间描述就是同一个系统在不同的坐标系下的表征,由于坐标系的选择带有人为的性质,而系统的特性却带有客观性,因此系统在坐标变换下的不变性和不变属性就反映出系统的固有特征。,那么就称这两个状态空间描述是代数等价的。,2,7.1.4 由微分方程建立状态空间表达式,仅限于单输入单输出线性定常系统:,引入微分算子,,则系统可以写成:,分情况讨论:,
7、Case1:当mn时,则系统方程 可以改写为:,引入中间变量:,选取状态,可以得到系统的状态空间描述:,Case2:当mn时,首先将系统方程有理分式严格真化:,按照上面的算法可以转换成状态空间形式,经过中间变量 的作用,上式可以写成下面的形式:,选择与mn情况下相同的状态变量:,上述严格真有理分式按照上面的算法可以转换成状态空间形式,状态是一样的,得到的状态方程表达形式也是一样的,唯一不同的就是输出方程中比mn情况多了一项 :状态方程为:,优点:利用控制系统的微分方程系数 直接列写出系统的状态空间表达式。,举例:写出下列系统的状态空间表达,解:上述两个系统分属于mn和m=n两种情况,按照上面的
8、算法可以直接转换成状态空间形式如下:,7.1.5 由传递函数建立状态空间表达式,传递函数是描述线性定常系统动力学特性的一种重要频域模型,如何将其化为系统的状态空间描述,称为“实现”,应该特别重视。方法:首先将系统的传递函数进行反拉氏变换,得到输入/输出微分方程表达式,然后利用上节介绍方法将微分方程表达式转化为状态空间表达式对于单输入/单输出系统的传递函数,可能存在这样的情况:传递函数分子和分母多项式有可约去的因子(即零点、极点可以对消),那么此传递函数的实现可以选取不同维数的状态变量,把系统状态变量数目最少的实现称为“最小实现”。,例:求状态空间实现:,传递函数,微分方程,状态方程,能控标准型
9、实现能控,不能观,消去传递函数中的可约因子(s+3)得:,最小实现:,传递函数,微分方程,状态方程,最小实现能控,能观,3,7.1.6 状态空间表达式与传递函数矩阵,传递函数只能用来描述单输入/单输出线性定常系统的动态特性,而实际的控制系统可能是多输入/多输出的线性定常系统,若不考虑内部状态信息,其动态特性通常采用传递矩阵来进行描述:,Y1Yp,在初始条件为零的情况下,系统状态矩阵(A,B,C,D)与传递函数矩阵之间的关系为:,原因:,多输入/多输出线性定常系统,在初始条件为零时,对系统方程进行拉氏变换为,对状态方程进行整理得:,带入输出方程得:,例 考虑多输入多输出系统:,%enter sy
10、stem matrices A,B,C,DA=0 1;-25 4;B=1 1;0 1;C=1 0; 0 1;D=0 0;0 0;%obtain transfer function from u1 to y1 and y2num1,den1=ss2tf(A,B,C,D,1)%obtain transfer function from u2 to y1 and y2num2,den2=ss2tf(A,B,C,D,2),num1 = 0 1 4 num2 = 0 1.0000 5.0000 0 0 -25 0 1.0000 -25.0000den1 = 1 4 25 den2 = 1 4 25,以下
11、就是4个传递函数的MATLAB表达式:,7.2系统的状态空间运动分析,分析系统运动的目的就在于从数学模型出发,定量地或是精确地给出系统运动的变化规律,以便为系统的实际运动过程作出估计。对于线性定常系统,其运动分析就是要在初始状态x0和外加输入u的作用下,对状态方程求解。为保证状态方程解的存在和唯一性,系统矩阵A和B中的所有元必须是有界的。一般来说,在实际工程中,这个条件都是满足的。,线性系统满足叠加原理系统在初始状态及输入向量作用下的运动分解成两个独立的分运动:一个是无输入作用,单纯由初始状态引起的系统状态的自由运动,称为零输入响应;另外一个是初始状态为零的条件下,单纯由输入作用引起的状态强迫
12、运动,称为零状态响应。系统由初始状态和输入共同作用而引起的整个响应是二者的叠加,即系统状态运动零输入响应零状态响应,7.2.1线性定常系统状态运动分析,自由运动(无输入即u=0)就是系统 在初始条件x0下的解,称为零输入响应。,强迫运动是系统在初始条件为零的情况下, 单纯由输入u作用产生的,即强迫方程的解,称为零状态响应,两种状态运动都是状态的转移,其形态可以通过状态转移矩阵来表征,利用状态转移矩阵可以对线性系统的运动规律,包括定常的、时变的、离散的都建立起一个统一的表达形式,状态转移矩阵定义:,给定线性时变系统,它的状态转移矩阵 就是满足下述矩阵微分方程及初始条件的n维方阵,状态转移矩阵物理
13、意义:,状态转移矩阵就是将t0时刻的初始状态x(t0)映射到t时刻状态x(t)的一个线性变换,它在规定的时间区间内决定了状态向量的自由运动,,状态转移矩阵的重要性质:,4.当A(t)给定后, 是唯一的。5.当A(t)给定后, 的表达式为:,4,求导可得:,假设状态x(t)由两部分组成,一部分是初始状态的转移(代表自由运动),另一部分是待定向量 的转移,(代表受迫运动),为了找到运动规律的表达式,就是要确定上式中的待定向量,与状态方程比较得:,利用状态转移矩阵写出系统状态运动规律:,将 积分,就可以求出待定向量,则状态运动规律为,根据初始条件x0,就可以定出待定向量 的初始位置为 ,则系统运动规
14、律表达式为:,状态x(t)分解成两个分运动,一个是单纯由初始条件x0作用引起的零输入响应,另外一个就是在初始条件为零时,单纯由输入作用引起的零状态响应。,利用状态转移矩阵写出系统状态运动规律(续),在定常系统中,状态转移矩阵完全可以由系统矩阵(A,B,C,D)来确定,即,注意:时变系统中状态转移矩阵 ,其物理意义就是 依赖于初始时刻t0,而在定常系统中通常采用 的方法来表示状态转移矩阵,这说明了在定常系统中,状态转移矩阵是依赖于时间的差值t-t0,而与初始时刻t0没有直接关系。,线性定常系统的运动规律:,如果将时间t取成某个固定的值,那么零输入响应,就是状态空间中由初始状态x0经过线性变换 导
15、出的一个变换点,而整个系统的自由运动就应该是由初始状态x0出发,并由各个时刻的变换点所组成的一条轨迹。这条自由运动轨迹的形态可以说是由状态转移矩阵唯一确定的,它包括了自由运动性质的全部信息,换句话说就是系统矩阵A决定了系统的自由运动形态。,初始时刻t0取为零,则,零输入响应;自由运动轨迹,零状态响应;受迫运动轨迹,7.2.2 矩阵指数函数,线性定常系统中,状态转移矩阵 又称作是矩阵指数函数,几种典型矩阵A的,(1)A为对角线矩阵,即(2)A为对角线分块矩阵,,注:矩阵A的转置矩阵AT也是幂零矩阵,它的左下角次对角线元为1,其余元均为零,它的矩阵指数函数具有如下性质:,(3) A是具有如下形式的
16、幂零矩阵,矩阵A仅右上方次对角线上元为1,其余元均为零, 则矩阵指数函数为:,(4)约当矩阵 其矩阵指数函数为:,的计算方法,(1)利用矩阵指数函数的表达式:,举例,说明:通常这种方法只能求出的数值结果,难以写出具体的数学表达式。当采用计算机进行计算时,这种方法具有编程方便,计算简单等特点。,(2)利用典型约当形矩阵的矩阵指数函数例如:A阵特征值是n个两两相异的,那么必存在一个非奇异变换矩阵P,使得,的计算方法(续),(3)把 表示成Ak(k0,1,n1)的多项式形式,即,其中系数a可由以下方法来确定:,Case1. A的特征根两两相异,的计算方法(续),5,Case2.A的特征根存在重根,例
17、如特征值为,(4)利用Laplace反变换求 ,对 定义式进行Laplace变换得:,然后在对上式两边求Laplace反变换,可得:,举例:,的计算方法(续),举例:给定线性定常系统的自治方程为试采用上述4种方法来求状态转移矩阵,解:(1)利用矩阵指数函数的表达式:,返回,(2)先求出A的特征值为-1,-2,再求出使A实现对角线化的非奇异变换阵P及其逆P1:,使得:,则矩阵指数函数为:,(3)因为矩阵A的特征值是两两相异的,则有,从而可以定出:,(4)先求出预解矩阵,对上式进行Laplace反变换,即可定出:,能控性和能观性是系统的两个基本结构特性,对于系统的控制和估计问题具有重要的意义。能控
18、性反应的是输入对状态的控制能力能观性反应的是输出对状态的估计能力,7.3 线性定常系统的能控性与能观测性,所谓能控性就是研究系统的全部状态是否都会受到输入的影响,从而实现对系统状态的控制。对应地,如果系统状态变量的任何运动完全可以由输出来反映,那么就称系统是能观测的,简称为能观性。,不完全能控电路 不完全能观测电路,例一给定系统如下:,状态变量x1和x2可以通过选择输入u而使得他从初始点转移到原点。因而系统是完全能控的,但输出只反应出状态x2,状态x1与输出既无直接关系也无间接关系,所以是不完全能观测的。,能控性,能观性分析举例,例二:实际电路,两个电容的端电压x1和x2是状态变量,输入u可以
19、使状态转移到任意目标值,但是不能将状态分别转移到不同的目标值,也就是说无论输入取为何种形式,对所有的t0都有x1=x2,这就表明该电路系统是不完全能控的。,例三 由 的联系判断能观性,输出y(t)=x1(t),且x1与x2完全解耦,x2到y的通道被切断,所以x1能观测,x2不能观测。,输出y(t)=x1(t),注意x1受x2影响,所以不能简单判定x1能观测,x2不能观测。,例四 两联系通道的作用可能抵消,左图中,输入为电压,两个电感流过的电流是状态变量,输出是电流i。如果外加电压u=0,对任意两个相等的非零初始状态,都会有电流i0,也就是说从输出根本无法判断系统的初始状态是什么,说明该电路是不
20、完全能观的。,6,能控性定义,对于线性时变系统 如果对于非零初始状态x0,都存在某一时刻 和一个无约束的容许控制 ,使得状态由初始点转移到t1时刻的原点(即为恢复平衡),则称此初始状态x0是能控的。如果状态空间中所有的非零初始状态都是能控的,那么就称系统是完全能控的。无约束容许控制中无约束表示的是输入分量的幅值无限制,可以任意大到所要求的值。容许控制就是说控制作用要满足状态方程解存在且唯一的条件,具体的说就是要保证输入u的每个分量在J上是平方可积的。,7.3.1 基本概念,1、上述定义中,只要求能够找到这样的控制输入u,使得t0时刻的非零状态经过一段时间之后转移到状态空间中的坐标系原点,而对状
21、态转移的轨迹不作任何要求和限制,这就是说能控性是表征系统状态运动的一个定性的特性2、上述定义中规定从非零初始状态转移到零状态,如果改成由零状态转移到非零状态,就称之为系统状态是能达的。对于线性连续定常系统,其能控性和能达性是等价的,而对于离散系统和时变系统,二者严格来讲是不等价的。,说明,能观测性(观测估计之前的状态)定义:,对给定的零输入方程,在初始时刻t0存在非零的初始状态x(t0)=x0(未知)。如果存在这样一个有限时刻t10,通过t0,t1段有限时间区间内所测得的输出y(t)可以确定出系统的初始状态x(t0),那么就把x0称作是可观测状态。如果状态空间中所有的非零状态都是可观测的,那么
22、就称系统是完全能观测的。,线性定常系统的能控性判定,1格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能控的充分必要条件是存在这样一个时刻t10,使得格拉姆矩阵 是非奇异的,7.3.2能控性与能观测性判据,注意:格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析,这是因为在实际应用中,首先要计算出矩阵指数函数eAt,而当A的维数较大时并非易事,利用格拉姆矩阵判据可以推出一个较为实用的能控性判据,即秩判据。,由格拉姆矩阵求将状态转移到原点所需的控制输入:,根据运动分析,系统的状态响应为 对于能控系统总可以找到t1时刻及作用在t0,t1上的容许控制u(t),使得系统在t1时刻转移到零点,即,根据格拉姆矩阵判据,格拉姆矩阵的逆必定存
23、在,于是就可以这样选取控制输入:,解释:无论系统的初始状态x0位于状态空间中的何处,都可以按照上述公式中控制作用的选取方法,使得在t1时刻能够将系统状态从初始点转移到状态空间零点。这种控制的选择又称为按能控性格拉姆矩阵方式选取。一般来说,如果系统是能控的,能够把系统由初始状态x0转移到原点的输入控制有很多种,这是因为能控性对状态转移的轨迹没有任何要求。但相比较而言,在所有可以完成同一状态转移目的的控制输入中,按格拉姆矩阵方式选取的控制输入最好,它的耗能是最小的。,2秩判据,线性定常系统完全能控的充分必要条件是称矩阵 为系统的能控性判别阵,3PBH秩判据,线性定常系统完全能控的充分必要条件是对矩
24、阵A的所有特征值 ,均有下式成立:即 是左互质的。,7,4PBH特征向量判据,线性定常系统完全能控的充分必要条件是A不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量,即对A的任一特征值 使同时满足的特征向量,5约当规范型判据,线性定常系统完全能控的充分必要条件是Case1:当A矩阵的特征根两两相异时,在导出的对角线规范型中,矩阵 不包含元素全为零的行。,Case2:A的特征值为时,导出的约当规范型那么矩阵 中对应每个约当块的最后一行行向量是线性无关的。换句话说,矩阵中对应每个约当块的最后一行行向量中无零行,且对应同一特征根的这些行分别是线性无关的。,举例:给出了约当标准型,标准型中一共有三个约当块,系
25、统是完全能控的,必须保证B矩阵中对应每个约当块的最后一行非零,即是b3,b5,b6是非零的行向量,对应同一特征根 的这些行b3,b5分别是线性无关的。,例1:,若 ,则系统是能控的若 ,则x1,x2,x4不能控,x3能控,例2:给出线性定常系统,判断其能控性,解:1、秩判据:因此系统是完全能控的。,2、PBH判据:首先计算出特征值 ,分别计算 是否都等于n,,线性定常系统的能观测性判定,1格拉姆矩阵判据 线性定常系统完全能观测的充分必要条件是存在这样一个时刻t10,使得格拉姆矩阵 是非奇异的。和时变系统一样,定常系统的格拉姆矩阵判据主要应用于理论分析,这是因为在实际应用中,首先要计算出矩阵指数
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